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2013年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）
一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）
1．（8分）计算：2013÷2.2×（ ﹣ ）的计算结果是 ．
2．（8分）图中，两个圆心角是90°的扇形盖在大圆上，小圆盖在两个扇形上，它们的圆心都在
同一点．如果小圆、大圆、扇形的半径比是1：3：4，那么阴影图形面积占整个图形面积的
%
3．（8分）老师将写有1～9的9张卡片发给甲、乙、丙3个学生，每人3张．
甲说：我的三张卡片上的数字恰好是等差数列；
乙说：我的也是；
丙说：就我的不是等差数列．
如果他们说的都是对的，那么丙手中拿的三张卡片数字之后最小是 ．
4．（8分）迎春小学六年级同学在某次体育达标测试中，达标的有900人，参加测试但未达标
的占参加测试的同学人数的25%，因故没有参加体育达标测试的占该年级全体同学人数
的4%．没有参加体育达标测试的有 人．
5．（8分）在如图的除法竖式中被除数是 ．
二、填空题（共5小题，每小题10分，满分50分）
6．（10分）算式： + + +…+ 的计算结果
是 ．
7．（10分）黑板上有1﹣2013共2013个数，每次可以擦掉其中两个数，并且写上这两数之和
第1页（共11页）的数字和，一直最后黑板上剩下四个数，其乘积为27，那么这四个数的和是 ．
8．（10分）定义：△a＝a+（a+1）+（a+2）+…+（2a﹣2）+（2a﹣1），例如：△5＝5+6+7+8+9，那
么，△1+△2+△3+…+△19+△20的计算结果是 ．
9．（10分）将1﹣16填入4×4的表格中，要求同一行右面的比左面的大；同一列下面的比上面
的大．其中4和13已经填好，其余14个整数有 种不同的填法．
10．（10分）n名海盗分金币．第1名海盗先拿1枚金币，再拿剩下金币的1%；然后，第2名海
盗先拿2枚，再拿剩下金币的1%；第3名海盗先拿3枚，再拿剩下金币的1%；…第n名海
盗先拿n枚，再拿剩下金币的1%．结果金币全被分完，且每位海盗拿的金币都一样多．那
么共有金币 ．
三、填空题（共4小题，每小题12分，满分48分）
11．（12分）图中，长方形ABCD的面积是2013平方厘米．△AOD、△BOC、△ABE、△BCF、
△CDG、△ADH都是等边三角形，M、N、P、Q分别是△ABE、△BCF、△CDG、△ADH的中
心．那么阴影部分的面积是 平方厘米．
12．（12分）甲、乙两人分别从AB两地同时出发，相向匀速而行，当甲、乙在途中C地相遇时，
丙从B地出发，匀速去A地，当甲与丙在D地相遇时，甲立即调头且速度降为原来的
80%，当甲、丙同时从A地时，乙离A地还有720米，如果CD间的路程是900米，那么AB
间的路程是 米？
13．（12分）有16名学生，他们做成一个4×4的方阵，某次考试中他们的得分互不相同，得分
公布后，每位同学都将自己的成绩与相邻的同学（相邻指前、后、左、右，如坐在角上的同
学只有2人与他相邻）进行比较，如果最多只有1名同学的成绩高于他，那么他会认为自
第2页（共11页）己是“幸福的”．则最多有 名同学会认为自己是“幸福的”．
14．（12分）现有一个立方体ABCD﹣EFGH，将其过B点的三个表面的正方形染成红色，现
在剪开其中的若干条棱得到它的平面展开图，若展开图中三个红色正方形都没有公共边，
那么共有 种不同的剪法．（剪开的棱相同但剪的顺序不同的算作同一种剪法）
第3页（共11页）2013 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）
参考答案与试题解析
一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）
1．（8分）计算：2013÷2.2×（ ﹣ ）的计算结果是 73 2 ．
【解答】解：2013÷2.2×（ ﹣ ）
＝2013÷ ×
＝2013× ×
＝732；
故答案为：732．
2．（8分）图中，两个圆心角是90°的扇形盖在大圆上，小圆盖在两个扇形上，它们的圆心都在
同一点．如果小圆、大圆、扇形的半径比是1：3：4，那么阴影图形面积占整个图形面积的
32 %
【解答】解：依题意可知：
设三个圆的半径分别为1，3，4．
整个图形的面积为： ×4×4+ ×3×3＝12.5 ．
π π π
阴影部分的面积为： （ ×3×3﹣ ×1×1）＝4 ．
π π π
所以阴影部分占整个商标的面积的 ＝32%．
故答案为：32
3．（8分）老师将写有1～9的9张卡片发给甲、乙、丙3个学生，每人3张．
甲说：我的三张卡片上的数字恰好是等差数列；
乙说：我的也是；
第4页（共11页）丙说：就我的不是等差数列．
如果他们说的都是对的，那么丙手中拿的三张卡片数字之后最小是 9 ．
【解答】解：根据分析，甲、乙三张都是等差数列，其和一定是3的倍数，
9张和为1+2+3+…+9＝45，也是3的倍数，
丙的和一定是3的倍数，丙最小不能取6＝（1+2+3）
丙至少为9，经试验是可以的，甲、乙分别是：
（9，8，7）和（5，4，3），丙为：（1，2，6）
丙的卡片数字之和最小是：1+2+6＝9
故答案为：9
4．（8分）迎春小学六年级同学在某次体育达标测试中，达标的有900人，参加测试但未达标
的占参加测试的同学人数的25%，因故没有参加体育达标测试的占该年级全体同学人数
的4%．没有参加体育达标测试的有 5 0 人．
【解答】解：900÷（1﹣25%）÷（1﹣4%）×4%
＝1200÷96%×4%
＝1250×4%
＝50（人）
答：没有参加体育达标测试的有 50人．
故答案为：50．
5．（8分）在如图的除法竖式中被除数是 258 2 ．
【解答】解：依题意可知：
乘积个位为3的有1×3组合和7×9组合．
再根据已知数字0和前面的数字，被减后没有余数那么只能是数字2满足条件．
再根据余数填写处第二个乘积的结果的后两位数字是83；
如果是 ×3，只能是61，但是此时乘积不能得到200多．
如果是 ×9，构成后两位是83，那么a＝8满足条件．但是87的倍数不能得到200多点．
如果是 ×7，构成后两位是83的，那么a＝6，且69的3倍是207满足条件．
即69×37+29＝2582．
第5页（共11页）故答案为：2582．
二、填空题（共5小题，每小题10分，满分50分）
6．（10分）算式： + + +…+ 的计算结果
是 10 8 ．
【解答】解： + + +…+
＝ + + +…+
＝2×2+2×3+2×4+…+2×10
＝2×（2+3+4+…+10）
＝2×（2+10）×9÷2
＝2×12×9÷2
＝108
答： + + +…+ 的计算结果是108．
故答案为：108．
7．（10分）黑板上有1﹣2013共2013个数，每次可以擦掉其中两个数，并且写上这两数之和
的数字和，一直最后黑板上剩下四个数，其乘积为27，那么这四个数的和是 3 0 ．
【解答】解：根据分析，一个数除以9的余数等于这个数各位数字之和除以9的余数，
每次操作将数的和变为数字和，不改变除以9的余数，1+2+3+…+2013＝2014×2013÷2＝
1007×2013，
则剩下的这四个数的和除以9也余3，将27拆成四个数的乘积，27＝3×3×3×1＝3×9×1×1
＝27×1×1×1，
和分别为10，14，30，只有30除以9余3，所以这个数的和为30．
故答案为：30．
8．（10分）定义：△a＝a+（a+1）+（a+2）+…+（2a﹣2）+（2a﹣1），例如：△5＝5+6+7+8+9，那
第6页（共11页）么，△1+△2+△3+…+△19+△20的计算结果是 420 0 ．
【解答】解：根据分析，将所有这些数填入一个表中，便于观察，如图：
第1行代表△1，第2行代表△2，第3行代表△3，第20行代表△20，为方便观察，将此表
顺时针旋转135°，如图2，此时每行的平均数均为20，表中共有1+2+…+20＝210个数，所
以和为210×20＝4200
9．（10分）将1﹣16填入4×4的表格中，要求同一行右面的比左面的大；同一列下面的比上面
的大．其中4和13已经填好，其余14个整数有 112 0 种不同的填法．
【解答】解：左上角四个格和右下角的四个格各有两种填法，
剩下的左下角和右上角四个格四个格，还有8个数未填，此时可以任选4个，填在其中的
四个格中，每四个数都有2种填法，
所以共有2×2× ×2×2＝1120种填法．
故答案为1120．
10．（10分）n名海盗分金币．第1名海盗先拿1枚金币，再拿剩下金币的1%；然后，第2名海
盗先拿2枚，再拿剩下金币的1%；第3名海盗先拿3枚，再拿剩下金币的1%；…第n名海
第7页（共11页）盗先拿n枚，再拿剩下金币的1%．结果金币全被分完，且每位海盗拿的金币都一样多．那
么共有金币 980 1 ．
【解答】解：依题意可知：
第n名海盗先拿走n枚，再那剩下的1%，结果金币倍全部拿完．说明剩下的金币为0．
第n名海盗拿走的实际就是n枚．
第n﹣1名海盗先拿走n﹣1枚，再拿走剩下的1%，由于每个海盗拿的一样多，所以剩下的
金币的1%是1枚，那么剩下的99%就是99枚．
故n＝99，每个人拿走99枚，共有99个人．
99×99＝9801．
故答案为：9801．
三、填空题（共4小题，每小题12分，满分48分）
11．（12分）图中，长方形ABCD的面积是2013平方厘米．△AOD、△BOC、△ABE、△BCF、
△CDG、△ADH都是等边三角形，M、N、P、Q分别是△ABE、△BCF、△CDG、△ADH的中
心．那么阴影部分的面积是 268 4 平方厘米．
【解答】解：如图，连接AM、OM、OQ，OQ交AD于点K，
∵Q为等边△ADH的中心，△AOD与△ADH完全一样，
∴QK＝ OK∴OQ＝ OK，△OQM的高为OQ，底为OM，△AOD的高为OK，
底为AD，由于OM＝AD，∴S△OQM ＝ ；
又 ， ，∴ ＝2684（平方厘
米）．
第8页（共11页）故答案是：2684．
12．（12分）甲、乙两人分别从AB两地同时出发，相向匀速而行，当甲、乙在途中C地相遇时，
丙从B地出发，匀速去A地，当甲与丙在D地相遇时，甲立即调头且速度降为原来的
80%，当甲、丙同时从A地时，乙离A地还有720米，如果CD间的路程是900米，那么AB
间的路程是 526 5 米？
【解答】解：甲速度降为原来的80%，与丙同时到达A地，则甲丙速度比为：5：4，
因此甲从C到D走900米，则丙从B到D走：
900× ＝72（0米）
甲从A回到A走了两个（全程﹣720米），同样时间内乙走了一个（全程﹣720米），
甲走的第二个是用80%的速度走的，是用相当于用原速走了 个（全程﹣720米），所以甲
乙的速度比为：9：4，
甲乙相遇时乙从B到C走了：
900+720＝1620米，
所以全程为：
1620× ＝5265（米）
答：那么AB间的路程是5265米．
故答案为：5265．
13．（12分）有16名学生，他们做成一个4×4的方阵，某次考试中他们的得分互不相同，得分
公布后，每位同学都将自己的成绩与相邻的同学（相邻指前、后、左、右，如坐在角上的同
学只有2人与他相邻）进行比较，如果最多只有1名同学的成绩高于他，那么他会认为自
己是“幸福的”．则最多有 1 2 名同学会认为自己是“幸福的”．
【解答】解：每个2×2的方格中最多有3个人“幸福”，所以16个人中，最多有16× ＝12
第9页（共11页）个人“幸福”，
构造如下图．其中16到5号共12个人是“幸福的”．
故答案为12．
14．（12分）现有一个立方体ABCD﹣EFGH，将其过B点的三个表面的正方形染成红色，现
在剪开其中的若干条棱得到它的平面展开图，若展开图中三个红色正方形都没有公共边，
那么共有 5 4 种不同的剪法．（剪开的棱相同但剪的顺序不同的算作同一种剪法）
【解答】解：根据分析，将一个立方体沿棱剪开得到平面展开图需要剪开7条棱，因为剪开
后，三个红色正方形没有公共边，那么需要把BA、BF、BC剪开，下面对HD、HE、HG三条
棱是否剪开进行分类：
HD、HE、HG中剪开1条棱，有3种情况；
①不妨设剪开HD，还需要剪开DA、DC、EA、EF、GH、GC中的3条棱．
其中DA、DC两条棱中选择一条剪开，有2中情况；
EA、EF两条棱中选择一条剪开，有2种情况；
GH、GC两条棱中选择一条剪开，有2种情况；
共有3×2×2×2＝24种情况．
HD、HE、HG中剪开2条棱，有3种情况，不妨设剪开HE、HG，
②还需要剪开DA、DC、EA、EF、GH、GC中的2条棱．
其中DA、DC两条棱中选择一条剪开，有2种情况；
EA、EF、GH、GC四条棱中选择一条剪开，有4种情况；
共有3×2×4＝24种情况，
HD、HE、HG中剪开3条棱，还需要剪开DA、DC、EA、EF、GH、GC中的1条棱，共有6
③中情况，
综上，共有24+24+6＝54种不同的剪法．
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日期：2019/5/5 18:07:29；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第11页（共11页）
