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专练 33 高考大题专练(三) 数列的综合运用
授课提示：对应学生用书69页
1．[2024·全国甲卷(理)]记S 为数列{a}的前n项和，且4S＝3a＋4.
n n n n
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)设b＝(－1)n－1na，求数列{b}的前n项和T.
n n n n
解析：(1)因为4S ＝3a ＋4，所以4S ＝3a ＋4，两式相减得4a ＝3a －3a ，即
n n n＋1 n＋1 n＋1 n＋1 n
a ＝－3a.
n＋1 n
又因为4S＝3a＋4，所以a＝4，故数列{a}是首项为4，公比为－3的等比数列．
1 1 1 n
所以a＝4·(－3)n－1.
n
(2)方法一 由(1)及题意得，b ＝(－1)n－1na ＝4n·3n－1，所以T ＝4(1·30＋2·31＋3·32＋…
n n n
＋n·3n－1)，
3T ＝4(1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n)，两式相减可得－2T ＝4(1＋31＋32＋…＋3n－1－
n n
n·3n)＝4(－n·3n)＝(2－4n)3n－2，
所以T＝(2n－1)3n＋1.
n
方法二 由(1)及题意得b ＝(－1)n－1na ＝4n·3n－1，所以当n≥2时，T ＝T ＋4n·3n－
n n n n－1
1，两边同时减去(2n－1)3n，得T－(2n－1)3n＝T －(2n－3)3n－1，故{T－(2n－1)3n}为常数
n n－1 n
列．
所以T －(2n－1)3n＝T －(2×1－1)·3＝1，所以T ＝(2n－1)3n＋1，n≥2.当n＝1时，T
n 1 n 1
＝b＝4，满足上式，所以T＝(2n－1)3n＋1．
1 n
2．设等差数列{a}的公差为d，且d>1.令b ＝，记S ，T 分别为数列{a}，{b}的前n
n n n n n n
项和．
(1)若3a＝3a＋a，S＋T＝21，求{a}的通项公式；
2 1 3 3 3 n
(2)若{b}为等差数列，且S －T ＝99，求d.
n 99 99
解析：(1)因为3a＝3a＋a，所以3(a－a)＝a＋2d，
2 1 3 2 1 1
所以3d＝a＋2d，所以a＝d，所以a＝nd.
1 1 n
因为b＝，所以b＝＝，
n n
所以S＝＝＝6d，T＝b＋b＋b＝＋＋＝.
3 3 1 2 3
因为S＋T＝21，
3 3
所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝，
因为d>1，所以d＝3.
所以{a}的通项公式为a＝3n.
n n
(2)因为b＝，且{b}为等差数列，
n n
所以2b＝b＋b，即2×＝＋，
2 1 3
所以－＝，所以a－3ad＋2d2＝0，
1
解得a＝d或a＝2d.
1 1
①当a＝d时，a＝nd，所以b＝＝＝，
1 n n
S ＝＝＝99×50d，
99
T ＝＝＝.
99
因为S －T ＝99，
99 99
所以99×50d－＝99，
即50d2－d－51＝0，
解得d＝或d＝－1(舍去).
②当a＝2d时，a＝(n＋1)d，所以b＝＝＝，
1 n n
S ＝＝＝99×51d，
99
T ＝＝＝.
99
因为S －T ＝99，
99 99所以99×51d－＝99，
即51d2－d－50＝0，
解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去).
综上，d＝.
3．已知数列{a}满足a＝1，a ＝
n 1 n＋1
(1)记b＝a ，写出b，b，并求数列{b}的通项公式；
n 2n 1 2 n
(2)求{a}的前20项和．
n
解析：(1)由题设可得b＝a＝a＋1＝2，b＝a＝a＋1＝a＋2＋1＝5
1 2 1 2 4 3 2
又a ＝a ＋1，a ＝a ＋2，(k∈N*)
2k＋2 2k＋1 2k＋1 2k
故a ＝a ＋3，即b ＝b＋3，即b －b＝3
2k＋2 2k n＋1 n n＋1 n
所以为等差数列，故b＝2＋×3＝3n－1.
n
(2)设的前20项和为S ，则S ＝a＋a＋a＋…＋a ，
20 20 1 2 3 20
因为a＝a－1，a＝a－1，…，a ＝a －1，
1 2 3 4 19 20
所以S ＝2－10
20
＝2－10
＝2×－10＝300.
4．[2022·新高考Ⅰ卷]记S 为数列的前n项和，已知a＝1，是公差为的等差数列．
n 1
(1)求的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<2.
解析：(1)∵a＝1，∴＝1.
1
又∵是公差为的等差数列，
∴＝＋(n－1)，
即S＝(n＋)a＝(n＋2)a，
n n n
∴当n≥2时，S ＝(n＋1)a ，
n－1 n－1
∴a＝S－S ＝(n＋2)a－(n＋1)a ，n≥2，即(n－1)a＝(n＋1)a ，n≥2，
n n n－1 n n－1 n n－1
∴＝，n≥2，
∴当n≥2时，··…··＝··…··＝，∴a＝.
n
当n＝1时，a＝1满足上式，∴a＝.
1 n
(2)证明：由(1)知a＝，
n
∴＝＝2(－)，
∴＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－).
∵n∈N*，∴0＜≤，∴1－＜1，
∴2(1－)＜2，∴＋＋…＋＜2.
5．[2023·全国甲卷(理)]记S 为数列{a}的前n项和，已知a＝1，2S＝na.
n n 2 n n
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)求数列{}的前n项和T.
n
解析：(1)当n＝1时，2S＝a，即2a＝a，所以a＝0.
1 1 1 1 1
当n≥2时，由2S＝na，得2S ＝(n－1)a ，
n n n－1 n－1
两式相减得2a＝na－(n－1)a ，
n n n－1
即(n－1)a ＝(n－2)a，
n－1 n
当n＝2时，可得a＝0，
1
故当n≥3时，＝，则··…·＝··…·，
整理得＝n－1，因为a＝1，所以a＝n－1(n≥3).
2 n
当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以a＝n－1.
n
(2)方法一 令b＝＝，
n
则T＝b＋b＋…＋b ＋b＝＋＋…＋＋①，
n 1 2 n－1 n
T＝＋＋…＋＋②
n
由①－②得T＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，
n
即T＝2－.
n
方法二 设b＝，
n所以b＝＝＝(n＋0)×，
n
故a＝，b＝0，q＝.
故A＝＝＝－1，B＝＝＝－2，C＝－B＝2.
故T＝(An＋B)·qn＋C＝(－n－2)＋2，整理得T＝2－.
n n
6．记S 为数列{a}的前n项和，b 为数列{S}的前n项积，已知＋＝2.
n n n n
(1)证明：数列{b}是等差数列；
n
(2)求{a}的通项公式．
n
解析：(1)因为b 是数列{S}的前n项积，
n n
所以n≥2时，S＝，
n
代入＋＝2可得，＋＝2，
整理可得2b ＋1＝2b，即b－b ＝(n≥2).
n－1 n n n－1
又＋＝＝2，所以b＝，
1
故{b}是以为首项，为公差的等差数列．
n
(2)由(1)可知，b＝，则＋＝2，所以S＝，
n n
当n＝1时，a＝S＝，
1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝－＝－.
n n n－1
故a＝.
n
7．[2023·新课标Ⅱ卷]已知{a}为等差数列，b ＝.记S ，T 分别为数列{a}，{b}的前n
n n n n n n
项和，S＝32，T＝16.
4 3
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)证明：当n>5时，T>S.
n n
解析：(1)设等差数列{a}的公差为d.
n
因为b＝，
n
所以b＝a－6，b＝2a＝2a＋2d，b＝a－6＝a＋2d－6.
1 1 2 2 1 3 3 1
因为S＝32，T＝16，
4 3
所以，
整理，得，解得，
所以{a}的通项公式为a＝2n＋3.
n n
(2)由(1)知a＝2n＋3，
n
所以S＝＝n2＋4n.
n
当n为奇数时，
T ＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…
n
＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝＋＝.
当n>5时，T－S＝－(n2＋4n)＝＝>0，
n n
所以T>S.
n n
当n为偶数时，T＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋
n
7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝＋＝.
当n>5时，T－S＝－(n2＋4n)＝＝>0，所以T>S.
n n n n
综上可知，当n>5时，T>S.
n n
8．设{a}是首项为1的等比数列，数列{b}满足b＝.已知a，3a，9a 成等差数列．
n n n 1 2 3
(1)求{a}和{b}的通项公式；
n n
(2)记S 和T 分别为{a}和{b}的前n项和．证明：T<.
n n n n n
解析：(1)设{a}的公比为q，则a＝qn－1.
n n
因为a，3a，9a 成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，故a＝，b＝.
1 2 3 n n
(2)由(1)知S＝＝(1－)，T＝＋＋＋…＋，①
n n
T＝＋＋＋…＋＋，②
n
①－②得T＝＋＋＋…＋－，
n
即T＝－＝(1－)－，
n
整理得T＝－，
n
则2T－S＝2(－)－(1－)＝－<0，故T<.
n n n
