文档内容
第 26 讲 分式方程核心考点
目录
第一部分 典例剖析+针对训练....................................................................................................................................1
题型一 解分式方程..........................................................................................................................................1
题型二 倒数型..................................................................................................................................................3
题型三 增根问题..............................................................................................................................................5
题型四 分式方程无解类型................................................................................................................................6
题型五 分式方程的正数解、负数解问题........................................................................................................9
题型六 分式方程整数解问题..........................................................................................................................11
第二部分 专题提优训练............................................................................................................................................13
第一部分 典例剖析+针对训练
题型一 解分式方程
典例1（2022秋•绿园区校级月考）解分式方程：
3 4
（1） = ；
x−1 x
1 x−1
（2）3− = ．
x−2 2−x
思路点拨：（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
解：（1）去分母，得3x＝4（x﹣1），
解得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的根；
（2）去分母，得3（2﹣x）+1＝x﹣1，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的增根，原方程无解．
总结升华：本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．针对训练
1．（2021秋•梁平区期末）解下列方程：
2x 7
（1） +1= ；
x+3 2x+6
3 x
（2） − =−2．
x−2 2−x
思路点拨：（1）方程两边都乘2（x+3）得出4x+2（x+3）＝7，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘x﹣2得出3+x＝﹣2（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．
2x 7
解：（1） +1= ，
x+3 2x+6
2x 7
+1 = ，
x+3 2(x+3)
方程两边都乘2（x+3），得4x+2（x+3）＝7，
1
解得：x= ，
6
1
检验：当x= 时，2（x+3）≠0，
6
1
所以x= 是原方程的解，
6
1
即原方程的解是x= ；
6
3 x
（2） − =−2，
x−2 2−x
方程两边都乘x﹣2，得3+x＝﹣2（x﹣2），
1
解得：x= ，
3
1
检验：当x= 时，x﹣2≠0，
3
1
所以x= 是原方程的解，
3
1
即原方程的解是x= ．
3
总结升华：本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
2．（2021秋•昆明期末）解分式方程：x+1 3 4
（1） = − ；
4x2−1 2x+1 4x−2
2+x 16
（2） + =−1．
2−x x2−4
思路点拨：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分
式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：2x+2＝12x﹣6﹣8x﹣4，
解得：x＝6，
检验：把x＝6代入得：2（2x+1）（2x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝6；
（2）去分母得：﹣（x+2）2+16＝4﹣x2，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
总结升华：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
题型二 倒数型
典例2（2022春•滕州市期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
1 1 1
方程x+ =2+ 的解为x ＝2，x = ；
x 2 1 2 2
1 1 1
方程x+ =3+ 的解为x ＝3，x = ；
x 3 1 2 3
1 1 1
方程x+ =4+ 的解为x ＝4，x = ；…
x 4 1 2 4
1 1
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+ =5+ 的解是 ；
x 5
1 1
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+ =a+ 的解是 ；
x a
知识拓展：
y+2 10
（3）根据上述规律，解关于y的方程y+ = ．
y+1 3思路点拨：（1）观察上述方程的解的特点确定出所求方程的解即可；
（2）观察上述方程的解的特点确定出所求方程的解即可；
（3）方程变形后，利用得出的规律确定出方程的解即可．
1
解：（1）根据题意得：x ＝5，x = ；
1 2 5
1
故答案为：x ＝5，x = ；
1 2 5
1
（2）根据题意得：x ＝a，x = ；
1 2 a
1
故答案为：x ＝a，x = ；
1 2 a
1 1
（3）方程变形为y+1+ =3+ ，
y+1 3
1
∴y+1＝3或y+1= ，
3
2
解得：y ＝2，y =− ．
1 2 3
总结升华：此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
针对训练
1．（2021秋•莱州市期中）阅读材料，并完成下列问题：
2 6 12
已知分式方程：①x+ =3，②x+ =5，③x+ =7．
x x x
其中，方程①的解有2个：x＝1或x＝2；方程②的解有2个：x＝2或x＝3；方程③的解有2个：x＝
3或x＝4．
（1）观察上述方程的特点，再观察方程的2个解与方程左边分式的分子、右边常数的关系，猜想方程x
30
+ =11的解是 ．
x
2020 100 100
（2）关于x的方程x+ =101+ 有2个解，它们是x＝101或x= ，根据所猜想的规律，求m
x m m
的值．
思路点拨：（1）观察阅读材料中求方程解的方法得出所求即可；
（2）根据得出的规律列出方程，求出解即可得到m的值．
解：（1）x＝5或x＝6；故答案为：x＝5或x＝6；
100
（2）因为方程的解是x＝101或x= ；
m
100
根据规律，可得101× =2 020，
m
解这个方程，得m＝5，
经检验，m＝5是所列方程的根．
所以，m的值为5．
总结升华：此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
题型三 增根问题
2m m+1 1
典例3（2022春•雁塔区校级期末）若关于x的方程 − = 有增根，求实数m的值．
x+1 x2+x x
思路点拨：先确定增根的值，再把该方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求解即可．
解：∵该方程的最简公分母是x（x+1），
∴该方程的增根为x＝0或x＝﹣1，
方程两边同乘以x（x+1）得，2mx﹣（m+1）＝x+1，
当x＝0时，2m×0﹣（m+1）＝0+1，
解得m＝﹣2；
当x＝﹣1时，2m×（﹣1）﹣（m+1）＝﹣1+1，
1
m=− ，
3
1
∴实数m的值为﹣2或− ．
3
总结升华：此题考查了分式方程增根问题的解决能力，关键是能根据增根的意义，利用整式方程进行求
解．
针对训练
x−1 m
1．（2022春•甘孜州期末）若分式方程 = 有增根，则m＝ ．
x−4 4−x
思路点拨：根据分式方程的增根的定义解决此题．
x−1 m
解：（1） = ，
x−4 4−x去分母，得x﹣1＝﹣m．
移项，得x＝﹣m+1．
由题意得，﹣m+1＝4．
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
总结升华：本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法、平方差公式是解决本题的关键．
k−1 1 k−5
2．（2022春•静安区期中）若分式方程 − = 有增根x＝﹣1，求k的值．
x2−1 x2−x x2−x
思路点拨：分式方程去分母转化为整式方程，将x＝﹣1代入计算即可求出k的值．
解：两边都乘以x（x﹣1）（x+1），得：（k﹣1）x﹣（x+1）＝（x+1）（k﹣5），
∵方程有增根x＝﹣1，
∴代入整式方程，得：﹣（k﹣1）＝0，
解得：k＝1．
总结升华：此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
x
3．（2021秋•宽城县期末）王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚： =2
x−3
？
− ．
x−3
（1）她把这个数“？”猜成﹣2，请你帮王涵解这个分式方程；
（2）王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：x＝3是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式
方程中“？”代表的数是多少？
思路点拨：（1）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、检验；
（2）设原分式方程中“？”代表的数为m，把分式方程化为整式方程，再把x＝3代入代入整式方程，
求出m．
x −2
解：（1）由题意，得 =2− ，
x−3 x−3
去分母，得x＝2（x﹣3）+2，
去括号，得x＝2x﹣6+2，
移项、合并同类项，得x＝4，
经检验，当x＝4时x﹣3≠0，
∴x＝4是原分式方程的解；（2）设原分式方程中“？”代表的数为m，
方程两边同时乘（x﹣3）得x＝2（x﹣3）﹣m，
由于x＝3是原分式方程的增根，
把x＝3代入上面的等式解得m＝﹣3，
∴原分式程中“？”代表的数是﹣3．
总结升华：本题考查了分式方程的增根，掌握根据增根求相关字母值的步骤：①化分式方程为整式方
程；②把增根代入整式方程是解题的关键．
题型四 分式方程无解类型
4x mx
典例4（2022春•浚县校级月考）若关于x的方程 −5= 无解，求m的值．
x−2 2−x
思路点拨：分式方程的解法，先化成一元一次方程，然后讨论，分母等于0的数，就是增根，是一元一
次方程的根，而不是分式方程的根．当化成的一元一次方程系数含字母时，让系数为0，此时也无解．
解：方程两边都乘以（x﹣2）得：4x﹣5（（x﹣2）＝﹣mx，
整理得：（1﹣m）x＝10，
∴当x＝2时，分母为0，方程无解，即2（1﹣m）＝10，
∴m＝﹣4时方程无解；
当1﹣m＝0时，方程无解，此时m＝1．
综上所述，当m＝﹣4或1时方程无解．
总结升华：本题考查的是分式方程的无解问题，关键是看分母和系数，分母为0的数是无解先考查的情
况，一元一次方程系数为0也是无解的一种情况．应全面考虑．
针对训练
x ◆
1．（2021秋•迁安市期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程： =2− ，发现数字◆印刷不清楚．
x−3 3−x
x 5
（1）他把“◆”猜成5，请你解方程： =2− ；
x−3 3−x
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中
“◆”是几？
思路点拨：（1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即
可得到分式方程的解；
（2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到 x＝3，代入整式方程计算即可求出a的值．
x 5
解：（1）方程整理得： =2+ ，
x−3 x−3
去分母得：x＝2（x﹣3）+5，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝1；
（2）设原题中“◆”是a，
x a
方程变形得： =2+ ，
x−3 x−3
去分母得：x＝2（x﹣3）+a，
由分式方程无解，得到x＝3，
把x＝3代入整式方程得：a＝3．
总结升华：此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
2 mx 1
13．（2021秋•虎林市校级期末）已知关于x的方程 − = ．
x−1 (x−1)(x+2) x+2
（1）已知m＝4，求方程的解；
（2）若该方程无解，试求m的值．
思路点拨：（1）把m＝4代入方程，方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得出2（x+2）﹣4x＝x﹣1，求出
方程的解，再进行检验即可；
（2）先方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得出2（x+2）﹣mx＝x﹣1，整理后得出（1﹣m）x＝﹣5，再
求出所有情况即可．
2 mx 1 2 4x 1
解：（1）把m＝4代入方程 − = 得： − = ，
x−1 (x−1)(x+2) x+2 x−1 (x−1)(x+2) x+2
方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣4x＝x﹣1，
5
解方程得：x= ，
3
5
检验：当x= 时，（x﹣1）（x+2）≠0，
3
5
所以x= 是原方程的解，
3
5
即原方程的解是x= ；
32 mx 1
（2） − = ，
x−1 (x−1)(x+2) x+2
方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣mx＝x﹣1①，
整理得：（1﹣m）x＝﹣5②，
有三种情况：
第一种情况：当x﹣1＝0时，方程无解，即此时x＝1，
把x＝1代入①得：6﹣m＝1﹣1，
解得：m＝6；
第二种情况：当x+2＝0时，方程无解，即此时x＝﹣2，
把x＝﹣2代入①得：2m＝﹣2﹣1，
3
解得：m=− ；
2
第三种情况：∵（1﹣m）x＝﹣5②，
∴当1﹣m＝0时，方程无解，
即此时m＝1；
3
所以m＝6或− 或1．
2
总结升华：本题考查了解分式方程和分式方程的解，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
题型五 分式方程的正数解、负数解问题
x m
14．（2021秋•招远市期中）若关于x的方程 −2= 有正数解，求m的取值范围．
x−3 x−3
思路点拨：先解方程得x＝6﹣m，再由方程有正数解，可得6﹣m＞0，6﹣m≠3，求出m即可．
解：分式方程两边同时乘以（x﹣3），得
x﹣2（x﹣3）＝m，
解得x＝6﹣m，
∵方程有正数解，
∴6﹣m＞0，
解得m＜6，
∵x≠3，
∴6﹣m≠3，则m≠3，∴m的取值范围是m＜6且m≠3．
总结升华：本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对方程增根的讨论是解题的关键．
1 k−2
15．（2021春•乐至县月考）已知关于x的分式方程 +3= ．
x−2 2−x
（1）若分式方程的解为x＝4，求k的值；
（2）若分式方程有正数解，求k的取值范围．
思路点拨：（1）将x＝4代入方程，即可求出k的值；
−k+7
（2）先解分式方程，得x= ，再根据方程有正数解以及分母不为0，即可求出k的取值范围．
3
1 k−2
解：（1）将x＝4代入分式方程 +3= ，
x−2 2−x
1 k−2
得 +3= ，
2 −2
解方程，得k＝﹣5，
∴k＝﹣5．
1 k−2
（2）解分式方程 +3= ，
x−2 2−x
去分母，得1+3（x﹣2）＝﹣（k﹣2），
−k+7
解得x= ，
3
∵分式方程有正数解，
−k+7 −k+7
∴ ＞0且 ≠2，
3 3
解得k＜7且k≠1，
∴k的取值范围是k＜7且k≠1．
总结升华：本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
x m
16．（2022春•原阳县期中）若关于x的方程 −2= 有非负数解，求m得取值范围．
x−3 x−3
思路点拨：先去分母把分式方程化成整式方程，再结合题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可得
出m的取值范围．
解：去分母得：x﹣2（x﹣3）＝m，
解得：x＝6﹣m，
∵x≥0且x≠3，∴6﹣m≥0且6﹣m≠3，
解得：m≤6且m≠3，
∴m得取值范围是m≤6且m≠3．
总结升华：本题考查了分式方程的解，根据题意得出关于m的不等式组是解决问题的关键．
x m
17．（2021春•西区期中）已知关于x的方程 =2− 有负数解，求m的取值范围．
x−3 3−x
思路点拨：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是负数，可得不等式，根据
解不等式，可得答案．
x m
解： =2− ，
x−3 3−x
方程两边都乘以（x﹣3），得
x＝2（x﹣3）+m，
解得x＝6﹣m≠3，
x m
关于x的方程 =2− 有一个负数解，
x−3 3−x
∴x＝6﹣m＜0，
m＞6，且m≠3．
x m
∴关于x的方程 =2− 有一个负数解，m的取值范围是m＞6．
x−3 3−x
总结升华：本题考查了分式方程的解，利用了解分式方程的方法，解不等式的方法．
题型六 分式方程整数解问题
{ x m
− ≤− +1
18．（2022 春•吉安期中）若关于 x 的不等式组 2 2 有解，且使得关于 y 的分式方程
−2x+1≥4m−1
1 m−y
− =2有非负整数解，求所有的整数m的和．
y−2 2−y
思路点拨：解不等式组，根据不等式组有解确定m的取值范围．解分式方程，用含m的代数式表示出
y，根据分式方程有非负整数解求出m，即可得出答案．
{ x≥m−2
解：整理不等式组，得 ，
x≤−2m+1
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为m﹣2≤x≤﹣2m+1，即m﹣2≤﹣2m+1，
解得m≤1．
化简分式方程，得1+m﹣y＝2（y﹣2），
5+m
解得y= ，
3
∵由题意知，分式方程有意义，
∴m≠1，
∴m＜1，即5+m＜6，
∵分式方程有非负整数解，
∴5+m是3的非负整数倍，
∴5+m＝0或3
∴m＝﹣5或﹣2，
∴所有的整数m的和为（﹣5）+（﹣2）＝﹣7．
总结升华：本题考查一元一次不等式组的解法、分式方程的解，解决本题的关键是确定m的取值范围．
2 mx
19．（2018秋•沈北新区校级月考）若解关于x的分式方程 + =1时，只得到一个负数解，求m
x−2 x2−4
的值．
思路点拨：分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程只得到一个负数解，得到有一个增根为 x＝
2，代入整式方程计算即可求出m的值．
解：去分母得：2x+4+mx＝x2﹣4，即x2﹣（m+2）x﹣8＝0，
由分式方程只得到一个负数解，得到方程有一个增根为x＝2，
把x＝2代入得：4﹣2m﹣4﹣8＝0，
解得：m＝﹣4．
总结升华：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
x 3a
20． = −2有非负数解，求a的范围．
x−1 2x−2
思路点拨：分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有非负数解，确定出a的范围即可．
解：去分母得：2x＝3a﹣4x+4，
移项合并得：6x＝3a+4，
3a+4
解得：x= ，
6
3a+4 3a+4
根据题意得： ≥0，且 ≠1，
6 64 2
解得：a≥− 且a≠ ．
3 3
总结升华：此题考查了分式方程的解，做题时注意分母为0的情况．
21．（2022春•高邮市期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，
则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
2x+1 4
（1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程 −1= 是否是“相似方程”，并说
2x−1 4x2−1
明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6与y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
思路点拨：（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断；
（2）根据题意用m表示出x的值，再根据“相伴方程”的定义及m为正整数即可求出m的值．
2x+1 4
解：（1）一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程 −1= 不是“相似方程”，理由如
2x−1 4x2−1
下：
解一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x，
1
解得：x= ，
2
2x+1 4
解分式方程 −1= ，
2x−1 4x2−1
1
解得：x= ，
2
1
检验：当x= 时，（2x+1）（2x﹣1）＝0，
2
∴原分式方程无解，
2x+1 4
∴一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程 −1= 不是“相似方程”；
2x−1 4x2−1
（2）由题意，两个方程由相同的整数解，
∴mx+6＝x+4m，
∴（m﹣1）x＝4m﹣6，
①当m﹣1＝0时，方程无解，
4m−6 2
②当m﹣1≠0，即m≠1时，x= ，即x＝4− ，
m−1 m−1
∵x，y均为整数，
∴m﹣1＝1，2，﹣1，﹣2，又∵m取正整数，
∴m＝2或3．
总结升华：本题主要考查了一元一次方程，分式方程，二元一次方程；按照定义求解方程是解题的关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022春•溧阳市期末）解下列分式方程：
3−x 1
（1） = ；
4+x 2
2x−5 3x−7
（2） = −3；
x−2 x−2
（3） x2 x 2；
− =
x2−4 2−x
3 2x 1
（4） + = ．
x+3 x2−9 x−3
思路点拨：各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方
程的解．
解：（1）去分母得：6﹣2x＝4+x，
2
解得：x= ，
3
2
检验：把x= 代入得：2（x+4）≠0，
3
2
∴分式方程的解为x= ；
3
（2）去分母得：2x﹣5＝3x﹣7﹣3x+6，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，原方程无解；
（3）去分母得：x2+x（x+2）＝2x2﹣8，解得：x＝﹣4，
检验：把x＝﹣4代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣4；
（4）去分母得：3x﹣9+2x＝x+3，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：（x+3）（x﹣3）＝0，
∴x＝3是增根，原方程无解．
总结升华：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．（2021秋•潍坊期末）解分式方程：
1 x−1
（1） −3= ．
x−2 2−x
3 x+2
（2） − =0．
x−1 x2−x
3 1 6
（3） − = ．
x−3 x+3 x2−9
思路点拨：各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方
程的解．
解：（1）去分母得：1﹣3（x﹣2）＝（1﹣x），
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣3≠0，
所以：x＝3是原方程的根；
（2）去分母得：3x﹣（x+2）＝0，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣1＝0
所以：x＝1是原方程的增根，
则原方程无解；
（3）去分母得：3（x+3）﹣（x﹣3）＝6，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+3）（x﹣3）＝0，
所以：x＝﹣3是原方程的增根，
则原方程无解．
总结升华：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2x a
3．已知关于x的方程 + =3．
x−2 x−2
（1）当a取何值时，此方程的解为x＝3；
（2）当此方程的解是正数时，求a的取值范围．
思路点拨：（1）把x＝3代入方程，解关于a的一元一次方程即可；
（2）去分母得2x+a＝3x﹣6，可解得x＝a+6；由题意可得x＞0即a+6＞0，又由x≠﹣2，即可求出a的
取值范围．
解：（1）把x＝3代入方程，得6+a＝3，
解得a＝﹣3；
（2）去分母得，2x+a＝3x﹣6，
解得x＝a+6．
∵x＞0，
∴a+6＞0，
解得a＞﹣6．
∵x≠2，
∴a≠﹣4，
∴a的取值范围是a＞﹣6且a≠﹣4．
总结升华：本题侧重考查分式方程的解，求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知
数的值，这个值叫方程的解．
m 1−x
4．（2014春•九龙坡区校级期中）若关于x的分式方程 = −3有增根，那么增根应该是2，此时
x−2 2−x
m＝ ．
思路点拨：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为 0的根．有增根，最简公分母x
﹣2＝0，所以增根是x＝2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解：方程两边都乘（x﹣2），得
m＝x﹣1﹣3（x﹣2），
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，即增根是x＝2，
把x＝2代入整式方程，得m＝1．
故答案为1．
总结升华：本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
1 a−x
5．（2022春•永春县期中）若关于x的分式方程 +3= 无解，则a的值是 ．
x−2 x−2
思路点拨：将分式方程去分母化成整式方程后，由于原分式方程无解，说明增根 x＝2是整式方程的解，
代入即可求出a的值．
解：方程两边都乘以x﹣2得，
1+3（x﹣2）＝a﹣x，
由于原分式方程无解，而原分式方程有增根x＝2，
所以1+0＝a﹣2，
即a＝3，
故答案为：3．
总结升华：本题考查分式方程的解，理解增根的意义是解决问题的关键．
x a
6．（2022春•沭阳县期末）若关于x的分式方程 = −2的解是非负数，求a的取值范围
x−1 2x−2
．
思路点拨：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为非负数确定出a
的范围即可．
解：去分母得：2x＝a﹣4x+4，
a+4
解得：x= ，
6
a+4 a+4
由分式方程的解为非负数，得到 ≥0，且 ≠1，
6 6
解得：a≥﹣4且a≠2，
故答案为：a≥﹣4且a≠2
总结升华：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，表示出分式方程的解是本题的突破点．
7．（西城区校级期中）阅读下列材料：
a 3
在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于 x的分式方程 + =1的解为
x−1 1−x
正数，求a的取值范围？
经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决．
小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．
老师说：小强所说完全正确．
请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明： ．
完成下列问题：
2mx−1
（1）已知关于x的方程 =1的解为负数，求m的取值范围；
x+2
3−2x nx−2
（2）若关于x的分式方程 +1= 无解．直接写出n的取值范围．
x−3 x−3
思路点拨：小明考虑问题不全面，没有考虑分式必须有意义；
（1）表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即
可确定出m的范围；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，确定出n的范围即可．
解：小明考虑问题不全面，应为：分式的分母不为0（或分式必须有意义）；
3
（1）解关于x的分式方程得：x= ，
2m−1
∵方程有解，且解为负数，
{2m−1＜0
∴ 3 ，
≠−2
2m−1
1 1
∴m＜ 且m≠− ；
2 4
（2）分式方程去分母得：3﹣2x+x﹣3＝nx﹣2，
整理得：（n+1）x＝2，
当n+1＝0，方程无解，此时n＝﹣1；
2 2 1
当n+1≠0，即n≠﹣1时，解得：x= ，要使方程无解，则有 =3，即n=− ，
n+1 n+1 3
1
综上，n＝﹣1或n=− ．
3
故答案为：分式的分母不为0．
总结升华：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
5 1 1
8．已知k为非负数，当k为何值时，关于x的方程 x+2k= (x−k)+ (k+5)的解是非负数？
3 2 3
思路点拨：表示出方程的解，根据解为非负数列出不等式，求出不等式的解集即可确定出k的范围．解：方程去分母得：10x+12k＝3（x﹣k）+2（k+5），
去括号得：10x+12k＝3x﹣3k+2k+10，
移项合并得：7x＝10﹣13k，
10−13k
解得：x= ，
7
∵方程的解为非负数，
10−13k
∴ ≥0，
7
10
解得：k≤ ，
13
∵k为非负数，
10
∴k的范围为0≤k≤ ．
13
总结升华：此题考查了解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，熟练掌握方程及不等式的解法是解
本题的关键．
16 2 a
9．（2022春•安岳县校级月考）若整数a使得关于x的分式方程 + = 有正整数解，且使关
x(x−4) x x−4
1 2y−1 1
{ (y+4)− ＞
于y的不等式组 2 3 2至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和．
1−y
≤3−a
2
思路点拨：表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有四个整数解，确定出a的范围，分式方程去分
母转化为整式方程，表示出x，由x为正整数确定出a的值即可．
解：分式方程去分母得：16+2（x﹣4）＝ax，即（2﹣a）x＝﹣8，
由分式方程有正整数解，得到2﹣a≠0，
8
解得：x=− ＞0，得a＞2，
2−a
{ y＜11
不等式组整理得： ，即2a﹣5≤x＜11，
y≥2a−5
由不等式组至少有4个整数解，得到2a﹣5≤7，
解得，a≤6，8
由x为正整数，且− ≠0且≠4，得到2﹣a＝﹣1，﹣2，﹣4，
2−a
解得：a＝3或4或6，
∵分式方程中x＝4增根，a≠4，
∴a＝3或6，
∵a≤6，
∴a＝3或6，
3+6＝9，
则符合条件的所有整数a的和为9．
故答案为：9．
总结升华：此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
