【七下2】平面直角坐标系《孙维刚初中数学(第二版)》读后笔记18

此篇是《孙维刚初中数学（第二版）》（作者：孙维刚）阅读笔记的第18篇。

第七章　相交线与平行线

第八章　实数

第九章　平面直角坐标系

第十章　二元一次方程组

第十一章　不等式与不等式组

第十二章　数据的收集、整理与描述

内容提要

1.平面直角坐标系基本知识

2.平面直角坐标系上的点

3.坐标的平移

下面对上述内容进行展开。

一、平面直角坐标系基本知识

平面直角坐标系基本知识：

直角坐标平面上的点和有序实数对是一一对应的

即直角坐标平面上的任何一个点，都代表也只代表了一组有序实数对（它的横、纵坐标数）；任意一组有序实数对，都表示了坐标平面上的一个确定的点。

坐标平面上点的坐标的特点

(1)第一象限上点的坐标为(+，+)；第二象限为(-，+)；第三象限为(-，-)；第四象限为(+，-)。x轴上的点为(a，0)；y轴为(0，a)；在第一、三象限的角平分线（即y=x）上的点为(a，a)；在第二、四象限的角平分线（即y=-x）上的点为(a，-a)，其中，a为任意实数

(2)关于x轴对称的两点的坐标为(a、b)、(a，-b)；关于y轴为(a，b)、(-a，b)；关于原点为(a，b)、(-a，-b)；关于直线y=x为(a，b)、(b，a)；关于直线y=-x为(a，b)、( -b，-a)

《孙维刚初中数学（第二版）》 作者：孙维刚

我们可以用下图来看一下这些点的情况：

二、平面直角坐标系上的点

平面直角坐标系的要素是什么？也许有人会说这是一个简单问题。但我认为这是用好坐标法的前提。平面直角坐标系由两根共原点的正交数轴构成，数轴的“三要素”反映在坐标系中，除了原点、长度单位，“方向”在直角坐标系中演变为“象限”，其几何意义就是“方位”。坐标系内点P的坐标(x，y)唯一确定了它落在哪个象限（方位）。

其次，在直角坐标系下讨论问题，关键是树立“发挥直角坐标系的力量”的意识。为了体现这种意识，我们可以从坐标系中的点开始，发现和提出问题：

《章建跃数学教育随想录 下》作者：章建跃

(1)对于平面直角坐标系中的一个点，可以讨论哪些问题？一般地，可以讨论点所在的象限与它的坐标之间的对应关系，特殊地，点在坐标轴上时坐标的特征，点在各象限的角平分线上时坐标的特征。或者是其逆。

(2)对于直角坐标系中的两个点，可以讨论哪些问题？首要的是两点之间的距离如何用坐标表示。另外，对称性是最重要的几何特性之一，因此可以讨论两个点的对称如何用坐标之间的关系来表示，例如，关于原点成中心对称的两个点的坐标的关系，关于坐标轴、y=x和y=-x对称的两个点的坐标之间的关系。

《章建跃数学教育随想录 下》作者：章建跃

(3)对于直角坐标系中的三个点，可以讨论哪些问题？首先是三点共线问题，可以讨论“三点共线的条件”，得出定比分点公式。如果三点不共线，把它们看成是三角形的三个顶点，因为三个顶点唯一确定一个三角形，所以关于三角形的所有结论，都可以用这三个顶点的坐标进行表示。

(4)在直角坐标系中，为什么首选“直线上的一个定点以及它的倾斜角”作为确定一条直线的几何要素，而不是沿用平面几何中“两点确定唯一一条直线”？

从与人们的直觉习惯相适应的角度考虑，取直线与x轴正向之间所成的角作为区别直线的“方向”要素是自然的。细节上考虑,最终以“由x轴正向与直线向上方向之间所成的角”为直线的倾斜角。

《章建跃数学教育随想录 下》作者：章建跃

在平面直角坐标系中，我们先研究点，然后是直线，然后是曲线，像上面讨论问题的分类，值得学习，例如点和直线，可以讨论点是否在直线上，点到直线的距离，点关于直线的对称点等问题。

三、坐标的平移