文档内容
2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小
高组A卷）
一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正
确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1．（10分）2012.25×2013.75﹣2010.25×2015.75＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（10分）2013年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来第一次将要渡过一个
没有重复数字的年份．已知小明哥哥出生的年份是19的倍数，那么2013年小明哥哥的年
龄是（ ）岁．
A．16 B．18 C．20 D．22
3．（10分）一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬，它每向上爬3米，因为井壁打滑，就会下
滑1米，下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一．8点17分时，青蛙第二次爬
至离井口3米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟．
A．22 B．20 C．17 D．16
4．（10分）一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子
数之比为9：7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为7：5，那么
盒子里原有的黑子数比白子数多（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（10分）图ABCD是平行四边形，M是DC的中点，E和F分别位于AB和AD上，且EF平
行于BD．若三角形MDF的面积等于5平方厘米，则三角形CEB的面积等于（ ）平方
厘米．
A．5 B．10 C．15 D．20
6．（10分）水池A和B同为长3米，宽2米，深1.2米的长方体．1号阀门用来向A池注水，18
分钟可将无水的A池注满； 2号阀门用来从A池向B池放水，24分钟可将A池中满池水
放入B池．若同时打开1号和2号阀门，那么当A池水深0.4米时，B池有（ ）立方米的
第1页（共9页）水．
A．0.9 B．1.8 C．3.6 D．7.2
二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）小明、小华、小刚三人分363张卡片，他们决定按年龄比来分．若小明拿7张，小华
就要拿6张；若小刚拿8张，小明就要拿5张．最后，小明拿了 张；小华拿了
张；小刚拿了 张．
8．（10分）某公司的工作人员每周都工作5天休息2天，而公司要求每周从周一至周日，每天
都至少有32人上班，那么该公司至少需要 名工作人员．
9．（10分）图中，AB是圆O的直径，长6厘米，正方形BCDE的一个顶点E在圆周上，∠ABE
＝45°．那么圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于
平方厘米（取 ＝3.14）
π
10．（10分）圣诞老人有36个同样的礼物，分别装在8个袋子中．已知8个袋子中礼物的个数
至少为1且各不相同．现要从中选出一些袋子，将选出的袋子中的所有礼物平均分给8个
小朋友，恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）．那么，共有 种不同的选择．
第2页（共9页）2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试
卷（小高组 A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正
确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1．（10分）2012.25×2013.75﹣2010.25×2015.75＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】把2012.25看作2010.25+2，2015.75看作2013.75+2，原式变为（2010.25+2）
×2013.75﹣2010.25×（2013.75+2），进一步计算为2×2013.75﹣2010.25×2，再运用乘法分配
律简算．
【解答】解：2012.25×2013.75﹣2010.25×2015.75，
＝（2010.25+2）×2013.75﹣2010.25×（2013.75+2），
＝2010.25×2013.75+2×2013.75﹣2010.25×2013.75﹣2010.25×2，
＝2×2013.75﹣2010.25×2，
＝（2013.75﹣2010.25）×2，
＝3.5×2，
＝7；
故选：C．
2．（10分）2013年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来第一次将要渡过一个
没有重复数字的年份．已知小明哥哥出生的年份是19的倍数，那么2013年小明哥哥的年
龄是（ ）岁．
A．16 B．18 C．20 D．22
【分析】从1990年～2012年，年份中都有重复数字，其中是19的倍数的数只有1900+95＝
1995，然后用2013﹣1995，解答即可．
【解答】解：从1990年～2012年，年份中都有重复数字，其中是19的倍数的数只有
1900+95＝1995，
2013﹣1995＝18（岁）；
故选：B．
第3页（共9页）3．（10分）一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬，它每向上爬3米，因为井壁打滑，就会下
滑1米，下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一．8点17分时，青蛙第二次爬
至离井口3米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟．
A．22 B．20 C．17 D．16
【分析】下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的3倍；爬1米和滑1米的时间相同，以爬
3米，滑1米为一个周期；（3﹣1）×3+3＝9m，青蛙第一次爬至离井口3米之处，（3﹣1）
×4+1＝9m，青蛙第二次爬至离井口3米之处，此时，青蛙爬的路程为（3+1）×4+1＝17米，
即4个周期加1米，用时17分钟，所以青蛙每爬1m或滑1m所用时间为1分钟；（12﹣3）
÷（3﹣1）＝4…1，青蛙从井底爬到井口经过5个周期，再爬2m，用时5×（3+1）+2；解答即
可．
【解答】解：以爬3米，滑一米为一个周期；（3﹣1）×3+3＝9m，青蛙第一次爬至离井口3米
之处，（3﹣1）×4+1＝9m，青蛙第二次爬至离井口3米之处，此时，青蛙爬了4个周期加1
米，用时17分钟，所以青蛙每爬1m或滑1m所用时间为1分钟；
（12﹣3）÷（3﹣1）＝4…1，青蛙从井底爬到井口经过5个周期，再爬2m，用时5×（3+1）+2
＝22分钟；
故选：A．
4．（10分）一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子
数之比为9：7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为7：5，那么
盒子里原有的黑子数比白子数多（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】我们运用比例进行解答，设白子有x个，黑子是 x+1．用黑子的个数与白子的个数
减去1个的比是7：5，列方程进行解答即可．
【解答】解：设白子有x个，黑子是 x+1．
（ x+1）：（x﹣1）＝7：5，
x×5+5＝7x﹣7，
6 x+5＝7x﹣7，
第4页（共9页）x＝12，
x× ＝12× ，
x＝21；
黑子的个数：
x＝ 21+1＝28；
28﹣21＝7（个）；
故选：C．
5．（10分）图ABCD是平行四边形，M是DC的中点，E和F分别位于AB和AD上，且EF平
行于BD．若三角形MDF的面积等于5平方厘米，则三角形CEB的面积等于（ ）平方
厘米．
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】连接FC，DE，FB，在梯形FBCD中，有S△FDB 和S△FDC 等底等高，所以面积相等；
在梯形EBCD中，有S△EDB 和S△EBC 等底等高，所以面积相等；在梯形FEBD中，有S△FDB
和S△EDB 等底等高，所以面积相等；所以可得S△FDC ＝S△EBC ，又因为M是DC的中点，根据
高一定时，三角形的面积与底成正比例的性质，所以S△EBC ＝2×5＝10cm2．
【解答】解：如图，连接FC，DE，FB，
在梯形FBCD中，有S△FDB ＝S△FDC ，
在梯形EBCD中，有S△EDB ＝S△EBC ，
在梯形FEBD中，有S△FDB ＝S△EDB ，
所以S△FDC ＝S△EBC ，
因为M是DC的中点，
第5页（共9页）所以S△EBC ＝2×5＝10（平方厘米）．
则S△EBC ＝10平方厘米，
答：三角形EBC的面积是10平方厘米．
故选：B．
6．（10分）水池A和B同为长3米，宽2米，深1.2米的长方体．1号阀门用来向A池注水，18
分钟可将无水的A池注满； 2号阀门用来从A池向B池放水，24分钟可将A池中满池水
放入B池．若同时打开1号和2号阀门，那么当A池水深0.4米时，B池有（ ）立方米的
水．
A．0.9 B．1.8 C．3.6 D．7.2
【分析】根据题意，设水池A和B的容积为“1”，1号阀门A池每分钟进水效率 ，2号
阀门B池每分钟进水效率 ，A池每分钟放水效率也是 ，同时打开1号和2号阀门，
则A池每分钟进水效率为 ，B池每分钟进水效率 ．A池水深0.4米，则A
池进水0.4÷1.2＝ ，需要时间 分钟，B池进水24× ＝1，所以B池有水
3×2×1.2＝7.2m3．
【解答】解：设水池A和B的容积为“1”，
同时打开1号和2号阀门，则A池每分钟进水效率为： ，
A池水深0.4米，则A池进水：0.4÷1.2＝ ，
需要时间： 分钟，
B池进水：24× ＝1，
所以B池有水：3×2×1.2＝7.2（立方米）．
故选：D．
二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）小明、小华、小刚三人分363张卡片，他们决定按年龄比来分．若小明拿7张，小华
就要拿6张；若小刚拿8张，小明就要拿5张．最后，小明拿了 10 5 张；小华拿了 9 0
第6页（共9页）张；小刚拿了 16 8 张．
【分析】根据题意，可知小明的张数：小华的张数＝7：6，小明的张数：小刚的张数＝5：8，进
而把这两个比写成连比，即小明的张数：小华的张数：小刚的张数＝（7×5）：（6×5）：（8×7）
＝35：30：56；再根据“小明、小华、小刚三人分363张卡片”，也即要分配的总量为363，
是按照35：30：56进行分配的，从而按照比例分配的方法求解．
【解答】解：小明的张数：小华的张数：小刚的张数为：（7×5）：（6×5）：（8×7）＝35：30：56，
小明拿的张数：363× ＝105（张），
小华拿的张数：363× ＝90（张），
小明拿的张数：363× ＝168（张）．
答：小明拿了105张；小华拿了90张；小刚拿了168张．
故答案为：105，90，168．
8．（10分）某公司的工作人员每周都工作5天休息2天，而公司要求每周从周一至周日，每天
都至少有32人上班，那么该公司至少需要 4 5 名工作人员．
【分析】根据题意，该公司一周总上班人次至少为32×7＝224（人次），把它看做224个元素，
而每人每周上5次，把它看做5个抽屉，考虑最值：224÷5＝44（名）…4名，所以至少需要
44+1＝45人．
【解答】解：根据题干分析可得：32×7÷5＝44（名）…4名，
44+1＝45（名），
答：那么该公司至少需要45名工作人员．
故答案为：45．
9．（10分）图中，AB是圆O的直径，长6厘米，正方形BCDE的一个顶点E在圆周上，∠ABE
＝45°．那么圆 O中非阴影部分的面积与正方形 BCDE中非阴影部分面积的差等于
10.26 平方厘米（取 ＝3.14）
π
【分析】连接EO，圆O中非阴影部分的面积﹣正方形BCDE中非阴影部分面积＝（圆O中
非阴影部分的面积+阴影部分面积）﹣（正方形BCDE中非阴影部分面积+阴影部分面积）
第7页（共9页）＝S圆 ﹣S正 ．然后，根据，∠ABE＝45°可得正方形的边长等于圆的半径，进而推导出BE2＝
r2＝（6÷2）2×2，再根据前面的关系式代入数据解答即可．
【解答】解：
如图，连接EO，S正 ＝EB×EB＝EO2+BO2＝（6÷2）2×2＝18cm2
所以圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差：
×（6÷2）2﹣18＝10.26（平方厘米）；
π答：圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于10.26平方厘
米．
故答案为：10.26．
10．（10分）圣诞老人有36个同样的礼物，分别装在8个袋子中．已知8个袋子中礼物的个数
至少为1且各不相同．现要从中选出一些袋子，将选出的袋子中的所有礼物平均分给8个
小朋友，恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）．那么，共有 3 1 种不同的选择．
【分析】36个同样的礼物装在8个袋子中，每个袋子礼物的个数至少为1且各不相同，而
1+2+3+…+8＝（1+8）×8÷2＝36，明确8个袋子分别装的礼物数是1～8．根据题意要求选
出袋子里装的礼物数为8的倍数，分情况枚举即可．
【解答】解：如果每人分1个礼物：8＝＜8＝1+7＝2+6＝3+5＝1+2+5＝1+3+4，6种；
如果每人分2个礼物：16＝1+7+8＝2+6+8＝3+5+8＝3+6+7＝4+5+7＝1+2+5+8＝1+2+6+7
＝1+3+4+8＝1+3+5+7＝1+4+5+6＝2+3+4+7＝2+3+5+6
＝1+2+3+4+6，共13种；
如果每人分3个礼物，拆分24，与拆分36﹣24＝12是一样的．
12＝4+8＝5+7
＝1+3+8＝1+4+7＝1+5+6＝2+3+7＝2+4+6＝3+4+5
＝1+2+3+6＝1+2+4+5，共10种；
如果每人分4个礼物，同理拆分36﹣32＝4
4＝4＝1+3，共2种；
所以，共有6+13+10+2＝31种不同的选择．
故答案为：31．
第8页（共9页）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:56:29；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第9页（共9页）
