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专练 45 椭圆
授课提示：对应学生用书95页
[基础强化]
一、选择题
1．椭圆＋＝1上一点M到其中一个焦点的距离为3，则点M到另一个焦点的距离为(
)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：D
解析：∵a＝4，由椭圆的定义知，M到另一个焦点的距离为2a－3＝2×4－3＝5.
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的
另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
答案：B
解析：由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|
CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)
＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
3．[2024·九省联考]椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则a＝( )
A． B．
C． D．2
答案：A
解析：由题意得e＝＝＝，解得a＝.故选A.
4．已知F ，F 是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF |·|MF |的最大值为(
1 2 1 2
)
A．13 B．12
C．9 D．6
答案：C
解析：由题，a2＝9，b2＝4，则＋＝2a＝6，
所以·≤2＝9(当且仅当＝＝3时，等号成立).故选C.
5．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：由题可知椭圆的焦点落在x轴上，c＝2，
∴a2＝4＋c2＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.
6．[2023·新课标Ⅰ卷]设椭圆C ：＋y2＝1(a>1)，C ：＋y2＝1的离心率分别为e ，e.若
1 2 1 2
e＝e，则a＝( )
2 1
A． B．
C． D．
答案：A解析：方法一 由已知得e＝，e＝＝，因为e＝e，所以＝×，得a＝.故选A.
1 2 2 1
方法二 若a＝，则e＝＝＝，又e＝，所以e＝e，所以a＝符合题意．故选A.
1 2 2 1
7．[2023·全国甲卷(理)]设O为坐标原点，F ，F 为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P
1 2
在C上，cos ∠FPF＝，则|OP|＝( )
1 2
A． B．
C． D．
答案：B
解析：
方法一 依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图，不妨令F(－，0)，F(，0).设|PF|＝m，|PF|
1 2 1 2
＝n，在△FPF 中，cos ∠FPF＝＝ ①，
1 2 1 2
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝.
设|OP|＝x.
在△FOP和△FOP中，∠FOP＋∠FOP＝π，
1 2 1 2
由余弦定理得＝－，
得x2＝＝＝，所以|OP|＝.
方法二 依题意a＝3，b＝，c＝＝.
如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x，y)，α＝∠FPF，
0 0 1 2
则cos ∠FPF＝cos α＝，
1 2
故sin ∠FPF＝sin α＝＝＝，则tan＝或tan ＝2(舍去).
1 2
故△FPF 的面积S△FPF＝b2tan ＝6×＝3.
1 2 1 2
又S△FPF＝×2c|y|＝|y |，
1 2 0 0
故y＝3，又＋＝1，
所以x＝，|OP|2＝x＋y＝，|OP|＝.
方法三 依题意a＝3，b＝，c＝＝.
如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x，y)，利用焦点三角形面积公式知S△FPF＝.
0 0 1 2
因为cos ∠FPF ＝，所以sin ∠FPF ＝，故S△FPF ＝＝3.又S△FPF ＝×2c|y|＝|
1 2 1 2 1 2 1 2 0
y|，故y＝3，
0
又＋＝1，所以x＝，|OP|2＝x＋y＝，|OP|＝.
方法四 依题意a＝3，b＝，c＝＝.
如图(图同方法一)，不妨令F(－，0)，F(，0).
1 2
设|PF|＝m，|PF|＝n，在△FPF 中，cos ∠FPF＝＝ ①，
1 2 1 2 1 2
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝.
因为PO＝(PF ＋PF)，
1 2
所以|PO|2＝(m2＋n2＋2mn cos ∠FPF)＝＝，所以|PO|＝.
1 2
8．设椭圆＋＝1的焦点为 F ，F ，点 P在椭圆上，若△PFF 为直角三角形，则
1 2 1 2
△PFF 的面积为( )
1 2
A．3 B．3或C． D．6或3
答案：C
解析：由已知a＝2，b＝，c＝1，
若P为短轴的顶点(0，)时，∠FPF＝60，△PFF 为等边三角形，
1 2 1 2
∴∠P不可能为直角，
若∠F＝90°，则|PF|＝＝，
1 1
S△PFF＝··2c＝.
1 2
9．[2022·全国甲卷(理)，10]椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，
且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：设P(x ，y)，则点Q的坐标为(－x ，y).由题意，得点A(－a，0).又直线AP，
1 1 1 1
AQ的斜率之积为，所以·＝，即＝①.又点P在椭圆C上，所以＋＝1②.由①②，得＝，所
以a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝＝.故选A.
二、填空题
10．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
答案：(3，4)∪(4，5)
解析：由题意可知
解得3b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且
1 2 ⃗PF
1
⊥ ，若△PFF 的面积为9，则b＝________．
⃗PF 1 2
2
答案：3
解析：如图，
∵ ⊥ ，
⃗PF ⃗PF
1 2
∴△PFF 为直角三角形，
1 2
又△PFF 的面积为9，
1 2
∴|PF ||PF|＝9，
1 2
得|PF||PF|＝18，
1 2
在Rt△PFF 中，由勾股定理得：|PF|2＋|PF|2＝|FF|2，
1 2 1 2 1 2∴(|PF|＋|PF|)2－2|PF||PF|＝4c2，即2(a2－c2)＝|PF||PF|＝18，
1 2 1 2 1 2
得b2＝a2－c2＝9，∴b＝3.
[能力提升]
13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A，A 分别为C的左、右顶点，B为C的
1 2
上顶点．若 · ＝－1，则C的方程为( )
⃗BA ⃗BA
1 2
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
答案：B
解析：由椭圆C的离心率为，可得e＝＝＝.化简，得8a2＝9b2.易知A(－a，0)，A(a，
1 2
0)，B(0，b)，所以 · ＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－1.联立得方程组解得所以
⃗BA ⃗BA
1 2
C的方程为＋＝1.故选B.
14．[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F ，F ，直线y＝x＋
1 2
m与C交于A，B两点，若△FAB 面积是△FAB 面积的2倍，则m＝( )
1 2
A． B．
C．－ D．－
答案：C
解析：由题意，F(－，0)，F(，0)，△FAB面积是△FAB面积的2倍，所以点F 到直
1 2 1 2 1
线AB的距离是点F 到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)，故
2
选C.
15．F ，F 是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点 P，使∠FPF ＝
1 2 1 2
90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
答案：[，1)
解析：设P 为椭圆＋＝1的上顶点，由题意得∠FPF≥90°，
0 1 0 2
∴∠OPF≥45°，∴≥sin 45°，∴e≥，
0 2
又0b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为
F ，F ，离心率为.过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周
1 2 1 2
长是________．
答案：13
解析：由题意知e＝＝，所以a＝2c，b＝c，所以△AFF 是等边三角形，所以DE垂直
1 2
平分AF，所以|AD|＝|DF|，|AE|＝|EF|，所以△ADE的周长为|DE|＋|AD|＋|AE|＝|DE|＋|DF|
2 2 2 2
＋|EF|.由椭圆的定义，可知|DE|＋|DF|＋|EF|＝4a＝8c.因为直线DE的斜率k＝tan 30°＝，
2 2 2
所以直线DE的方程为y＝(x＋c)，即x＝y－c.由椭圆方程＋＝1，得3x2＋4y2＝12c2.将x＝y
－c代入并整理，得13y2－6cy－9c2＝0.设D(x ，y)，E(x ，y)，则y ＋y ＝，yy ＝－，所
1 1 2 2 1 2 1 2
以|DE|＝＝·＝ ＝c＝6，解得c＝.所以△ADE的周长是8c＝13.
