文档内容
《数学》三色速记手册
第二部分 课程知识
【考点一】影响初中数学课程的主要因素
初中数学课程是一门国家课程，其主要内容包括课程目标、教学内容、教学过程和评价手
段等。
影响初中数学课程的主要因素有：数学学科内涵、社会发展现状和学生心理特征。
【考点二】数学的基本特点
一、抽象性
抽象性可归纳为以下几点：
1、数学的抽象性表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象；
2、不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是抽象的，并且大量使用抽象的符号；
3、数学的抽象是逐级抽象的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景；
4、高度的抽象必然有高度的概括，表现为高度的概括性，并将具体过程符号化；
5、数学语言具有高度抽象性，因此数学阅读需要较强的逻辑思维能力。
二、严谨性
数学的严谨性表现在以下几个方面：
1、数学结论的叙述必须精练、准确，而对结论的推理论证和系统安排都要求既严格，又周
密；
2、即使是一些最基本、最常用，甚至不能用逻辑方法加以定义的原始概念，数学学科也不
满足于直观描述，而要求用公理来加以确定；
3、在新的数学结论的推证过程中，则步步要有根据，处处应合乎逻辑理论的要求；
4、在数学内容的系统安排上，也必须符合学科内在的逻辑顺序。
三、应用广泛性
数学的应用广泛性表现在以下几个方面：
1、一切科学技术原则上都可以借助于数学的知识和思想方法来解决有关的问题；
2、数学与人的生活、社会的发展、科学技术的进步息息相关；
3、数学为其他学科的建立和发展提供了条件和基础；
除了以上的抽象性、严谨性和应用广泛性外，数学还有简洁性、优美性、对称性等特点。
【考点三】初中数学课程的性质和基本理念
初中数学课程的性质
义务教育阶段的数学课程是培养公民的基础课程，具有基础性、普及型和发展性。数学课程
能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创
新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。
一、基础性
基础性主要指初中阶段的数学课程是学生全面发展的重要基础。
1、初中阶段的数学课程中应当有大量的内容是未来公民在日常生活中必须用到的。
2、初中阶段的教育是每一个学生必须经历的基础教育阶段，它将为其后续生存、发展打下
必要的基础。
3、由于数学科学是其他学科的基础，因此数学课程内容（包括相关内容、方法）也是学生
在初中阶段学习其他课程的必要基础。
二、普及性
初中阶段的数学课程“普及性”的含义是：
1、初中阶段的数学课程应当在适龄少年中得到普及。即每一个适龄学生都有充分的机会学
习。
2、初中数学课程内容应当能够为所有适龄学生在具备相应学习条件的前提下，通过自己的
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努力而掌握。
三、发展性
初中数学课程是为即将结束义务教育阶段的初中学生谋求明日的发展而设置的。
初中数学课程的基本理念
1、数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展
的需要。
2、课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。
它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法；
课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；
要重视直观，处理好直观与抽象的关系；
要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。
3、教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教
师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
4、学习评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程与结果，激励学生和改进教师教学。
应建立评价目标多样化、评价方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重
视学习的过程。
5、信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。
【考点四】初中数学课程的目标
初中数学的总体目标
通过义务教育阶段数学学习
1、学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、
基本活动经验。
☆基础知识：基础知识一般是指数学课程中所涉及的基本概念、基本性质、基本法则、基
本公式等。
☆基本技能：基本技能内容包括基本的运算、测量、绘画等技能。
☆基本思想：数学的三个基本思想：抽象、推理、建模。
☆基本活动经验：是学生学习数学、提高数学素养的重要基础之一，它的产生和形成过程实
质上是学生经历数学活动的过程。
数学基本活动经验的积累要和过程性目标建立联系，过程性目标和内容实现的主要标志就是
学生形成活动经验，学生在经历相关的数学活动中，了解数学知识发生发展的过程，体会数
学知识和方法的探究。
2、体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方
式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；
3、了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，
具有初步创新意识和实事求是的科学态度。
总目标从四个方面具体阐述：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。
目标的基本关系
一、“总体目标”与“学段目标”
“总体目标”是学生经历整个义务教育阶段的数学学习以后，应当达到的最终目标。它是实
现义务教育阶段数学课程价值的最主要途径。“总体目标”的达成需要分阶段逐步落实，而
每一个阶段性目标就是“学段目标”。
所以，“总体目标”是义务教育阶段数学课程的终极目标，而“学段目标”则是“总体目标”
的细化和学段化。
二、四类目标彼此相关
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“总体目标”由“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”四个方面体现。显然，
这四个方面不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体：一方面，“知
识技能”目标的达成不能视为数学教学的终极目的；另一方面，“数学思考”、“问题解决”、
“情感态度”目标的达成应当以数学知识技能和方法的学习作为载体，更为重要的是，数
学知识技能与方法的学习必须有利于这三个目标的实现。
因此，在具体的教学过程中，课程目标的这四个方面应当同时成为“教学目标”，而不能仅
仅关注其中的某几个。事实上，只有这四方面目标的整体实现，才是学生受到良好数学教育
的标志。
【考点五】教学建议
一、数学教学活动要注重课程目标的整体实现
二、重视学生在学习活动中的主体地位
1、学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。
2、教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和
条件。
教师的“组织”作用主要体现在两个方面：
第一，教师应当准确把握教学内容的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，
设计一个好的教学方案。
第二，在教学活动中，教师要选择适当的教学方式，努力营造师生互动、生生互动、生动
活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动。
教师的“引导”作用主要体现在：从学生熟悉的生活经验中寻找有意义的生活素材，创设有
助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流获得知识、形成技能、
发展思维、学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动富有个性地学习。在数学课
堂教学中教师应从以下方面去引导探究学习知识：
（1）创设丰富有趣的数学情境
（2）充分发挥课堂教学作用
（3）加强知识的应用
教师与学生的“合作”主要体现在：教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，
启发学生共同探索，与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果。
3、处理好学生主体地位和教师主导作用的关系
好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。一方面，学生主体地位的真
正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的标志，是
学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展。
三、注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握
1、数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联，数学知识
的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系
中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系。
2、在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序
和步骤的道理。
四、引导学生积累数学活动经验、感悟数学思想
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽
象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。
数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学
教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。
教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过
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程，是学生积累数学活动经验的重要途径。
五、关注学生情感态度的发展
六、合理把握“综合与实践”的实施
积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识是数学课程的重要目标，应贯穿整个数学
课程之中。“综合与实践”是实现这些目标的重要和有效的载体。“综合与实践”的教学，
重在实践、重在综合。重在实践是指在活动中，注重学生自主参与、全过程参与，重视学生
积极动脑、动手、动口。重在综合是指在活动中，注重数学与生活实际、数学与其他学科、
数学内部知识的联系和综合应用。
实施“综合与实践”时，教师要放手让学生参与，启发和引导学生进入角色，组织好学生之
间的合作交流，并照顾到所有的学生。
七、教学中应当注意的几个问题
1、“预设”与“生成”的关系
教学方案是教师对教学过程的“预设”，教学方案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和
再创造。
实施教学方案，是把“预设”转化为实际的教学活动。
2、面向全体学生与关注学生个体差异的关系
教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促进每
个学生在原有基础上的发展。
3、合情推理与演绎推理的关系
推理包括合情推理和演绎推理。教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通
过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推
理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的
年龄特征提出不同程度的要求。
应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理与演绎推理是相辅相
成的两种推理形式。
4、使用现代信息技术与教学手段多样化的关系
积极开发和有效利用各种课程资源，合理地应用现代信息技术，注重信息技术与课程内容的
整合，能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益。
现代信息技术的作用不能完全替代原有的教学手段，其真正价值在于实现原有的教学手段难
以达到甚至达不到的效果。
在应用现代信息技术的同时，教师还应注重课堂教学的板书设计。必要的板书有利于实现学
生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络。
【考点六】数与式
实数的相关概念
1、数轴
数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的。
2、绝对值
绝对值的代数意义
绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。
3、相反数、倒数
若a、b两个数互为相反数，则a+b=0。
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实数a的相反数记为-a，非零实数a的倒数记为 ，0没有倒数。
实数的分类
【考点七】方程
方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式。使方程左
右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
一元一次方程的解法：
去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1
一元二次方程的解法：
a.直接开方法 b.配方法 c.公式法 d.分解因式法
一元二次方程根与系数之间的关系
分式方程及其解法
1、定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。
2、解分式方程的步骤：分式方程 整式方程 →解整式方程→验根→确定
原方程的根。
3、分式方程的增根：
去分母后整式方程的根，使分式方程分母为0的根不是原分式方程的根，叫做原分式方程
的增根。
【考点八】函数
函数的图像与性质
【考点九】简单的平面图形
三角形
三角形的高，三角形的角平分线，三角形的中线，外心，三角形两边之和大于第三边，两
边之差小于第三边。
三角形全等与相似的判定
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定理 相似 全等
SSS √ √
SSA ╳ ╳
三角形 SAS √ √
AAS √ √
AAA √ ╳
直角三角形 HL √ √
多边形的性质
1、多边形的内角和与外角和：任意n 边形（n ≥3）内角和等于（n -2）·180°；外角和
等于360°
2、从n边形的一个顶点出发可以引n -3条对角线，n 边形对角线总条数为 条。
平行四边形的性质和判定
1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
如图，当四边形ABCD为平行四边形时，
（1）边的关系：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC
（2）角的关系：∠ABC=∠ADC、∠BAD=∠BCD；
∠ABC+∠BCD=180°；
（3）对角线的关系：AO=CO，BO=DO；
（4）是中心对称图形。
2、根据上述结论写出平行四边形的判定：
（1）若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形；
（3）若AB=CD，AB∥CD，则四边形ABCD为平行四边形；
（4）若∠ABC=∠ADC、∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD为平行四边形；
（5）若AO=CO，BO=DO，则四边形ABCD为平行四边形。
矩形的性质与判定
名称 性质 定义与判定
1、四个角都是直角
1、有一个角是直角的平行四边形
2、对角线相等
矩形 2、有三个角是直角的四边形
3、既是中心对称图形又是轴对称图形
3、对角线相等的平行四边形
4、S=ab（a、b表示长和宽）
菱形的性质与判定
名称 性质 定义与判定
1、四条边都相等
1、有一组邻边相等的平行四边形
2、对角线互相垂直，并且每条对角线平
菱形 2、四条边都相等的平行四边形
分一组对角
3、对角线互相垂直的平行四边形
3、菱形的面积等于两条对角线乘积一半
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4、既是中心对称图形，又是轴对称图形
正方形的性质与判定
名称 性质 定义与判定
1、有一个角是直角，一组邻边相等的
1、四条边都相等，四个角都是直角 平行四边形
正
2、对角线相等且互相垂直平分每条对角 2、一组邻边相等的矩形
方
线平分一组对角 3、一个角是直角的菱形
形
3、面积等于边长的平方 4、对角线相等互相垂直平分的平行四
边形
【考点十】图形变换
轴对称图形
如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对
称图形。
中心对称图形
在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫
做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
平移
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定单位距离，这样的图形运动称为平移。
平移的特点：平移不改变图形的形状和大小。
旋转
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这
个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。
图形旋转的特点：旋转不改变图形的形状和大小。
【考点十一】视图
三视图
1、三视图：从正面看到的图形称为主视图；从上面看到的图形称为俯视图；从左侧面看到
的图形称为左视图。
2、画三视图方法：
（1）观察方向：正面、左侧面、上面；
（2）视图特点：长对正，高平齐，宽相等；
（3）注意实线与虚线的画法。
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