第24讲分式的概念及性质核心考点（解析版）_初中数学人教版_8上-初中数学人教版_旧版_07专项讲练_八年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

第24讲 分式的概念及性质核心考点（解析版） 第一部分 典例剖析+针对训练 【模块一】分式的基本概念 题型一 分式的概念 典例1在代数式3x+ ， ， （m+n）， ， ﹣1， ， 中，哪些是分式？ 思路点拨：分母中含有字母的式子叫分式，根据定义即可解答． 解： ， ， ﹣1， 的分母中都含有字母，都是分式． 总结升华：考查了分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如 果不含有字母则不是分式． 针对训练 1．（2021秋•西昌市期末）下列代数式中： ， ， ，x﹣2y， 有几个分式（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 思路点拨：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是 分式． 解： ， 分母中均不含字母是整式， ，x﹣2y， 分母中均含字母是分式， 故选：B． 总结升华：本题主要考查分式的定义，注意 不是字母，是常数，所以 不是分式，是整式，x﹣2y是 分式不是整式． π 2．（2022春•南安市月考）下列各式中是分式的有（ ） ① ；② ；③ ；④ A．① B．②③④ C．①② D．③④ 思路点拨：根据分式的定义：如果两个整式A、B，其中B中含有字母，那么 就叫做分式，据此求解即可． 解：① 分母中不含有字母，不是分式，不符合题意； ② 分母中不含有字母，不是分式，不符合题意； ③ 分母中含有字母，是分式，符合题意； ④ 分母中含有字母，是分式，符合题意； 故选：D． 总结升华：此题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 题型二 分式有意义的条件 典例2 x取何值时，下列分式有意义： （1） （2） （3） ． ； ； 思路点拨：（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案． 解：（1）要使 有意义， 得2x﹣3≠0． 解得x≠ ， 当x≠ 时， 有意义； （2）要使 有意义，得 |x|﹣12≠0． 解得x≠±12， 当x≠±12时， 有意义； （3）要使 有意义，得x2+1≠0． x为任意实数， 有意义． 总结升华：本题考查了分式有意义，分式的分母不为零分式有意义． 典例3（2021•桐庐县模拟）对于分式 ，下列说法错误的是（ ） A．不论x取何值，分式都有意义 B．分式的值可以等于1 C．不论x取何值，分式值都不为0 D．当x＝0或﹣1时，分式无意义 思路点拨：根据分式有意义的条件判断即可． 解：因为x2+1，x2+2x+2＝（x+1）2+1无论x取何值，都为非负数，故分式有意义， 故选：D． 总结升华：本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 针对训练 1．（2020秋•泰山区期末）使式子 ÷ 有意义的x的值是（ ） A．x≠﹣3且x≠﹣4 B．x≠﹣3且x≠2 C．x≠2且x≠﹣4 D．x≠2且x≠﹣3且x≠﹣4 思路点拨：先利用分式除法法则将除法转化为乘法，根据分式有意义的条件：分式分母不为零时有意义 可求解． 解：由题意得x+4≠0且x+3≠0且x﹣2≠0， 解得x≠﹣4且x≠﹣3且x≠2， 故选：D． 总结升华：本题主要考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 2．（2022春•元宝区校级期末）对于分式 下列说法正确的是（ ） A．当x＝0时分式无意义 B．当x＝2时分式的值为零 C．当x＝±2时分式的值为零 D．当x＝﹣2时分式有意义 思路点拨：根据分式有意义，无意义以及分式值为零的条件解答即可．解：∵对于分式 ， 当x+2＝0，即x＝﹣2时无意义， 当x+2≠0，即x≠﹣2是有意义， 当|x|﹣2＝0且x+2≠0，即x＝2时值为零． 故选：B． 总结升华：本题考查了分式有意义，无意义以及分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且 分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 3．（2022春•南召县期末）无论a取何值，下列分式总有意义的是（ ） A． B． C． D． 思路点拨：根据分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可． 解：A、无论a为何值，分式 都有意义，故此选项正确； B、当a＝0时，分式 无意义，故此选项错误； C、当a＝±1时，分式 无意义，故此选项错误； D、当a＝﹣1时，分式 无意义，故此选项错误； 故选：A． 总结升华：此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 4．（2021秋•南沙区期末）当x＝﹣2时，下列分式没有意义的是（ ） A． B． C． D． 思路点拨：根据分式的分母为0时，分式无意义即可解答． 解：A．分式 没有意义时，x＝﹣2，故A符合题意； B．分式 没有意义时，x＝2，故B不符合题意；C．分式 没有意义时，x＝0，故C不符合题意； D．分式 没有意义时，x＝0，故D不符合题意； 故选：A． 总结升华：本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母为0时，分式无意义是解题的关键． 题型三 分式的值为零 典例4 当x取何值时，下列分式的值为零？ （1） ； （2） ； （3） ． 思路点拨：分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不 可．据此可以解答本题． 解：（1）由题意可得：2x+3＝0且3x+5≠0， 解得x＝﹣1.5． （2）由题意可得：x2﹣4＝0且x+2≠0， 解得x＝2． （3）由题意可得：|x|﹣1＝0且x2+2x﹣3≠0， 解得x＝﹣1． 总结升华：此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等 于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 针对训练 1．当x取何值时，下列分式的值为零？ （1） （2） （3） （4） ．思路点拨：（1）由分式值为0的条件可知；x2﹣4＝0且x+2≠0，从而可解得x的值； （2）由分式值为0的条件可知；x2+2x﹣3＝0且|x|﹣1≠0，从而可解得x的值； （3）由分式值为0的条件可知；x2﹣1＝0且|x2﹣3x+2≠0，从而可解得x的值； （4）由分式值为0的条件可知；5﹣|x＝0且x2+4x﹣5≠0，从而可解得x的值． 解：（1）∵分式值为0， ∴x2﹣4＝0且x+2≠0， 解得x＝2； （2）∵分式值为0， ∴x2+2x﹣3＝0且|x|﹣1≠0， 解得：x＝﹣3； （3）∵分式值为0， ∴x2﹣1＝0且|x2﹣3x+2≠0， 解得：x＝﹣1； （4）∵分式值为0， ∴5﹣|x＝0且x2+4x﹣5≠0， ∴x＝±5，且（x+5）（x﹣1）≠0 ∴x＝5． 总结升华：本题主要考查的是分式值为零的条件和因式分解法解一元二次方程，掌握分式值为零的条件 是解题的关键． 题型四 分式的值为正数或负数 典例5（2022春•振兴区校级期末）若分式 的值为正数，则x的取值范围是（ ） A．x＞﹣2 B．x＜1 C．x＞﹣2且x≠1 D．x＞1 思路点拨：根据分式有意义的条件：分母不等于0和两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 即可得出答案． 解：原式＝ ， 当x≠1时，（x﹣1）2＞0， 当x+2＞0时，分式的值为正数， ∴x＞﹣2且x≠1．故选：C． 总结升华：本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键． 针对训练 1．（2022春•梧州期末）当x 2 时，分式 的值为正数． 思路点拨：根据题意列出不等式即可取出答案． 解：由题意可知：x﹣2＞0， ∴x＞2． 故答案为：x＞2． 总结升华：本题考查分式的值，解题的关键是能够根据题意列出不等式，本题属于基础题型． 2．（2022春•锦江区校级期中）关于x的不等式组 恰有两个整数解，且 的值为正整 数，则整数m的值为 ． 思路点拨：解不等式组求得解集，从而确定m的值，代入分式验证即可． 解：不等式组 的解集为：m≤x≤3， ∵关于x的不等式组 恰有两个整数解， ∴1＜m≤2． ∴整数m的值为2， ∵当m＝2时， 的值为正整数， ∴整数m的值为2． 故答案为：2． 总结升华：本题主要考查了分式的值，一元一次不等式组的整数解，准确求得不等式组的解集是解题的 关键． 3．（2022•泉港区模拟）若分式 的值为负数，则x的取值范围是 ． 思路点拨：直接利用分式的值是负数结合偶次方的性质得出x的取值范围． 解：∵分式 的值为负数， ∴x2＞0，x+3＜0，∴x＜﹣3， 故答案为：x＜﹣3． 总结升华：此题主要考查了分式的值，正确得出x+3的符号是解题关键． 题型五 分式的值为整数 典例6分式 的值为整数，则整数x的值可以是 ． 思路点拨：根据分式 的值为整数，可得：x+2＝±1，±2，据此求出整数x的值可以是多少即可． 解：∵分式 的值为整数， ∴x+2＝±1，±2， ∴整数x的值可以是﹣4、﹣3、﹣1、0． 故答案为：﹣4、﹣3、﹣1、0． 总结升华：此题主要考查了分式的值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是求出x+2的值是多少． 针对训练 1．（2021春•东坡区校级月考）下列结论：①在平面直角坐标系中，点（﹣1，5）在第四象限；②若 ÷ 有意义，则x的取值范围是x≠3且x≠0；③若分式 的值为0，则x的值为±3；④分式 的值为整数，则整数x的值有6个；⑤若已知（x﹣2）x﹣5＝1，则整数x的值是3或1或﹣5，其 中错误的有 ．（填序号） 思路点拨：①根据象限点的坐标特征判断即可； ②根据分母不为0，除式不为0，确定出所求即可； ③根据分式值为0的条件：分母不为0，分子为0，判断即可； ④分式变形后，根据分式值为整数，确定出整数x的值，判断即可； ⑤根据底数为1或﹣1，指数为0三种情况判断即可． 解：①在平面直角坐标系中，点（﹣1，5）在第二象限，符合题意； ②若 ÷ 有意义，则x的取值范围是x≠3且x≠0且x≠﹣5，符合题意； ③若分式 的值为0，则x的值为3，符合题意；④分式 ＝ ＝3+ 的值为整数， ∴2x﹣1＝±1，2x﹣1＝±2，2x﹣1＝±4， 解得：x＝1，x＝0，其中x＝1.5，x＝﹣05，x＝2.5，x＝﹣1.5都舍去， 则整数x的值有2个，符合题意； ⑤若已知（x﹣2）x﹣5＝1，则整数x的值为3或1或5，符合题意， 则错误的有①②③④⑤． 故答案为：①②③④⑤． 总结升华：此题考查了分式的值为零的条件，有理数的乘方，零指数幂，以及点的坐标，熟练掌握各自 的性质是解本题的关键． 2．（2012春•靖江市校级月考）如果分式 的值是正整数，则整数x的值是 ． 思路点拨：分式的分母利用平方差公式分解因式，约分得到最简结果，根据分式的值为正整数即可求出 整数x的值． 解：∵ ＝ ＝ 值为正整数， ∴整数x的值为2，3． 故答案为2，3． 总结升华：此题考查了分式的值，认真审题，抓住问题的关键是解本题的关键． 【模块二】分式的基本性质 题型一 分式的基本性质 典例7（2018秋•任城区校级期中）将分式 中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（ ） A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．扩大9倍 D．扩大27倍 思路点拨：根据分式的基本性质即可求出答案． 解：原式＝ ＝ ， 故选：C．总结升华：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 针对训练 1．（2021秋•丛台区校级期末）把分式 中的x，y的值都扩大为原来的5倍，则分式的值（ ） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的10倍 D．扩大为原来的5倍 思路点拨：根据分式的基本性质即可求出答案． 解： ＝ ＝ × ， 故选：A． 总结升华：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 2．（2021春•光明区期中）若把分式 中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（ ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的 倍 思路点拨：根据分式的基本性质进行判断即可． 解：把分式 中的x和y都扩大为原来的5倍可得， ＝ ＝5× ， 所以原分式的值扩大5倍， 故选：A． 总结升华：本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是正确判断的前提． 题型二 约分 典例8（2022春•洪泽区期中）约分： （1） ； （2） ． 思路点拨：（1）直接利用分式的性质化简得出答案； （2）首先将分子与分母分解因式，进而化简得出答案．解：（1）原式＝ ＝﹣6a； （2）原式＝ ＝ ． 总结升华：此题主要考查了约分，正确分解因式再约分是解题关键． 针对训练 1．（2021秋•长葛市月考）约分： （1） （2） 思路点拨：（1）先找到分子、分母的公因式，再约掉即可； （2）先将分子、分母因式分解，再约去公因式即可． 解：（1）原式＝ ＝﹣ ； （2）原式＝ ＝ ． 总结升华：本题主要考查约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分 子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 题型三 通分 典例9（2022•丰顺县校级开学）通分： （1） ， ， ；（2） ， ， ． 思路点拨：依据最简公分母的概念，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次 幂，即可写出各分式的最简公分母；接下来结合所得最简公分母，将两组分式利用分式的基本性质变形 为同分母的形式即可得解． 解：（1） ， ， ； （2） ， ， ． 总结升华：本题考查通分，解题的关键是掌握通分的方法． 针对训练 1．（2022春•灌云县期末）把分式 进行通分时，最简公分母为 ． 思路点拨：由于几个分式的分母分别是3ab2、2a2、6ab，首先确定3、2、6的最小公倍数，然后确定各 个字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母． 解：分式 的分母分别是3ab2、2a2、6ab，最简公分母为6a2b2． 故答案为：6a2b2． 总结升华：此题主要考查了最简公分母和通分，确定公分母的系数找最小公倍数，确定公分母的字母找 最高指数． 2．（2021秋•宣化区期中）若将分式 与分式 通分后，分式 的分母变为2（x﹣ y）（x+y），则分式 的分子应变为 ． 思路点拨：分式 与分式 的公分母是2（x+y）（x﹣y），据此作出选择．解：因为分 与分式 的公分母是2（x+y）（x﹣y），所以分式 的分母变为2（x ﹣y）（x+y），则分式 的分子应变为3x2×2＝6x2． 故答案是：6x2． 总结升华：本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最 小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 3．（2021春•建邺区校级期末）把分式 进行通分时，最简公分母为 ． 思路点拨：由于几个分式的分母分别是3a、2a2、4ab，首先确定3、2、4的最小公倍数，然后确定各个 字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母． 解：分式 的分母分别是3a、2a2、4ab，最简公分母为12a2b． 故答案为：12a2b． 总结升华：此题主要考查了最简公分母和通分，确定公分母的系数找最小公倍数，确定公分母的字母找 最高指数． 题型四 运用分式基本性质求值 典例10（2021秋•东城区校级期末）在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法， 即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算求值的目的． 例：已知 ，求代数式x2+ 的值． 解：∵ ，∴ ＝5即 ＝5，∴x+ ＝5． （1）请继续完成上面问题的求值过程； （2）请仿照上述方法解决问题：已知 ＝4，求 的值． 思路点拨：（1）把x+ ＝5两边平方，利用完全平方公式化简，计算即可求出所求；（2）已知等式左右两边求倒数，变形后求出x﹣ 的值，两边平方利用完全平方公式化简，原式变形后 代入计算即可求出值． 解：（1）把x+ ＝5两边平方得： （x+ ）2＝25，即x2+ +2＝25， 则x2+ ＝23； （2）∵ ＝4， ∴ ＝ ，即x﹣1﹣ ＝ ， 整理得：x﹣ ＝ ， 两边平方得：（x﹣ ）2＝ ， 整理得：x2+ ﹣2＝ ，x2+ ＝ ， 则原式＝ ＝ ＝ ． 总结升华：此题考查了约分，以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 针对训练 1．（2021秋•绥棱县期末）已知分式 ，当x＝2时，分式的值为零；当x＝﹣2时，分式没有意义． 求a+b的值． 思路点拨：根据分式的值为0，即分子等于0，分母不等于0，从而求得b的值；根据分式没有意义，即 分母等于0，求得a的值，从而求得a+b的值． 解：∵x＝2时，分式的值为零， ∴2﹣b＝0，b＝2． ∵x＝﹣2时，分式没有意义， ∴2×（﹣2）+a＝0， a＝4． ∴a+b＝6． 总结升华：注意：分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式无意义，则分母等于0． 2．（2020秋•丽水期末）已知实数x，y，a，b满足a﹣b＝x﹣y＝3，ax+by＝7． （1）求ay+bx的值； （2）求 的值． 思路点拨：（1）根据已知得：a＝3+b，x＝3+y，代入所求整式和已知等式中可得结论； （2）将所求式子化简并整体代入可得结论． 解：（1）∵a﹣b＝x﹣y＝3， ∴a＝3+b，x＝3+y， ∵ax+by＝7， ∴（3+b）（3+y）+by＝7， ∴3b+3y+2by＝﹣2， ∵ay+bx ＝y（3+b）+b（3+y） ＝3y+3y+2by ＝﹣2； （2）原式＝ ＝ ＝ ＝﹣ ． 总结升华：本题考查了代数式求值问题，对已知条件正确变形并运用整体思想解决问题是本题的关键． 3．（2021春•海州区期中）已知： ，（1）若A＝ ，求m的值； （2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数； （3）若a＞0，比较A与B的大小关系． 思路点拨：（1）根据分式的值相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案； （2）根据拆项法，可得1﹣ ，根据 是整数，可得a的值； （3）根据作差法，可得答案． 解：（1）由A＝ ，得 ＝1﹣ ＝ ，2﹣m＝1，解得m＝1； （2）B＝ ＝1﹣ ，∴当a+4＝±1时B为整数 a＝﹣3，a＝﹣5． （3）当a＞0时，A﹣B＝﹣ ＜0， A＜B． 总结升华：本题考查了分式的值，利用分式的值得出方程是解题关键． 4．已知 ，求 的值． 思路点拨：可以设 ＝k，则x＝3k，y＝4k，z＝5k，把这三个式子代入所要求的式子，进行化简 就可以求出式子的值． 解：设 ＝k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝5k， ∴ ． 总结升华：利用这个题目中的设法，把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题，是解题的关键． 第二部分 专题提升训练 一.选择题 1．（2020•南宁模拟）要使分式 有意义，x的取值范围为（ ）A.x≠﹣5 B.x＞0 C.x≠﹣5且x＞0 D.x≥0 5ab 2．若分式3a2b 有意义，则 a、b 满足的关系是（ ） 1 2 2 a  b b  a a   b A． 3a2b B． 5 C． 3 D． 3 2x x y x、y m m 3.把分式 中的 都扩大 倍（ ≠0），则分式的值（ ） m m A．扩大 倍 B．缩小 倍 C．不变 D．不能确定 1b 4．若分式2b2 1的值是负数，则 b 满足（ ） b b b b A． ＜0 B． ≥1 C． ＜1 D． ＞1 x y x y x y x y x y x y ①  ;②  ;③  ; 5．下面四个等式： 2 2 2 2 2 2 x y x y ④   2 2 其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 a2 b2 6．化简a2 2abb2 的正确结果是（ ） ab ab 1 1 A． ab B． ab C． 2ab D． 2ab 二.填空题 2x (x3)2 7.使分式 有意义的条件为______． |x|4 8．当______时，分式 x4 的值为零． 9.（2020秋•临清市期末）若 ，则 = ． mn nm 2a1 12a (1) ( ) ;(2)   10．填空： mn mn 2b ( ) 2b 11．填入适当的代数式，使等式成立．a 1 b ( )  . a2 ab2b2 ( ) a ba   1 （1） a2b2 ab （2） b m2 2m1 12. 分式 1m2 约分的结果是______． 三.解答题 13.（2020春•泰兴市校级期中）（1）当x=﹣1时，求分式 的值． （2）已知a2﹣4a+4与|b﹣1|互为相反数，求 的值． 1 1 3x7xy3y  2 x y 2x3xy2y 14.已知 ，求 的值． x 2 x2  , 15.（1）阅读下面解题过程：已知 x2 1 5 求 x4 1的值． x 2 解：∵ x2 1  5 , x0 1 2 ∴  , 1 5 1 5 x x   x 即 x 2 x2 1 1 1 4 ∴      x4 1 1 1 5 17 x2  (x )2 2 ( )2 2 x2 x 2 （2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目： x x2 2, 已知 x2 3x1 求 x4 x2 1的值． 【第二部分 专题提升训练 答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D； 【解析】由题意得：x+5≠0，且x≥0， 解得：x≥0， 故选：D． 2. 【答案】D；2 a   b 3a2b0 3 【解析】由题意， ，所以 . 3. 【答案】C； 2mx m2x 2x   mxmy m(x y) x y 【解析】 . 4. 【答案】D； 2b2 10, 1b0, b 【解析】因为 所以 即 ＞1. 5. 【答案】C； 【解析】①④正确. 6. 【答案】B； a2 b2 abab ab   a2 2abb2 ab2 ab 【解析】 . 二.填空题 x3 7. 【答案】 . x4 8. 【答案】 ； |x|40  x40 x4 【解析】 ，所以 . 9. 【答案】 ； 【解析】解：设 =k， 则a=2k，b=3k，c=4k． ∴ = = = ． 故答案为 ． 10.【答案】（1）－；（2）＋； a2b ba 11.【答案】（1） ；（2） ； a ab 1 b b ab a2 ab2b2 aba2b    a ba ba a2b2 abab 1 b b 【解析】 ； . 1m 12.【答案】1m ； m2 2m1 m12 1m   1m2 1m1m 1m 【解析】 . 三.解答题13.【解析】 解：（1） = = = （2）a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，|b﹣1|≥0， ∵a2﹣4a+4与|b﹣1|互为相反数， ∴a﹣2=0，b﹣1=0， ∴a=2，b=1 ∴ = = 14.【解析】 1 1 yx   2 x y xy 解：方法一：∵ ， xy 2xy  yx 等式两边同乘以 ，得 ． x y 2xy ∴ ． 3x7xy3y 3(x y)7xy 32xy7xy xy 1     2x3xy2y 2(x y)3xy 22xy3xy 7xy 7 ∴ ． 1 1  2 x y 方法二：∵ ， 3 3 1 1 7 3    7 3x7xy3y y x  x y 327 1     2x3xy2y 2 2 1 1 223 7 3 2  3   y x  x y ∴ ． 15.【解析】x 解：∵ x2 3x1 2, x0 1 2 1 1 7 x 3 x  x x 2 ∴ ，∴ x2 1 1 1 4     x4 x2 1 x2  1 1  1 2 7 2 45 x 1 1 x2      x 2 ∴ .