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2 0 2 4 年 教 资 科 目 三 - 数 学
高 中 基 础 知 识 3
讲师：马小宁
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P16补充：复合函数奇偶性（同奇则奇，一偶则偶）
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P18公式1
如图，角𝐴的终边与单位圆的交点坐标为𝑃 𝑐𝑜𝑠𝐴, 𝑠𝑖𝑛𝐴 ，角𝐵的终边与单位圆的交点坐标为
𝑄 𝑐𝑜𝑠𝐵, 𝑠𝑖𝑛𝐵 ， 根 据 向 量 数 量 积 可 知 ， 𝑂𝑃 ∙ 𝑂𝑄 = 𝑂𝑃 𝑂𝑄 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 +
𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，因为 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 = 1，所以𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，得到公式1：
𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵
2024FENBI公式2
因为𝐴 + 𝐵 = 𝐴 − −𝐵 ，所以𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − −𝐵 ，利用公式1可得𝑐𝑜𝑠 𝐴 − −𝐵 =
𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 ， 再 利 用 诱 导 公 式 可 得 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 =
𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，得到公式2：𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵
公式3
𝜋 𝜋 𝜋
由诱导公式可得𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝛼 ，则𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 − 𝐵 =
2 2 2
𝜋 𝜋 𝜋
𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛 − 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，得到公式
2 2 2
3：𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵
2024FENBI公式4
因为𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −𝐵 ，所以𝑠𝑖𝑛 𝐴 − 𝐵 = 𝑠𝑖𝑛 𝐴 + −𝐵 ，利用公式3可得𝑠𝑖𝑛ሾ𝐴 +
−𝐵 ሿ = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 ， 再 利 用 诱 导 公 式 可 得 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 +
𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 ， 得 到 公 式 4 ： 𝑠𝑖𝑛 𝐴 − 𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 −
𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵
公式5
𝑠𝑖𝑛 𝐴+𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝐵 = = ， 分 子 分 母 同 时 除 以 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 得 ，
𝑐𝑜𝑠 𝐴+𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵
𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑡𝑎𝑛𝐴+𝑡𝑎𝑛𝐵 𝑡𝑎𝑛𝐴+𝑡𝑎𝑛𝐵
= ，得到公式5：𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝐵 =
𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 1−𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵 1−𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵
公式6
𝑠𝑖𝑛 𝐴−𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑡𝑎𝑛 𝐴 − 𝐵 = = ， 分 子 分 母 同 时 除 以 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 得 ，
𝑐𝑜𝑠 𝐴−𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵
𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑡𝑎𝑛𝐴−𝑡𝑎𝑛𝐵 𝑡𝑎𝑛𝐴−𝑡𝑎𝑛𝐵
= ，得到公式6：𝑡𝑎𝑛 𝐴 − 𝐵 =
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𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 1+𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵 1+𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵2024FENBI
P18𝝅 𝝅
辅助角公式前提：a>0，𝝋𝛜（ − ， ）
𝟐 𝟐
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P18𝑎 𝑏
𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ；
𝑎2+𝑏2 𝑎2+𝑏2
𝑎 𝑏
令 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 ， = 𝑠𝑖𝑛𝜑 ， 则 原 式 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝑥 =
𝑎2+𝑏2 𝑎2+𝑏2
𝑎2 + 𝑏2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝜑
𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
1 3
𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
2 2
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P192024FENBI第三节 不等式
不等式的性质 不等式的解法
（一）不等式的基本性质 （一）分式不等式
（二）不等式的运算性质 （二）二元一次不等式组（线性规划）
（三）均值不等式
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（四）柯西不等式2024FENBI
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