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2013年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）
一、填空题（共4小题，每小题8分，满分32分）
1．（8分）计算：2013÷（25×52﹣46×15）×10＝ ．
2．（8分）小明碰到了三个人，其中一位是牧师、一位是骗子、一位是疯子．牧师只说真话，骗
子只说假话，疯子有时说真话，有时说假话．第一位说：“我是疯子．”第二位说：“你胡
说，你才不是疯子呢！”第三位说：“别说了，我是疯子．”一那么．这三个人中第
位是疯子．
3．（8分）红色礼盒5元1个，内有陀螺3个；黄色礼盒9元1个，内有陀螺5个，蕾蕾用600
元买了72礼盒，这些礼盒打开后可以得到 个陀螺．
4．（8分）将1﹣9填入3×3的表格中，要求同一行右面的数字比左面的数大；同一列下面的数
比上面的数大，其中1，4，9已经填好，那么其余6个整数有 种不同的填法．
二、填空题（共4小题，每小题10分，满分40分）
5．（10分）如图 1，“L”形的宽度为3厘米．将4个这样的“L”形贴放在九宫格的4个角上，
形成的图形如图2．如果 4个“L”形的面积之和恰好等于图2中阴影部分的面积，那么，
1 个“L”形的面积是 平方厘米．
6．（10分）宴会邀请来了44位嘉宾，会场里有15张相同的正方形桌子，每张每边能坐1人，
经适当“拼桌”（将几张正方形拼一张长方形或正方形桌子）后，恰好让所有嘉宾全部入
座而且没有空位．那么最后会场里最少有 张桌子．
7．（10分）甲乙丙丁都参加了100米短跑决赛．在比赛前，他们如下预测；
甲预测：“如果丙是第4，那么我就是第2．”
乙预测：“如果甲是第2，那我就是第1．”
丙预测：“甲乙两人的比赛成绩要么都高于我，要么都低于我．”
第1页（共8页）丁预测：“甲乙两人的比赛成绩肯定一人比我高，而另一人比我低．”
比赛结束，他们获得了这项比赛的前4名（无并列），且每人都预测正确．
如果甲、乙、内、丁分别获得第A、B、C、D名，那么四位数 ＝ ．
8．（10分）《诗》、《书》、《礼》、《易》、《春秋》这5本书的页数各不相同：《诗》和《书》相差24
页．《书》和《礼》相差17页．《礼》和《易》》相差27页．《易》和《春秋》相差19页．《春秋》
和《诗》相差15页．那么，这5本书中，页数最多的和页数最少的相差 页．
三、填空题（共3小题，每小题12分，满分36分）
9．（12分）甲乙丙丁四人共有251张邮票，已知甲的邮票比乙的2倍多2张，比丙的3倍多6
张，比丁得4倍少16张，那么丁有 张邮票．
10．（12分）图1的3×3表格中已经填好了数，选择一个格为起点，如果对这个黑格和与它相
邻的白格中所填数进行加减乘除中的一次运算（计算时大数在前），计算结果是与白格相
邻的另一个黑格所填数的整数倍，就能经过这个白格走到下一个黑格．要求每个格子恰好
进过一次．（例如图2中，从7经过8可以走到5，并且图2中箭头走向是一种正确走法）请
在图1中找出正确的走法．若图1中正确走法的前3个格子所填数依次为A，B，C，那么三
位数 ＝ ．
11．（12分）欢欢、迎迎和妮妮手中共有卡片 2712 张，桌子上还有一些卡片． 他们 3 人进
行了如下操作：
第一次：欢欢从迎迎和妮妮手中各拿来1张卡片；
第二次：妮妮从桌子上拿了2张卡片，并让欢欢和迎迎中，卡片数较少的人拿走卡片数较
多的人一张卡片；
第三次：迎迎从桌子上拿了4张卡片，如果手上卡片数是偶数，则将手中的一半卡片交给
欢欢和妮妮中卡片数较少的那个人；如果是奇数，则游戏终止．
我们把上述三次操作称为“一轮操作”．如果他们顺利地进行了50轮操作，而没有出现
游戏终止的情况．此时他们手中卡片数按妮妮、欢欢、迎迎的顺序成等差数列．那么，原来
欢欢有 张卡片．
第2页（共8页）2013 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）
参考答案与试题解析
一、填空题（共4小题，每小题8分，满分32分）
1．（8分）计算：2013÷（25×52﹣46×15）×10＝ 3 3 ．
【解答】解：2013÷（25×52﹣46×15）×10
＝2013÷（5×2×5×26﹣23×2×3×5）×10
＝2013÷（10×5×26﹣23×3×10）×10
＝2013÷（5×26﹣23×3）
＝2013÷（130﹣69）
＝2013÷61
＝33；
故答案为：33．
2．（8分）小明碰到了三个人，其中一位是牧师、一位是骗子、一位是疯子．牧师只说真话，骗
子只说假话，疯子有时说真话，有时说假话．第一位说：“我是疯子．”第二位说：“你胡
说，你才不是疯子呢！”第三位说：“别说了，我是疯子．”一那么．这三个人中第 3
位是疯子．
【解答】解：根据分析，（1）假设第一位是疯子，则第二位是骗子，第三位也是骗子，矛盾；
（2）假设第二位是疯子，则第一位是骗子，第三位也是骗子，矛盾；
（3）假设第三位是疯子，则第一位是骗子，第二位是牧师，成立，
所以第三位是疯子．
故答案是：3．
3．（8分）红色礼盒5元1个，内有陀螺3个；黄色礼盒9元1个，内有陀螺5个，蕾蕾用600
元买了72礼盒，这些礼盒打开后可以得到 33 6 个陀螺．
【解答】解：依题意可知：
假设都是黄色礼盒．需72×9＝648元．
所以红色礼盒有（648﹣600）÷（9﹣5）＝12（个）；
所以共有陀螺3×12+（72﹣12）×5＝336（个）；
故答案为：336
4．（8分）将1﹣9填入3×3的表格中，要求同一行右面的数字比左面的数大；同一列下面的数
第3页（共8页）比上面的数大，其中1，4，9已经填好，那么其余6个整数有 1 2 种不同的填法．
【解答】解：2或3只能填在左上角的4个格子中，
还剩下4个数，任意选两个填入左下角，小的填在左侧，剩下的两个填在右上角，大的填在
下面，即可完成．有 ＝6种填法，
所以根据乘法原理，共有2×6＝12种填法．
故答案为12．
二、填空题（共4小题，每小题10分，满分40分）
5．（10分）如图 1，“L”形的宽度为3厘米．将4个这样的“L”形贴放在九宫格的4个角上，
形成的图形如图2．如果 4个“L”形的面积之和恰好等于图2中阴影部分的面积，那么，
1 个“L”形的面积是 4 5 平方厘米．
【解答】解：设图中最小的正方形的边长为a，则9个小正方形构成的大正方形的边长为
3a，比小正方形的边长稍大一些的正方形的边长为a+3，
4个L型的面积之和为4（a+3）2﹣4a2，阴影部分的面积＝5a2，
由题意4（a+3）2﹣4a2＝5a2，
∴4（a+3）2＝9a2，
∴2（a+3）＝3a，
∴a＝6，
∴1 个“L”形的面积是（6+3）2﹣62＝45．
故答案为：45．
第4页（共8页）6．（10分）宴会邀请来了44位嘉宾，会场里有15张相同的正方形桌子，每张每边能坐1人，
经适当“拼桌”（将几张正方形拼一张长方形或正方形桌子）后，恰好让所有嘉宾全部入
座而且没有空位．那么最后会场里最少有 7 张桌子．
【解答】解：15×4＝60（个）
减少桌子：（60﹣44）÷2
＝16÷2
＝8（张）
还剩桌子：15﹣8＝7（张）
可以如下图：（答案不唯一）
答：最后会场里最少有7张桌子．
故答案为：7．
7．（10分）甲乙丙丁都参加了100米短跑决赛．在比赛前，他们如下预测；
甲预测：“如果丙是第4，那么我就是第2．”
乙预测：“如果甲是第2，那我就是第1．”
丙预测：“甲乙两人的比赛成绩要么都高于我，要么都低于我．”
丁预测：“甲乙两人的比赛成绩肯定一人比我高，而另一人比我低．”
比赛结束，他们获得了这项比赛的前4名（无并列），且每人都预测正确．
如果甲、乙、内、丁分别获得第A、B、C、D名，那么四位数 ＝ 421 3 ．
【解答】解：根据分析，可知丁的名次在甲乙之间，故丁肯定不可能是第一或第四，只有可
能是第2或第3；
结合丙的话可知，四人的名次只可能是“甲、丁、乙、丙”、“丙、甲、丁、乙”、
“乙、丁、甲、丙”、“丙、乙、丁、甲”；
用甲乙的话检验，可知，四人名次只能是4、2、1、3．
故答案是：4213．
8．（10分）《诗》、《书》、《礼》、《易》、《春秋》这5本书的页数各不相同：《诗》和《书》相差24
页．《书》和《礼》相差17页．《礼》和《易》》相差27页．《易》和《春秋》相差19页．《春秋》
和《诗》相差15页．那么，这5本书中，页数最多的和页数最少的相差 3 4 页．
【解答】解：设《诗》有a页，则：
第5页（共8页）a□24□17□27□19＝a□15
易知：
a+24﹣17+27﹣19＝a+15
所以：
《书》＝a+24，
《礼》＝a+24﹣17＝a+7，
《易》＝a+7+27＝a+34
所以差别最大的是：《诗》和《易》是34页．
故答案为：34．
三、填空题（共3小题，每小题12分，满分36分）
9．（12分）甲乙丙丁四人共有251张邮票，已知甲的邮票比乙的2倍多2张，比丙的3倍多6
张，比丁得4倍少16张，那么丁有 3 4 张邮票．
【解答】解：2乙+2＝甲；
3丙+6＝甲；
4丁﹣16＝甲；
将这三个式子中乙丙丁的系数化成相同，可得：
12乙+12＝6甲；
12丙+24＝4甲；
12丁﹣48＝3甲；
由上可得：12甲+12乙+12丙+12丁＝12甲+6甲+3甲﹣12﹣24+48＝251×12；
即25甲＝251×12﹣12＝250×12＝3000．
甲＝3000÷25＝120（张）
丁＝（120+16）÷4＝34（张）
答：丁有 34张邮票．
故答案为：34．
10．（12分）图1的3×3表格中已经填好了数，选择一个格为起点，如果对这个黑格和与它相
邻的白格中所填数进行加减乘除中的一次运算（计算时大数在前），计算结果是与白格相
邻的另一个黑格所填数的整数倍，就能经过这个白格走到下一个黑格．要求每个格子恰好
进过一次．（例如图2中，从7经过8可以走到5，并且图2中箭头走向是一种正确走法）请
在图1中找出正确的走法．若图1中正确走法的前3个格子所填数依次为A，B，C，那么三
位数 ＝ 83 4 ．
第6页（共8页）【解答】解：将所有可能的路径用箭头连接，如图所示，其中1只有一条路可以选择，与1
相邻的8只有两条路：
若走8→3→5方向，接下来→6→7→2是唯一的，9和4无法连通；若走5→3→8方向，7
①和6无法连通，因此不能走弯路．
若 走 直 路 ， 那 么 前 面 3 个 格 就 是 834 ， 后 面 的 路 不 止 一 种 ， 例 如 ：
②8→3→4→9→5→1→6→7．
故答案为834．
11．（12分）欢欢、迎迎和妮妮手中共有卡片 2712 张，桌子上还有一些卡片． 他们 3 人进
行了如下操作：
第一次：欢欢从迎迎和妮妮手中各拿来1张卡片；
第二次：妮妮从桌子上拿了2张卡片，并让欢欢和迎迎中，卡片数较少的人拿走卡片数较
多的人一张卡片；
第三次：迎迎从桌子上拿了4张卡片，如果手上卡片数是偶数，则将手中的一半卡片交给
欢欢和妮妮中卡片数较少的那个人；如果是奇数，则游戏终止．
我们把上述三次操作称为“一轮操作”．如果他们顺利地进行了50轮操作，而没有出现
游戏终止的情况．此时他们手中卡片数按妮妮、欢欢、迎迎的顺序成等差数列．那么，原来
欢欢有 75 4 张卡片．
【解答】解：根据分析，迎迎第一次少一张，第二次可能多1张可能少1张，第三次多4张，
但是又少了一半，
所以迎迎每轮要损失大约一半的卡片，及时最初手里有2712张卡片，在十几轮操作后也
会少到个位数，
要想持续50轮，迎迎的卡片数最后必是一个定值，这个值保证每轮的第三次操作迎迎总
有偶数张卡片，
第7页（共8页）考虑此时迎迎肯定比欢欢少，不妨设此时欢欢有a张，迎迎有b张，且a＞b，则一轮操作
如下：
欢欢 迎迎 妮妮
原有 a b c
第一次 a+2 b﹣1 c﹣1
第二次 a+1 b c+1
第三次 b÷2+2
所以有b＝b÷2+2，b＝4，即迎迎最后手里有4张卡片；
每轮操作卡片总数增加2+4＝6张，所以最后卡片总数为2712+6×50＝3012张，
欢欢有3012÷3＝1004张，所以妮妮有3012﹣1004＝2004张；
用倒退法可以得到一轮三人的卡片数：
欢欢 迎迎 妮妮
第三次 1004 4 2004
第二次 1000 4 2004
第一次 1001 3 2002
原有 999 4 2003
由表中数据可知，每次欢欢的卡片数多5，所以欢欢原有卡片1004﹣5×50＝754张．
故答案是：754．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/5 18:07:40；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
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