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第22讲 数论综合三
典型问题
◇ ◇ 兴趣篇 ◇ ◇
1.（1）求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数。
（2）求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数。
【分析】（1）设这个三位数为
根据题意有 ，即 ，
当 时， ，五位数是
当 时， ，五位数是
当 时， 不是三位数（舍去）
所以满足条件的三位数是401，804
（2）当这个自然数是一位数时，有 ， ， ，因此一位数不
存在，同理两位数不存在
当这个自然数是三位数时，有 ， ， ，所
以最小自然数是
2. 已知 是一个完全平方数，试确定自然数 的值。（ ）
【分析】当 时， ，不可能是完全平方数，因此 只能取 到 间的数，
经试验 或
3. 一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7。如果把组成它的每个数字都加上
3，便得到另外一个完全平方数。求原来的四位数。
【分析】根据题意有 ， ，因此 ，即
，且 都是两位数，因此 ，所以 ，原来的四位数是
4. 请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除。
【分析】根据题意是三位奇数，因此各位数字不能取偶数，当有一个数字是 时，必然另
外两个数字有一个是偶数，因此三个数字只能是 ，所以满足条件的三位奇
数为135，315，175，735
5. 在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了
201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除。请问：所有满足条件的两位数之
和是多少？
【分析】设满足条件的两位数为 ，依题意有 ，即 ， 最
大只能取 ，最小取 ，当 时，有 ，因此 这样的
两位数有 ，同理当 时，有 ，这样的两位数
有 ；同理当 时，有 ，这样的两位数不存在；同理当
时，有 ，这样的两位数有 ；同理当 时，有
，这样的两位数有 ；满足条件的两位数之和是
6. 用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数
尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？
【分析】 ，因此可以让这两个三位数尽可能都是 的倍数和 的倍数，所以
只能是324，756或432，756
7. 一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数。求满足要求的最小值。
【分析】当这个自然数为一位数 时， ，因此十位数字是 不成
立；当这个自然数为两位数 时， ，因此个位数
字是偶数，这样百位数字为奇数，不成立；
当这个自然数为三位数 时， ，因此个位
数字是偶数，这样千位数字为奇数，不成立；
当这个自然数为四位数 时， ，因
此个位数字、千位数字是偶数，百位、十位数字是奇数；且 ， ，所以
满足要求的最小值是
8. 有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都
能被被三个数整除。满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？
【分析】要求和最小，这三个数应尽量小，因此这三个数分别含质因数 ，再根据题意
只能是任意两个因数的积，即 ， ， ，所以满足上述条件的3个自然
数之和最小是9. 小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的
分数乘以3，输的小朋友保持分数不变。最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍
数，那么他们至少玩了多少局？
【分析】根据题意每人得的分数只能是 的形式，设小明得的分数为 ，小华得的分数为
，所以有 （ 都是整数， ），即
，只需让 是 的倍数，最小的是 是 的
倍数，所以最小 ， ，因此至少玩 局
10. 对于一个自然数 ，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：它添加到任何一个自然数
的右端，形成的新数都不能被 整除。那么在1至10这10个自然数中有多少个“破
坏数”？
【分析】首先，奇数肯定是破坏数.因为任何一个自然数右端添上一个奇数，得到的新数必
然还是奇数，不可能被偶数整除.4也是破坏数，因为末位是4的自然数肯定不是
5的倍数.因此破坏数有 个
备注：题目有问题，应将 改为10
◇ ◇ 拓展篇 ◇ ◇
1.（1）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20；
（2）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的后两位是04；
（3）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20，后两位是04。
【分析】（1）设最小的自然数为一位数，有 ，即 ，经试验这样的一
位数不存在；设最小的自然数为两，有位数有 ，即 ，当
时，满足条件，所以满足条件（1）的最小自然数是 ；
（2）同样的方法得到，满足条件（2）的最小自然数是 ；
（3）同样的方法得到，满足条件（3）的最小自然数是 ；
2. 已知 等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数 的值。（ ）
【分析】当 时， ， 是奇数，不可能是 或 ，所以 ，经
试验
3. 找出三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，但是两两均不相质。请写出所
有可能的情况。
【分析】这三个数应该是 的形式，其中 都为质数，但不能有 ，因为，所以 只能是 ；因此有 ； ；
；即6，15，10；12，15，10；18，15，10
4. 三个两位奇数，它们的最大公约数是1，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共
有18个约数。求所有满足要求的情况。
【分析】这三个数应该是 的形式，其中 都为质数，由于是奇数，所以
不能有 ，又因为三个数的最小公倍数共有18个约数， ，因此这三
个数为 ； ，即
5. 的末尾有多少个连续的零？
【分析】只要看里面5的因子个数，因为2的因子个数一定足够多．
1到2008里面共有 个数．其中，这里面的后625个一定含有
125个5的倍数，25个25的倍数，5个125的倍数和1个625的倍数；前45个中，
10、25、40、55、 130 共含有 11 个因子 5．所以，含有 5 的因子个数为
．
6. 一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数。
如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？
【分析】设这个四位数是 ，根据题意有 ，即 ，
即 ， ，所以 是 的倍数，且 是质
数 ， ，所以 ，原来的四位数是1011
7. 任意一些末两位是25的数相乘，它们的乘积末两位数仍是25，我们称25是“变不掉的
两位数尾巴”。显然000是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾
巴”。
【分析】设变不掉的三位数尾巴为 ，则有 是 的倍数，即 （
为整数），等式左边是一个奇数乘以一个偶数，因此等式右边其中一个是
的奇数倍数，另一个是 的倍数，且是连续的自然数，因此这两个数分别为375、
376或625、624，即“变不掉的三位数尾巴”只能是376，625，还有000，001
8. 在3和5之间插入6、30、20三个数，可以得到3、6、30、20、5这样一串数，其中每
相邻两个数的和都可以整除它们的乘积。请你在4与3之间插入三个非零自然数，使得
其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积。【分析】设满足条件的两个数为 ，因此有 （ 为整数）即 ，
，令 ，有 ， ，这样插入的第二个数为 或 ，
同理再考虑右边的 ，而 ，这样第三个数只能是 ,又因为两个相同的偶
数必满足条件，所以答案有4，4，12，6，3或4，12，6，6，3或4，12，12，
6，3
9. 、 是互位反序的两个三位数，且 。请问：
（1）如果 和 的最大公约数是7，求 ；
（2）如果 和 的最大公约数是21，求 。
【分析】（1）设这个三位数为 ，逆序数为 ， 和 的最大公约数是7，所以
， 应是 的倍数，即 ， 是 的倍数，
满足条件的只有 ； ，但 是 的倍数（舍去）,因
此 是
（2）通过第一问得知， 和 的最大公约数是21时，
10. 用1、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数 和 ，那么 、 、540这三个数
的最大公约数最大可能是多少？
【分析】因为 ，而用1、2、3、4、5、6组成两个三位数，最多有一个是
的倍数，最多有一个是 的倍数，可以组成两个是 倍数的三位数，即 ，
、 、540这三个数的最大公约数最大可能是
11. 请将1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行数中
的任何一个都是它前面所有数之和的约数。
【分析】因为 ， ，最后一个数可以是 或 ，当最后一个
数是 时，则前面十个数的和为 ，倒数第二个数可以是 ，依次倒推
得， ，或 （答案不唯一）
12. 一根红色的长线，将它对折，再对折，……，经过 次对折后将所得到的线束从中间
剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过 次对折后将所得到的线束从中
间剪断，得到一些白色的短线。已知红色短线比白色短线多，而且它们的数量之和是
100的倍数。请问：红色短线至少有多少条？
【分析】根据题意红色短线有 条，白色短线有 条（ ，因此
（ 为整数），即 应是 的倍数，所以 ，
则 的个位数字是 ，因此 只能等于除以 余 的数，此时 最小取
11，所以 ，因此红色短线至少有 条
◇ ◇ 超越篇 ◇ ◇1. 求出所有正整数 ，使得 能整除 。
【分析】根据题意有 （ 为自然数）， ， ，
， ，所以出所有正
整数 是100，600
2. 一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样
的自然数。
【分析】设这个自然数 的 个最小约数分别为 ，若 全为奇数，那么这个
自然数为偶数矛盾，进而这个自然数必有约数 ，因此 ，从而 有
一个为偶数，不妨设 ，则 ， 除以 余数为 或 ，而
除以 余 ，矛盾，因此另一个偶约数不能是 的倍数，设 ，
则 ，因此 (不合题意，因为有约数 )，设 ，则
，因此 (符合题意)，
3. 一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位
数与原数的最大公约数是63，则原四位数可能是多少？
【分析】设原来的四位数为 ，新的四位数为 ，所以两个数的和与差都是
的倍数，即 ， 都应是 的倍数，由差知道
或 ，当 时， ； ， ，所
以原四位数可能1638，8631，2709，9702
4. 一个不超过200的自然数，如果用四进制表示，那么它的数字和是5；如果用六进制表
示，那么它的数字和是8；如果用八进制表示，那么它的数字和是9。如果用十进制表
示，这个数是多少？
【分析】 由于 进制的数被
除所得的余数等于其各位数字之和除以 所得的余数。所以这个自然数
除以 余 ，除以 余 ，除以 余 ，根据逐级满足法得到这个数是 ，或
，而 ，数字和不是 ，所以这个数为
5. 把一个两位质数写在另一个不同的两个质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这
两个质数之和的一半整除。这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？
【分析】 设这 个两位质数
分别是 和 ，则这个四位数是 ，根据条件可知： ,即(
)|( )，设 ，则 ( )，化简得(
) ( ) ，因此 ,其中 是整数， 和 均为两位质数，
设 , ，则两式相加得( ) ，注意到 和 都是质数即也是奇数，所以 是 的约数. ，由于 、 都是两位不
同的质数，因为 中的偶数，所以 ，那么有 ,
； , ； , ； ， ；
这样的两个质数乘积最小是 ，这样的两个质数乘积最大是
6. 用1、2、3、4、5各一个可以组成120个五位数，你能否从这120个数里面找出11个数
来，使得它们除以11的余数互不相同？如果五个数字是1、3、4、6、8呢？
【分析】因为 ，偶数位的数字和只能是3，4，5，6，7，8，9，对应奇
数位的数字之和为12，11，10，9，8，7，6，因此这 个数除以 只能余9，
7，5，3，1，10，8，因此不可能找出11个数来，使得它们除以11的余数互不相
同；同理可以判断用1、3、4、6、8组成的五位数除以11只能余0，1，2，3，
4，5，8，因此不可能找出11个数来，使得它们除以11的余数互不相同.
7. 用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数 和 。请问： 、 、630这
三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？
【分析】 而用1、2、3、4、5、6组成两个三位数，最多有一个是 的倍
数，最多有一个是 的倍数，可以组成两个是 倍数的三位数，但经试验最大
只能是 ，即 ，因此最大公约时最大可能是 ，要使最小公倍数尽可
能的小，应让 与 公约数尽可能多，找到 ，试验另一个数为462，最小
公倍数最小可能为6930
8. 我们将具有如下性质的自然数 称为“巨人数”；如果一个整数 能被 整除，则把
的各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被 整除。请求出所有的“巨人数”。
【分析】根据数字和整除规律知，如果原序数能被 ，那么逆序数也能被 整除，
再根据整除性质得知，巨人数有1，3，9，11，33，99
