文档内容
强化提升-数资 3
（笔记）
主讲教师：蒋长纯
授课时间：2024.05.02
粉笔公考·官方微信强化提升-数资 3（笔记）
数学运算：
一、代入排除
二、倍数特性法
三、方程法
【注意】数学运算：本节课任务比较“轻”→150 分钟讲解 20 题，但又很
“重”→大部分不会，可以跟着老师学习。倍数特性（涉及之后蒙题思考的方向）
和工程问题（其他题型的基础题型，学会后→行程、利润问题起码会一半）只要
认真听就一定会。今天的关键→学习逻辑。网上有三类老师，鸡汤型老师→讲课
不一定多么的优秀，但鸡汤灌得很爽；方法型老师→将所有技巧讲解得很明白，
但课上听是会的，而下课后就不会了，因为方法和题目之间需要嫁接，老师讲解
的题目和方法是配套的，但到题型后缺乏逻辑性，因此就不会了。第三种老师是
讲解思路，拿走老师的思路就会做题了。
1.代入排除。
2.倍数特性法。
3.方程法。
【注意】代入排除法：不一定要学会，不是方法不好，而是慢，运气好可能
30s做完，运气不好可能 5分钟没做完。
1.何时用：
1（1）题型：年龄、余数、多位数、不定方程。题干中往往存在等量关系→
列方程。
（2）选项：选项信息充分，出现“分别”、“各”字样。例如问甲、乙分别
是多少。
2.怎么用：代入排除法→将选项代入到题目中测试，共四个选项，例如 A、
B、C、D 项，测试 2 次仅排除了 A、B 项，还需测试第 3 次，若前 3 次都错了，
就不用测试第4次，剩下的选项一定就是答案，故运气不好就会测试 3次，运气
好可能测试1次就得到答案。
（1）先排除：大小、奇偶（涉及乘积，例如 A*B，发现结果是偶数，可以
排除选项中的奇数；发现结果是奇数，可以排除选项中的偶数）、倍数、尾数（数
学大多数题目是精算，无论加减乘除，以尾数作为精度，是参照标准）。
（2）再代入：
①最值原则：问最大，从最大开始代入；问最小，从最小开始代入。
②从简原则：简单条件、好算选项（哪个数好算就用哪个）。
3.代入逻辑：
（1）遇到矛盾，就排除。
（2）全部满足，就选择。
1.（2021 事业单位）今年小华一家四口的年龄之和为 110 岁，其中哥哥比
小华大2岁，爸爸比妈妈大 2岁，14年前全家的年龄之和为 55岁，则哥哥今年
多少岁？
A.15 B.16
C.17 D.18
【解析】1.若将本题的问题划掉，只看题干的前几句话，会发现这几句话与
废话一样，由此发现数学是解决问题的问题，若没问题，所有条件是“八卦”，
有问题，条件是围绕问题展开的。数学题 100%从问题入手，没问题，则数学题
没有任何意义（讲解工程问题时再告诉大家为什么可以看条件）。
方法一：年龄问题，考虑代入排除法（拿问题代入）。问今年哥哥多少岁，
结合选项知道哥哥的年龄，反向代入，共四个角色（爸爸、妈妈、哥哥、小华），
2代入 A 项，今年：哥哥 15 岁，“哥哥比小华大 2 岁”→小华 13 岁，哥哥+小华
→15+13=28岁，则爸爸和妈妈年龄和→110-28=82岁；“爸爸比妈妈大 2岁”→
爸爸 42 岁，妈妈 40 岁。14 年前：爸爸 28 岁，妈妈 26 岁，哥哥 1 岁，小华还
没有出生（不是-1 岁），是 0 岁，四者之和→28+26+1+0=55 岁，符合题干所有
条件，对应A项。
方法二：年龄问题的铁律——年龄差不变（例如爸爸比哥哥多多少岁，就永
远多多少岁；再如弟弟比哥哥小多少岁，就永远小多少岁）。今年一家四口年龄
和为110岁，14年前爸爸、妈妈、哥哥、小华都年轻 14岁，正常应该年轻 14*4=56
岁，但是 14 年前年龄和为 55 岁，比 56 岁少了 1 岁，说明有一个人减不了 14
岁，这个人只有可能是最小的小华，小华是“-1”岁，则哥哥1岁，爸爸 26岁，
妈妈24岁，故哥哥今年是 15岁，对应A项。【选 A】
【注意】数学问题不会→先找问题；生活中出问题→先找自己是否有问题。
2.（2021联考）饲养兔子需要场地，小林准备用一段长为 28米的篱笆围成
一个三角形形状的场地，已知第一条边长为 m米，由于条件限制第二条边长只能
是第一条边长度的 1/2多4米，若第一条边是唯一最短边，则 m 的取值可以为：
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】2.看不懂题，找问题→求m的取值，还是看不懂，再往前看→“若
第一条边是唯一最短边”→找第一条边。“用一段长为 28 米的篱笆围成一个三
角形形状的场地”→三条边一共 28米；“第二条边长只能是第一条边长度的 1/2
多4米”→第一条边长为 m米，则第二条边为 1/2*m+4米，第三条边=28-第一条
边-第二条边。算容易出错，考虑代入，“第一条边是唯一最短边”→可以从最
小的开始代入，有些数学老师可能会告知选项中的最大/小值不一定是正确答案
（概率为60%～70%），因此本题也可以从B项开始代入。代入A项：m=6，1/2*m+4=7，
则第三条边=28-13=15，三角形两条边之和大于第三条边，而 6+7＜15，无法构
成三角形，排除A项；代入 B项：m=7，1/2*m+4=7.5，则第三条边=28-14.5=13.5，
3三角形两条边之和大于第三条边，满足题意，当选，若用的是代入排除法，就无
需再验证C、D项，因为 4个选项只有1个选项是答案。【选B】
【注意】
1.数学题刚开始只能做一些简单题，数学题做得越来越多，整体难度等级是
下降的，原来的中等题会变为简单题，除了本身就特别难的题（人的胳膊再长也
摸不到天）。考试时不考虑超难的题，将简单的、能看懂的、能看懂一半的题拿
下。数量是题刷得越多分数越高的科目，公务员考试只有 2 个科目能 100%得满
分（数量和资料）。
2.常识正确率保持 60%以上，多看国家政策、法律法规和相关新闻，即使不
懂，也可能选答案。
3.（2022 事业单位）一些篮球爱好者包下了一个篮球场地，包场费用按第
一个小时 420 元，不足一小时按一小时计，之后每 10 分钟增加 70 元，不足 10
分钟的按10分钟计。比赛结束后，恰好人均付费 63元，那么最少有多少人参加
比赛？
A.20 B.15
C.10 D.5
【解析】3.读不懂题，先看问题→最少有多少人参加比赛→从最小的开始代
入。假设超过 60 分钟后有 n 个 10 分钟，收费→420+70n，总收费一定是偶数，
“恰好人均付费 63 元”→420+70n=63x，则 63x 是偶数，而 63 是奇数，则 x 是
偶数，排除B、D项。问最少，都是整十的数，有“不足”的概念，可以往上凑，
胆子大直接选 C 项，代入 C 项：确定 n 是否真实存在即可，420+70n=630→n=3，
满足题干的全部条件，对应 C项。【选C】
4【注意】代入排除：若使用得好，很快；若使用得不好，时间够可以操作，
不够则先看是否有其他简单题。
【注意】倍数特性法：做题要找倍数（两个数相除的结果，在数量关系中→
涉及整除的概念）。
1、整除型
判定：A=B*C（B、C均为整数）
A能被B、C整除
方法：
（1）一般用口诀法
例如：3、9看各位数字加和是否能被 3、9整除
（2）复杂倍数用因式分解
（3）没口诀用拆分法
【注意】整除型：
51.判定：A=B*C（B、C 均为整数），A 能被 B、C 整除。例如工程问题中的
W=P*t，行程问题中的 S=V*t，利润问题中的利润率=利润/成本。
2.方法：
（1）一般用口诀法。例如：3、9 看各位数字加和是否能被 3、9 整除；2、
5 看末一位（因为 2*5=10）；4、25 看末两位（因为 4*25=100）；8、125 看末
三位（因为 8*125=1000）。有的老师讲解出 7、11 的口诀，是对的，但那些方
法很容易乱。
（2）复杂倍数用因式分解（拆成互质的两个数）。例如 18=2*9=3*6，2 和
9 互质，而 3 和 6 有公约数 3，这找的是 6 的，能被 6 整除的数不一定能被 18
整除，例如6不能被 18整除，但能被18整除的数一定能被 6整除。
（3）没口诀用拆分法。例如 267 能否被 13 整除？可以拆成 260+7，260 一
定是13的倍数，7 不是13的倍数，则267 不是13的倍数。
【拓展】（2018 国考）一辆汽车第一天行驶了 5个小时，第二天行驶了 600
公里，第三天比第一天少行驶 200 公里，三天共行驶了 18 个小时。已知第一天
的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？
A.800 B.900
C.1000 D.1100
【解析】拓展.和汽车行驶有关，是行程问题；数学题先看问题，问三天共
行驶了多少公里→求路程，路程=速度*时间（S=V*t），不知道找什么就先找到
速度或者时间，“三天共行驶了 18 个小时”→S=V*18，按照正常的逻辑→找到
速度就可以解题了，但这是小学生要思考的；S=V*18→路程是 18 的倍数，因式
分解→拆成2*9，2 是偶数，选项都是偶数，看是否是 9的倍数，只有 B项满足，
对应B项。【选B】
【注意】
1.速度V是否是小数由选项来看，本题选项很整，往小数想就有些偏；数量
关系题一般是精算，不爱出小数，若选项涉及小数的范畴，需要考虑小数。
62.做数学题不要算与问题无关的量（公务员不会做与自己无关的事情，是社
会主义的一块砖，哪里需要哪里搬，先当好这块砖，才能管其他事情，这是担当，
而不是自私）。
2、余数型
判定：出现“剩”、“余”、“缺”等关键字
方法：
若答案=ax+b，则（答案-b）能被a整除
若答案=ax-b，则（答案+b）能被a整除
前提：a、x均为整数
【注意】余数型（余数→小学4、5年级学习的概念）：
1.判定：出现“剩”、“余”、“缺”等关键字。
2.方法：资料分析出现“多点”、“少点”要算数→高减低加（等同于→多
退少补）。
（1）若答案=ax+b，高减，则（答案-b）能被a整除。
（2）若答案=ax-b，低加，则（答案+b）能被a整除。
3.前提：a、x 均为整数。
【拓展】（2021 河南）不超过 100 名的小朋友站成一列。如果从第一人开
始依次按1，2，3，…，9的顺序循环报数，最后一名小朋友报的是 7；如果按 1，
2，3，…，11 的顺序循环报数，最后一名小朋友报的是 9，那么一共有多少名小
朋友？
A.98 B.97
C.96 D.95
【解析】拓展.数学题看不懂→先看问题→一共有多少名小朋友→找总数，
“不超过100名的小朋友站成一列”→选项均满足；“如果从第一人开始依次按1，
2，3，……，9的顺序循环报数，最后一名小朋友报的是7”→总数=9n+7→总人
数-7=9n，考试时没有时间反应n是否为整数，A项：98-7=91，不是9的倍数，排
除；B项：97-7=90，是9的倍数，保留；C项：96-7=89，不是9的倍数，排除；D
7项：95-7=88，不是9的倍数，排除；对应B项。【选B】
【注意】万一还有一个选项满足，验证“如果按 1，2，3，……，11 的顺序
循环报数，最后一名小朋友报的是 9”→总数=11m+9。
3.比例型
判定：题干中出现比值。常见形式：分数、百分数、比例、倍数、小数
方法：
A/B=m/n（m、n 互质）
A是m的倍数，B是n的倍数
A+B是m+n的倍数，A-B是m-n的倍数
前提：A、B均为整数，m/n是最简整数比
【注意】比例型（初中所学）：
1.判定：题干中出现比值→且与问题相关。常见形式：分数、百分数、比例、
倍数、小数。
2.方法：
（1）A/B=m/n（最简比→m、n互质）。例如 4/6=2/3，2/3就是最简比。
（2）结论：A 是 m 的倍数，B 是 n 的倍数，A+B 是 m+n 的倍数，A-B 是 m-n
的倍数。
3.前提：A、B 均为整数，m/n是最简整数比。
如果，A/B=m/n（m、n互质）
【考法】
已知某班男女生比例为 3/5
（1）男生人数是___的倍数
（2）女生人数是___的倍数
（3）全班人数是___的倍数
（4）男女生人数差是___的倍数
常见形式：分数、百分数、比例、倍数、小数
8【注意】如果，A/B=m/n（m、n互质）。
1.考法：已知某班男女生比例→男/女=3/5。
（1）男生人数是 3的倍数。
（2）女生人数是 5的倍数。
（3）全班人数是 3+5=8的倍数。
（4）男女生人数差是 5-3=2的倍数。
2.常见形式：分数、百分数、比例、倍数、小数。
3.例：已知某班男女生比例为85%→男/女=85/100=17/20：
（1）男生人数是 17的倍数。
（2）女生人数是 20的倍数。
（3）全班人数是 17+20=37的倍数。
（4）男女生人数差是 20-17=3的倍数。
（5）若班级人数少于 50 人，全班有多少人→37 人；若班级人数少于 100
人，全班有多少人→37或74人，具体是哪个→需要代入求解。
【拓展】（2017 联考）某地举办铁人三项比赛，全程为 51.5 千米，游泳、
自行车、长跑的路程之比为 3：80：20。小陈在这三个项目花费的时间之比为 3：
8：4，比赛中他长跑的平均速度是 15千米/小时，且两次换项共耗时 4分钟，那
么他完成比赛共耗时多少？
A.2小时14分 B.2 小时24 分
C.2小时34分 D.2 小时44分
【解析】拓展.课堂正确率为 67%。数学题看不懂→先看问题→完成比赛共
耗时多少→求总时间；“小陈在这三个项目花费的时间之比为 3：8：4”→给出
比例，考虑比例型倍数特性，不知道1份是多少→项目花费时间=3t+8t+4t=15t；
“两次换项共耗时 4 分钟”→总时间=15t+4→总时间-4=15t，代入选项，60 分
钟=1 小时，60 是 15 的倍数，故不看小时，只看分钟，A 项：14-4=10，不是 15
的倍数，排除；B 项：24-4=20，不是 15 的倍数，排除；C 项：34-4=30，是 15
的倍数，保留；D项：44-4=40，不是15的倍数，排除，对应C项。【选 C】
9【注意】
1.将“小陈在这三个项目花费的时间之比为 3：8：4”划掉才能看路程。
2.比例中两两互质是找最小公倍数，本题只要保证三个数之间没有公约数即
可。
4.（2023北京）某单位 3个部门共有员工 50人，拥有中级工程师职称的人
员比重为 40%。其中甲、乙两个部门拥有中级工程师职称的人员比重分别为 45%
和32%，则丙部门拥有中级工程师职称的人员比重为：
A.60% B.52%
C.44% D.36%
【解析】4.数学题看不懂→先看问题→丙部门拥有中级工程师职称的人员比
重。“某单位3个部门共有员工 50人”→甲、乙、丙部门一共 50 人；“拥有中
级工程师职称的人员比重为 40%”→中级工程师一共有 50*40%=20人。“其中甲、
乙两个部门拥有中级工程师职称的人员比重分别为 45%和 32%”→甲部门中级职
工人数/甲部门总人数=45%=45/100=9/20（最简比），则甲部门总人数是 20的倍
数；同理，乙部门中级职工人数/乙部门总人数=32%=32/100=8/25，乙部门总人
数是25的倍数。一共 50人，甲总人数是 20 的倍数，乙总人数是25 的倍数，只
能是甲部门 20 人，乙部门 25 人，则丙部门 5 人，甲部门中级职工人数是 9 人，
乙部门中级职工人数是 8 人，丙部门中级职工人数=20-9-8=3，所求=3/5=60%，
对应A项。【选A】
【注意】本题在公务员考试的倍数特性中算难题。
5.（2024浙江网友回忆版）某公司招聘员工，来应聘的男、女人数比是 18：
17，最后被录取的有 280 人，其中男、女人数比是 3：4，未被录取的男、女人
数比是6：5。则来应聘的共有多少人？
A.630 B.720
C.1050 D.1400
10【解析】5.数学题看不懂→先看问题→来应聘的共有多少人；应聘人数=录
取人数（280）+未录取人数，出现比例，考虑比例型倍数特性。“来应聘的男、
女人数比是 18：17”→应聘男生/应聘女生=18/17，则应聘男生人数是 18 的倍
数，应聘女生人数是 17的倍数，应聘男、女生人数之和是 18+17=35 的倍数，只
有B项（720）不是 35 的倍数（看不出来就因式分解为5*7，若还看不出来就用
拆分法），排除B项。
“未被录取的男、女人数比是 6：5”→未录取男生是 6 的倍数，未录取女
生是 5 的倍数，则未录取人数是 6+5=11 的倍数，应聘人数=录取人数+未录取人
数→应聘人数-280=未录取人数→应聘人数-280是11的倍数，A项：630-280=350，
350不是11的倍数，排除；C项：1050-280=770，满足 11的倍数，对应 C项（验
证D项：1400-280=1120，1120不是11的倍数，排除）。【选C】
【注意】1050 是否是 35 的倍数→1050=700+350，只需确定 350 是否是 35
的倍数。
6.（2023事业单位）某旅行团有游客 58 人，将他们按照年龄划分为甲、乙、
丙、丁四档，其中乙档人数比甲档人数的 3 倍少2人，丙档人数是甲档人数的 2
倍，甲档人数是丁档人数的 1.5倍，则这个旅行团中年龄属于乙档的人数为多少
人？
A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】6.方法一：出现倍数（3 倍、2 倍、1.5 倍），考虑比例型倍数特
性。问乙档的人数，“乙档人数比甲档人数的 3 倍少 2 人”→乙=3 甲-2→乙+2
是3的倍数，只有 25、28符合，排除 B、C项；甲档人数是丁档人数的 1.5倍→
甲/丁=3/2→丁是2x，甲是3x，乙+2=3*3x=9x→乙+2是9的倍数，仅 A项符合。
方法二：方程法。问乙，但设乙不行，缺谁设谁，如果设甲，“甲档人数是
丁档人数的 1.5 倍”→丁比甲更低一个层级，故设丁档人数为 2x，则甲为 3x、
丙为 6x、乙为 9x-2，列式：58=9x-2+6x+3x+2x→x=3，求乙档的人数，所求
=9x-2=3*9-2=25，对应 A项。【选A】
11三、方程法
概述：是一款从小用到大的方法，无处不在，是一种解题工具
内容：
①普通方程
设未知数：设小不设大；有中间值；求谁设谁；
②不定方程
③不定方程组
【注意】方程法：一般适用于有公式（会出现等量关系）的题目。
1.概述：是一款从小用到大的方法，无处不在，是一种解题工具。
2.内容：
（1）普通方程。
①设未知数（技巧）：设小不设大；有中间值。
②难在设谁为未知数→缺什么就设什么。
（2）不定方程。
（3）不定方程组。
1.普通方程
设未知数x
设小不设大——避免分数
设中间量——方便列式
12求谁设谁——避免陷阱
设比例份数——出现比例
【注意】普通方程：设未知数x，缺谁设谁。
1.设小不设大——避免分数。
2.设中间量——方便列式。
3.求谁设谁——避免陷阱。
4.设比例份数——出现比例。
2.不定方程
奇偶特性——未知数的系数一奇一偶时考虑
倍数特性——未知数与常数有公因子时考虑
尾数法——未知数前的系数尾数为 0或 5时考虑
直接代入
【注意】不定方程：未知数个数＞方程个数。例如 2x+y=5→2 个未知数、1
个方程→不定方程；再如 2x+3y+5z=5→3个未知数、1个方程→不定方程。难点
在于方法的使用。
1.奇偶特性——未知数的系数一奇一偶时考虑。
2.倍数特性——未知数与常数有公因子时考虑。
3.尾数法——未知数前的系数尾数为 0 或5时考虑。
4.直接代入。
不定方程：验证顺序：尾数→奇偶→倍数→代入
尾数法
识别：ax+by=M，当a或b尾数是0或 5时，考虑尾数
示例：37x+20y=271，x=?（x、y均为正整数）
A.1 B.3
C.2 D.4
奇偶特性
识别：ax+by=M，当a、b恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性
13示例：3x+4y=25，x=?（x、y均为正整数）
A.2 B.3
C.4 D.5
倍数特性
识别：ax+by=M，当a或b与M有公约数时，考虑倍数特性
示例：7x+3y=60，x为多少?（x、y均为正整数）
A.4 B.5
C.6 D.7
【注意】不定方程——验证顺序：尾数→奇偶→倍数→代入。
1.尾数法：
（1）识别：ax+by=M，当a或b尾数是 0或5时，考虑尾数。
（2）示例：37x+20y=271，x=?（x、y 均为正整数）。
A.1 B.3
C.2 D.4
答：20y尾数一定是 0，271尾数是1，则 37x尾数是1，结合选项，3*7=21，
对应B项。
2.奇偶特性：
（1）识别：ax+by=M，当a、b恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性。
（2）示例：3x+4y=25，x=?（x、y均为正整数）。
A.2 B.3
C.4 D.5
答：系数 3、4 一奇一偶，25是奇数，若不清楚奇偶性，可以将 1、2、3、4
拿出来试一下；若不清楚3x的奇偶性，3*1=3（奇数）或3*2=6（偶数），无法
判定；4*1=4（偶数），4*2=8（偶数），则 4y 一定是偶数；2+1=3，2+2=4，奇
数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，则 3x 一定是奇数，x 一定是奇数，排除 A、C
项。剩下B、D项，剩二代一，对的就是正确答案，不对则另外一个是正确答案，
代入 B 项：3*3+4y=25→9+4y=25→y=4，满足题意，对应 B 项。奇偶特性往往排
除2个选项，还需再代入一下，难度比尾数法大一些。
3.倍数特性：
14（1）识别：ax+by=M，当a或b与M有公约数时，考虑倍数特性。
（2）示例：7x+3y=60，x为多少?（x、y均为正整数）。
A.4 B.5
C.6 D.7
答：3y 和 60 都是 3 的倍数，3 的倍数+3 的倍数=3 的倍数，则 7x 也是 3 的
倍数，7不是3的倍数，则 x一定是3的倍数，对应C项。
4.若尾数、奇偶、倍数都不行，就需要代入（代入排除法的一个题型就是不
定方程）。
7.（2022 事业单位）某单位举办员工运动会，包括跑步、跳高、跳绳、拔
河、掷铅球 5 个比赛项目，共 42 人参加了项目，每人只参加一项，已知有 12
人参加跑步项目，参加跳高和跳绳项目人数相同，参加拔河项目人数最多，参加
掷铅球项目人数最少仅有 5人。参加拔河项目的人数为多少人？
A.13 B.14
C.15 D.16
【解析】7.缺谁设谁→“参加跳高和跳绳项目人数相同”→设跳高、跳绳的
人数均为 x、拔河的人数为 y，列式：42=12+x+x+y+5→25=2x+y，为不定方程，
未知数系数2、1一奇一偶，考虑奇偶特性，2x 为偶数，25为奇数，则 y为奇数，
排除 B、D 项；剩二代一，代入 A 项，y=13，解得 x=6，符合题意（参加掷铅球
项目人数最少仅有 5人），对应A项。【选 A】
【注意】不定方程组：“组”说明方程数起码为 2 个，比如 3a+5b+4c=20；
155a+6b+7c=35。
1.套路题，缕清思路，注意细节。
2.列式（根据未知数判断类型）：
（1）必须为整数（限定性）。
①第一步，消元→不定方程（求谁留谁、消系数小的）。
②第二步，数字特性。
（2）可不为整数（非限定）→赋 0法：
①第一步，让一个未知数为 0（让系数大的为 0，方便）。如上述例子，可以
把 c 看成 0，此时就可以做了，往往这种题会求 a+b+c，如果 c=0，则 c 的数值
会挪到a和b中，和是固定的，但数值不固定。
②第二步，求出其它。
8.（2021 黑龙江公检法司）幼儿园需采购春联、窗花、小狗玩偶三种新年
用品，已知大班采购春联 7 副、窗花 12 对、小狗玩偶 5 个，共花费 200 元；中
班采购春联 9 副、窗花 19 对、小狗玩偶 5 个，共花费 224 元。问小班采购春联
10副、窗花10对、小狗玩偶 10 个需花费多少元？
A.170 B.176
C.340 D.352
【解析】8.本题要设 3 个未知数，设春联、窗花、小狗玩偶的单价分别为 a、
b、c，根据题意，列式：7a+12b+5c=200，9a+19b+5c=224，钱数可以是整数、也
可以是非整数，遇到这种可零可整的情况，可以用赋零法。哪个难算赋值哪个，
本题赋 b=0，变为：7a+5c=200①，9a+5c=224②，整理出 a=12、c=23.2，所求=
（12+0+23.2）*10=35.2*10=352，结果对应 D项。【选D】
【注意】只要未知数可以不是整数，就可以赋零，赋零法更快。
【拓展】（2021 福建事业单位）小程共扔了 10 次飞镖，全部命中，并分别
落在了10分、8分和 5分的区域上，最后小程的总成绩为 75分，那么飞镖正好
落在10分区域上的次数为：
16A.1次 B.2 次
C.3次 D.4 次
【解析】拓展.假设落在了10分、8分和 5分的次数分别为a、b、c次，列
式：10a+8b+5c=75①，a+b+c=10②，次数一定是整数，方法是消元。优先消次数
小的，求的是 a，②*5 得：5a+5b+5c=50③，①-③得：5a+3b=25，出现 2 个 5，
考虑尾数法，b是5 的倍数，假设b=5，则 3b=15，因此5a=10，解得 a=2，对应
B项。【选B】
方程法
概述：是一款从小用到大的方法，无处不在，是一种解题工具。
2.内容：
（1）普通方程：设未知数：设小不设大；有中间值设中间值；求谁设谁。
（2）不定方程：尾数、奇偶、倍数、代入。
（3）不定方程组：
①整数解：代入计算。
②非整数解：赋“0”法。
做题逻辑：
（1）判题型。
（2）选方法（听话）。
【注意】工程问题：难在能和其他题型构成复合题型，单一的工程问题难在
给具体单位型，公式 W=P*t。
1.给完工时间型：
17（1）赋总量（公倍数）。
（2）算效率：效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列式子或方程。
2.给效率比例型：
（1）赋效率（满足比例即可）。
（2）再算总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列式子或方程。
3.给具体单位型：设未知数，找等量关系列方程。
4.做题逻辑：
（1）判题型。
（2）选方法（听话）。
9.（2022 事业单位）一批试卷分配给甲、乙两人评阅。如果甲单独评阅，
需30小时才能完成任务。乙单独评阅，需 40 小时才能完成任务。现在他们两人
一起同时开始评阅，经过 25 小时评卷结束。评卷期间甲休息了 7 小时，则乙在
评卷期间休息了多少小时？
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】9.已知“甲单独评阅，需 30 小时才能完成任务；乙单独评阅，需
40小时才能完成任务”，给出甲、乙不同的完工时间（30小时、40小时），为给
完工时间型工程问题。（1）赋总量：赋值总量为完工时间 30、40 的公倍数 120；
（2）求效率：甲效率=120/30=4、乙效率=120/40=3；（3）听话：已知“现在他
们两人一起同时开始评阅，经过 25 小时评卷结束；评卷期间甲休息了 7 小时”，
总量为120，分为两部分，对于甲来说，总量=4*（25-7）=72，设乙休息了n小
时，对于乙来说，总量=3*（25-n）=48，解得 n=9，对应D项。【选 D】
10.（2021北京）农场使用甲、乙两款收割机各 1台收割一片麦田。已知甲
的效率比乙高 25%，如安排甲先工作 3 小时后乙加入，则再工作 18 小时就可以
完成收割任务。问如果增加 1台效率比甲高 40%的丙，3台收割机同时开始工作，
18完成收割任务的用时在以下哪个范围内？
A.8小时以内 B.8～10小时之间
C.10～12小时之间 D.12 小时以上
【解析】10.“甲的效率比乙高 25%”，出现效率比，为给效率比例型工程问
题。P =1.25*P →P =5/4*P ，赋值甲的效率为 5，乙的效率为 4。“如安排甲
甲 乙 甲 乙
先工作3小时后乙加入”，乙加入之后，甲还在工作。工作总量=5*3+（4+5）*18=177。
“增加 1 台效率比甲高 40%的丙”，丙的效率=5*（1+40%）=7，三台收割机的效
率和=5+4+7=16，时间 t=177/16=11+小时，对应 C项。【选C】
11.（2023事业单位）某工厂有甲、乙、丙三人，如将 m个零件的生产任务
交给甲、乙合作，需要 12 天完成；如将 2m 个零件的生产任务交给乙、丙合作，
需要30天完成。已知甲的生产效率是丙的 2 倍，则乙独自生产3m个零件需要多
少天？
A.45 B.54
C.60 D.72
【解析】11.已知“将 m个零件的生产任务交给甲、乙合作，需要 12天完成；
如将 2m 个零件的生产任务交给乙、丙合作，需要 30 天完成”，给出 2 个完工时
间（12 天、30 天），2m 做 30 天完成，则 m 做 15 天完成，则本题为给完工时间
型工程问题。（1）赋总量：赋值总量 m为12、15的公倍数60；（2）求效率：甲
效率+乙效率=60/12=5、乙效率+丙效率=60/15=4，已知“甲的生产效率是丙的 2
倍”，则 2 丙效率+乙效率=5、丙效率+乙效率=4，解得甲效率=2、乙效率=3、丙
效率=1；（3）听话：t=60*3/3=60天，对应 C项。【选C】
12.(2024江苏网友回忆版)甲、乙、丙三人合作完成一项任务。乙先做 9天，
再和甲合作6天，完成了任务的 60%，剩下的任务，若由丙做，恰好 10天完成。
甲、乙、丙三人的工作效率之比是：
A.5：4：6 B.6：4：5
C.10：15：12 D.12：15：10
【解析】12.给了比例，先把比例表示出来，9 乙+6*（甲+乙）=60%；10 丙
19=40%，根据公式：W=P*t，10 丙=40%→15 丙=60%，则 15 丙=15 乙+6 甲→5 丙=5
乙+2 甲，此时往里代入，根据“5 丙=5 乙+2 甲”，可知丙＞乙，可以排除 C、D
项；首先代入A项：4*5+2*5=30=5*6，符合，当选。【选 A】
13.（2021 重庆选调）一项工程，甲单独完成需要 15 天，乙单独完成需要
30天，丙单独完成需要 60天，如果按照甲、乙、丙的顺序交替进行，每人做一
天，那么需要多少天能完成？
A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】13.读题“甲单独完成需要 15 天，乙单独完成需要 30天”，给出两
个完工时间，方法是赋值总量、列方程。赋值总量是 15、30、60 的公倍数，赋
值为 60。则甲的效率为 60/15=4，乙的效率为 60/30=2，丙的效率为 60/60=1。
按照甲、乙、丙的顺序交替进行，一个周期的工作量（效率和）为 4+2+1=7，共
工作3天。60/7=8个周期……4个工作量，剩下的 4个工作量由甲 1 天完成，因
此需要3*8+1=25天，对应 A项。【选A】
【拓展知识点】牛吃草问题
①判定：工作总量随时间而变化（排比句）
②公式：原有草量=（牛吃草的数量-草每天生长的量）*时间
【引例】一片草地，10头牛30天吃完，20头牛10天吃完，问 30头牛几天
吃完？
纯言纯语：先有“草”，后有“原”，结合问题公式连
【注意】拓展知识点：牛吃草问题（听话）。
1.判定：工作总量随时间而变化（排比句）。
2.引例：一片草地，10头牛30天吃完，20头牛10天吃完，问 30头牛几天
吃完？
答：“10 头牛 30 天吃完，20 头牛 10 天吃完”出现排比句，为牛吃草问题。
草地之前有草，牛边吃边长，每天长的不够牛吃，还要吃一部分原有的。设每天
草长的速度为n，根据题意列式：W=（10-n）*30=（20-n）*10→n=5（相当于给
20效率比例型的效率）。总量（原来的草量）=（10-5）*30=150或（20-5）*10=150。
问题问的是“30头牛几天吃完”，列式：150=（30-5）*t，解得t=6。
3.公式：原有草量=（牛吃草的数量-草每天生长的量）*时间。
14.（2020广东）某政务服务大厅开始办理业务前，已经有部分人在排队等
候领取证书，且每分钟新增的人数一样多。从开始办理业务到排队等候的人全部
领到证书，若同时开 5个发证窗口就需要1 个小时，若同时开 6个发证窗口就需
要40分钟。按照每个窗口给每个人发证书需要 1分钟计算，如果想要在 20分钟
内将排队等候的人的证书全部发完，则需同时开多少个发证窗口？
A.7 B.8
C.9 D.10
【解析】14.“若同时开 5 个发证窗口就需要 1 个小时（60 分钟），若同时
开6个发证窗口就需要 40分钟”，出现排比句，是牛吃草问题，公式：Y=（N-x）
*T。代入数据：（5-n）*60=（6-n）*40，约分得 15-3n=12-2n，解得 n=3；因此
W=（5-3）*60=120。问“想要在 20 分钟内将排队等候的人的证书全部发完，则
需同时开多少个发证窗口”，120=（X-3）*20，解得X=9，对应C项。【选C】
15.（2022江苏）某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后每小
时新增前来接种疫苗的市民人数相同，且每个接种台的效率相同，经测算：若开
8个接种台，6小时后不再有人排队；若开 12 个接种台，3小时后不再有人排队。
如果每小时新增的市民人数比假设的多25%，那么为保证2小时后不再有人排队，
需开接种台的数量至少为：
A.14个 B.15 个
C.16个 D.17 个
【解析】15.“若开 8个接种台，6小时后不再有人排队；若开 12 个接种台，
3小时后不再有人排队”，出现排比句，是牛吃草问题。列式：（8-n）*6=（12-n）
*3，先约分得 16-2n=12-n，解得 n=4；因此 W=（8-4）*6=24。问“如果每小时
新增的市民人数比假设的多 25%，那么为保证 2小时后不再有人排队，需开接种
台的数量至少为多少个”，原来 n=4，则现在 n’=4*（1+25%）=5，列式：24=（x-5）
21*2，解得x=17，对应 D项。【选D】
【拓展】（2022 四川下）某零件生产车间每天产量固定且目前有一定库存，
车间用货车将库存零件运往买方仓库。如每天运 24 车，5 天刚好运完；如每天
运18车，8天刚好运完。现每天运 x车，4 天后车间生产效率提高了 50%，又用
了7天运完存货。则 x可能的最小值为：
A.18 B.19
C.20 D.21
【解析】拓展.出现排比句“如每天运 24 车，5 天刚好运完；如每天运 18
车，8 天刚好运完”，牛吃草问题。设草长速度为 n，列式：（24-n）*5=（18-n）
*8→120-5n=144-8n→n=8。原有草量W=（24-8）*5=80。“现每天运x 车，4天后
车间生产效率提高了 50%，又用了 7 天运完存货”，车间生产效率代表的是草，
n’=8*（1+50%）=12，根据题意列式：80=（x-8）*4+（x-12）*7，一元一次方
程，80=4x-32+7x-84→196=11x→x≈18-，问至少，车不能是非整数向上取整，
取18，对应A项。【选 A】
注：牛吃草问题：先有“草”，后有“原”，结合问题公式连
公式：原有草量=（牛头数-草长速度）*吃草时间
【注意】工程问题小结：
1.给完工时间型：
（1）赋总量（公倍数）。
22（2）算效率：效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列式子或方程。
2.给效率比例型：
（1）赋效率（满足比例即可）。
（2）再算总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列式子或方程。
3.给具体单位型：设未知数，找等量关系列方程。
4.做题逻辑：
（1）判题型。
（2）选方法（听话）。
5.注：牛吃草问题。
（1）先有“草”，后有“原”，结合问题公式连。
（2）公式：原有草量=（牛头数-草长速度）*吃草时间。
做题逻辑：记公式，选方法
内容：
a、基础经济
b、函数最值
经济利润问题——基础经济
常用公式：
23（1）利润=售价-进价
（2）利润率=利润/进价（利润=利润率*进价）
（3）售价=进价+利润=进价*（1+利润率）
（4）折扣=折后价/折前价
（5）总价=单价*数量；总利润=单个利润*数量
解题思路：
（1）给具体量，求具体量→方程法
（2）给比例，求比例→赋值法
梳理题干：列表法
【注意】经济利润问题——基础经济（套公式）：实在不会做可以列方程。
1.常用公式：
（1）利润=售价-进价。
（2）利润率=利润/进价（利润=利润率*进价）。
（3）售价=进价+利润=进价*（1+利润率）。
（4）折扣=折后价/折前价。
（5）总价=单价*数量；总利润=单个利润*数量。
2.解题思路：
（1）给具体量，求具体量（简单）→方程法。
（2）给比例，求比例→赋值法（特殊的方程法）。
3.梳理题干：列表法（一点一点全写出来）。
16.（2021事业单位）某鲜花店购进一批玫瑰，已知单支玫瑰进价 1 元，按
定价5元销售了70%后，再以定价的 4折销售剩余玫瑰，全部售完后共盈利 3100
元，则该花店共购进玫瑰多少支？
A.900 B.1000
C.1200 D.1500
【解析】16.经济利润问题，出现具体金额，用方程法。缺谁设谁，问花店
共购进玫瑰多少支，设购进玫瑰 x支，根据题意，列式：（5-1）*0.7x+（5*0.4-1）
*0.3x=3100→2.8x+0.3x=3100→3.1x=3100，解得 x=1000，对应B项。【选B】
2417.(2021北京)一种设备打九折出售，销售 12件与原价出售销售 10件时获
利相同。已知这种设备的进价为 50元/件，其他成本为 10元/件。问如打八折出
售，1万元最多可以买多少件?
A.80 B.83
C.86 D.90
【解析】17.经济利润问题，缺谁设谁，设原来售价为 x，根据获利相同，
列式：（0.9x-50-10）*12=（x-50-10）*10，10.8x-720=10x-600→0.8x=120，解
得x=150，实际上150 是不用算的，因为打八折出售为 120，则原来售价是150。
假设件数为n，则 n=10000/120=250/3=83+，问最多，不能超过 83件，只能取 83
件，选择B项。【选 B】
基础经济——赋值法
适用范围：
（1）全是比例
（2）三量关系只知其一
具体用法：
（1）对总成本、数量等进行赋值
（2）按比例关系进行赋值
a=b+c→设未知数
a=b*c→设具体量
【注意】基础经济——赋值法：
1.适用范围：
（1）全是比例（20%、30%、15%等）。
（2）三量关系只知其一。比如利润率=利润/成本，利润率一般会给，但利
润和成本都不知道，考虑赋值。
2.具体用法：赋值法是特殊的方程法。
（1）对总成本、数量等进行赋值，如赋值总成本为100；或者数量赋值为10。
还要结合题意。
25（2）按比例关系进行赋值。
①a=b+c，设未知数。
②a=b*c，设具体量。比如利润率=20%=1/5，则利润为 x，成本为 5x，x 可
以约掉，说明x不重要，可以看成 20/100。
18.（2023 湖北选调）一家超市按 20%的利润率定价出售一批酸奶，还剩下
10 箱时，因临近保质期按定价的五折卖出，最终实际获利只有预计获利的 88%。
则这批酸奶共有多少箱？
A.200 B.240
C.250 D.270
【解析】18.问这批酸奶共有多少箱，要求数量，本题给的都是百分数，考
虑赋值。先列方程，经济利润问题涉及成本、利润、售价、数量、总利润，“按
20%的利润率定价出售一批酸奶”，已知利润率为 0.2，则设成本为 10x，利润=2x，
售价=12x，数量=n-10，总利润=2x*（n-10）；当数量剩下 10箱，则售价=6x，成
本=10x，利润=-4x，总利润=-40x，根据题意，列式：2x*n-20x-40x=2x*n*0.88，
x 可以消掉，因此 x 设不设没有意义，原式整理得 2n-60=1.76n→0.24n=60，解
得n=250，选择C项。【选 C】
【注意】经济利润问题难度会比工程问题高一个等级。
经济利润问题——分段计费
常见题型：水电费、出租车费、税费等
解题方法：分段计费、求和汇总
例题：小明坐出租车去某地，0～3公里 8块钱：3～6公里，每公里 3块钱；
6公里以上，每公里 4块钱
【注意】分段计费：
1.常见题型：水电费、出租车费、税费等。
2.解题方法：分段计费、求和汇总。
3.例题：小明坐出租车去某地，0～3 公里 8 块钱：3～6 公里，每公里 3 块
26钱；6公里以上，每公里 4块钱。
答：0～3 公里花费 8 元，3～6 公里花费 3*（6-3）=9 元，6 公里以上，每
公里4块钱，假设超出 n公里，则花费4n。假设一共花20元，则8+9=17，还剩
下3元，说明跑到 7公里，但还没到7公里。
19.（2020浙江选调）某停车场的收费标准如下：7：00—21：00，每小时6
元，不足一小时按一小时计算；21：00—次日7：00，每两小时 1元，不足两小
时按两小时计算；每日零时为新的计费周期，重新开始计时。小刘某天上午 10
时将车驶入停车场，待其驶出时缴费 70元，则小刘停车时长 t的范围是：
A.14小时＜t≤16小时 B.15 小时＜t≤17小时
C.16小时＜t≤18小时 D.17 小时＜t≤19小时
【解析】19.分段计费问题，画线段分析。7：00～21：00，每小时 6元，假
设停n小时，则花费 6*n；21：00～24：00，1元/2小时，不足两小时按两小时
计算，每日零时为新的计费周期，重新开始计时，21～24总共3小时，只花了2
元；24：00～7：00，花费 1*t/2。已知“小刘某天上午 10时将车驶入停车场”，
10：00～21：00共 11 小时，花费11*6=66元；21：00～24：00共3 小时，收费
2 元，66+2=68，距离 70 还剩 2 元，可以再停 2～4 小时，所求=11 小时+3 小时
+4小时=18小时，对应 C项。【选C】
27经济利润问题——函数最值
题型特征：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高/最低
【课堂小例】单价为3000元，可卖出11万件。若单价每降价200元，销量会
增加1万件。请问当单价定为多少元时，销售总额最高？
解题方法：两点式
①列式：设提价（降价）次数为x，列式；
②求解：令式子为0，求得x，x；
1 2
③平均：当x=（x+x）/2时，取得最值。
1 2
【注意】经济利润问题——函数最值：
1.题型特征：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高/最低。
2.课堂小例：单价为3000元，可卖出11万件。若单价每降价200元，销量会
增加1万件。请问当单价定为多少元时，销售总额最高？
答：“若单价每降价200元，销量会增加1万件”→此消彼长；问题出现“最”，
为函数最值问题。设次数为x，列式：总销售额=（3000-200x）*（11+1*x），打
开括号会出现二次方的概念，函数一旦出现一定会出现最值，要么最大值，要么
最小值，但不重要，重要的是找到对称轴x，令整体等于0，即两个括号分别为0，
28解得x=15、x=-11，相当于y=0时，图像与x轴的两个交点，最值=（x +x ）/2=
1 2 1 2
（15-11）/2=2。则单价=3000-200*2=2600。
3.解题方法：两点式。
（1）列式：设提价（降价）次数为x，列式。
（2）求解：令式子为0，求得x，x。
1 2
（3）平均：当x=（x+x）/2时，取得最值。
1 2
20.（2023事业单位）某电脑制造厂商生产销售一批电脑。每台电脑成本价
格为 4499 元，销售价格为 5699 元。某单位以销售原价购买 20 台电脑，在此基
础上，若销售价格每降低 100元，就多购买 2台。则该电脑制造厂商在该笔交易
中可获得的最大利润为多少元？
A.24200 B.24000
C.36000 D.31200
【解析】20.经济利润问题，“若销售价格每降低 100 元，就多购买 2 台”，
价格和销量此消彼长，是函数最值问题。设次数为 x，问“最大利润”，总利润=
单件利润*数量，“每台电脑成本价格为 4499 元，销售价格为 5699 元”，单件利
润=5699-4499=1200 元，数量为20台，则总利润=（1200-100x）*（20+2x），令
两个括号分别等于 0，解得 x=12、x=-10，当 x=（x+x）/2=（12-10）/2=1时，
1 2 1 2
取得最值，所求=（1200-100*1）*（20+2*1）=1100*22=24200，对应 A 项。【选
A】
【答案汇总】
291-5：ABCAC；6-10：AADDC；11-15：CAACD；16-20：BBCCA
30遇见不一样的自己
Be your better self
31
