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中学力学五
讲师：丁奉
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【例9】从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，
该过程中小球的动能𝐸 与时间𝑡的关系图像是（ ）。
𝑘（讲义页码 P ）
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【例10】从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小
不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度ℎ在3m以内时，物体上升、下落
2
过程中动能𝐸 随ℎ的变化如图所示。重力加速度取10m/s 。该物体的质量为（ ）。
𝑘
A.2kg B.1.5kg C.1kg D.0.5kg（讲义页码 P ）
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三、重力势能
（一）公式：𝐸 = 𝑚𝑔ℎ。
𝑝
（二）重力势能的相对性
重力势能是相对于参考平面的。在参考平面中，物体的重力势能取作零。选择
不同的参考平面，物体的重力势能数值是不同的。
（三）重力做的功与重力势能的关系
公式：𝑊 = 𝐸 − 𝐸 。
𝐺 𝑝1 𝑝2
物理意义：重力做的功只跟物体运动的起点和终点有关，而跟物体运动的路径
无关。
2024FENBI（拓展
【拓展一】 一物块由𝑂点下落，到𝐴点时与直立于地面的轻弹簧接触，到𝐵点时速度达到最
大，到𝐶点时速度减为零，然后被弹回.物块在运动过程中受到的空气阻力大小不变，弹簧始终在
弹性限度内，则物块（ ）。
A.从𝐴下降到𝐵的过程中，合力先变小后变大
B.从𝐴下降到𝐶的过程中，加速度先增大后减小
C.从𝐶上升到𝐵的过程中，动能先增大后减小
D.从𝐶上升到𝐵的过程中，系统的重力势能与弹性势能之和不断增加（讲义页码 P ）
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四、机械能守恒定律
1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的
机械能保持不变。
公式：𝐸 + 𝐸 = 𝐸 + 𝐸
𝑘1 𝑝1 𝑘2 𝑝2
3.机械能守恒的条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力.
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功
2024FENBI（讲义页码 P ）
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铁链下滑问题（变质量问题）
【例5】（真题2017年上高中）如图所示，一条长为L的柔软链条，开始静止地放在光滑
表面𝐴𝐵𝐶上，其左端至B的距离为𝐿 − 𝑎，当链条的左端滑到B点时，链条的速度大小为
（ ）。
𝑔 𝐿−𝑎
A. 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝛽 B. 𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝛽
𝐿−𝑎 𝐿
𝐿 𝑔
C. 𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝛽 D. 𝐿2 − 𝑎2 𝑠𝑖𝑛 𝛽
𝐿2−𝑎2 𝐿（讲义页码 P ）
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【例7】如图，𝑎𝑏𝑐是竖直面内的光滑固定轨道，𝑎𝑏水平，长度为2𝑅；𝑏𝑐是半径为𝑅的四分
之一的圆弧，与𝑎𝑏相切于𝑏点。一质量为𝑚的小球。始终受到与重力大小相等的水平外力的作
用，自𝑎点处从静止开始向右运动，重力加速度大小为𝑔。小球从𝑎点开始运动到其轨迹最高点，
机械能的增量为（ ）。
A.2𝑚𝑔𝑅 B.4𝑚𝑔𝑅 C.5𝑚𝑔𝑅 D.6𝑚𝑔𝑅
𝑐
𝑎 𝑏（讲义页码 P ）
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【例11】（真题 2019 年下 · 高中）有两个小球P和Q，它们的质量都为m，P球在不可
伸长的细线一端，Q球在橡皮绳的一端，橡皮绳处于原长，两球都拉到与平衡位置是垂直的
角的位置，如图所示，然后无初速释放。当小球通过平衡位置时，橡皮绳长度等于细线长度，
则小球通过平衡位置时（ ）。
A.P 球的速度大于 Q 球的速度
B.P 球所受的弹力小于 Q 球所受的弹力
C.P 球的弹性势能等于 Q 球的弹性势能
D.P 球的重力势能大于 Q 球的重力势能拓展
线速度相同
【拓展二】如图所示，可视为质点的小球𝐴、𝐵用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定
在地面上半径为𝑅的光滑圆柱，𝐴的质量为𝐵的两倍。当𝐵位于地面时，𝐴恰与圆柱轴心等高。
将𝐴由静止释放，𝐵上升的最大高度是 （ ）。
5 4 2
A.2𝑅 B. 𝑅 C. 𝑅 D. 𝑅
3 3 3拓展
关联速度
【拓展三】如图所示,一轻绳一端跨过无摩擦的小定滑轮𝑂与小球𝐵连接，另一端与套
在光滑竖直杆上的小物块𝐴连接，小球𝐵与物块𝐴质量相等，杆两端固定且足够长，现将物
块𝐴从与𝑂等高位置由静止释放，物块A下落到轻绳与杆的夹角为𝜃时的速度大小为𝑣 ，小
𝐴
球B的速度大小为𝑣 ，则下列说法中正确的是（ ）。
𝐵
A.𝑣 = 𝑣
𝐴 𝐵
B. 𝑣 = 𝑣 sin𝜃
𝐵 𝐴
C.小球𝐵增加的重力势能等于物块𝐴减少的重力势能
D.小球𝐵增加的机械能等于物块𝐴减少的机械能第五节
动量及动量守恒
2024FENBI知识框架
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一、动量及动量定理
1.对动量定理的理解
(1) 动量定理研究的对象通常是单个物体。（注重矢量）
(2)Ft＝p′－p是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同。式中Ft是物体所受
的合外力的冲量.
(3)Ft＝p′－p除表明两边大小、方向的关系外，还说明了两边的因果关系，即合
外力的冲量是动量变化的原因。
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【例1】最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着
我国 重型运载火箭的研发取得突破性进展。若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约
6
为3𝑘𝑚/𝑠，产生的推力约为4.8 × 10 𝑁，则它在1𝑠时间内喷射的气体质量约（ ）。
2 3
A. 1.6 × 10 kg B 1.6 × 10 kg
5 6
C. 1.6 × 10 kg D. 1.6 × 10 kg（讲义页码 P ）
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【例2】（真题2022 年上· 初中）质量为0.5kg 的小球由高处竖直下落，与地面碰撞后反
弹，其速度随时间变化曲线如图Z1-7-1 所示，图中3 ～ 3.2s 为碰撞过程，速度变化曲线未
画出，g 取10m/s2，关于小球在前5.2s 内的运动情况，下列说法正确的是（ ）。
A. 小球与地面的碰撞是弹性碰撞
B. 小球运动的路程为25m
C. 地面给小球的平均冲力大小为120N
D. 碰撞过程小球受到合外力的冲量大小为25N·s（讲义页码 P ）
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二、动量守恒定律
1.内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动
量保持不变。
′ ′
2.公式：𝑝 + 𝑝 = 𝑝 + 𝑝
𝑚 ，𝑣 𝑚 ，𝑣 𝑚 ， 𝑣
′
𝑚 ，𝑣
′
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
（三）碰撞的分类
1.弹性碰撞：没有机械能损失
2.非弹性碰撞：有机械能损失的碰撞
注：在非弹性碰撞中有一种特殊的碰撞为“完全非弹性碰撞”，完全非弹性碰
撞为机械能损失最大的碰撞，碰撞后的两个物体的最终运动情况为“粘连” 或者
“共速” 。
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用动量守恒定律求解 “圆槽”问题
物体和圆槽相互作用的过程中，沿水平方向的分力始终等大、反向，水平方向动量守恒。
【例3】（真题2016下初中）如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为𝑚的光滑
弧形槽静止停在光滑的水平面上，弧形底端与水平面相切，一个质量为𝑚的小物块从槽的顶端
静止下滑，下面说法正确的是（ ）。
A.在下滑过程中，小物块的机械能守恒
B.在下滑过程中，小物块和槽动量守恒
C.小物块离开弹簧后，做匀速直线运动
D.小物块离开弹簧后，能够划上弧形槽（讲义页码 P ）
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“一动一静”模型
模型介绍：光滑水平面有𝑚 、𝑚 两个小球，小球𝑚 的初速度为𝑣 ，小球𝑚 静止，两个
1 2 1 0 2
小球在同一直线上发生弹性碰撞，求解碰撞后小球𝑚 的速度𝑣 、小球𝑚 的速度𝑣 。
1 1 2 2
1.弹性碰撞
碰撞结束后，形变全部消失，动能没有损失，不仅动量守恒，而且初、末动能相等。
（1）𝑚 𝑣 ＝𝑚 𝑣 ＋𝑚 𝑣
1 0 1 1 2 2
1 1 1
2 2 2
（2） 𝑚 𝑣 = 𝑚 𝑣 + 𝑚 𝑣
1 0 1 1 2 2
2 2 2
𝑚 −𝑚 2𝑚
得出：𝑣 = 1 2 𝑣 𝑣 = 1 𝑣
1 0 2 0
𝑚 +𝑚 𝑚 +𝑚
1 2 1 2
2024FENBI（讲义页码 P ）
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讨论：①若m＝m，则v＝0，v＝v(速度交换)；
1 2 1 2 0
②若m>m，则v>0，v>0(碰后，两物体沿同一方向运动)；
1 2 1 2
③若m≫m，则v≈v，v≈2v；
1 2 1 0 2 0
④若m0(碰后，两物体沿相反方向运动)；
1 2 1 2
⑤若m≪m，则v≈－v，v≈0。
1 2 1 0 2
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2.非弹性碰撞
碰撞结束后，动能有部分损失.
（1）𝑚 𝑣 ＝𝑚 𝑣 ＋𝑚 𝑣
1 0 1 1 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
（2） 𝑚 𝑣 > 𝑚 𝑣 + 𝑚 𝑣 得：∆𝐸 = 𝑚 𝑣 − ( 𝑚 𝑣 + 𝑚 𝑣 ）
1 0 1 1 2 2 损 1 0 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
3.完全非弹性碰撞
碰撞结束后，两物体合二为一，以同一速度运动，动能损失最大.
（1）𝑚 𝑣 ＝（𝑚 ＋𝑚 ）𝑣
1 0 1 2 共
1 2 1 2
（2）∆𝐸 = 𝑚 𝑣 − （𝑚 + 𝑚 ）𝑣
损 𝑚𝑎𝑥 2 1 0 2 1 2 共
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【例 4】（真题 2018 年下 · 高中）在光滑水平面上，有三个质量分别为m、
2m、2m的物块 a、b 和 c，其中 c 连接一质量可忽略的理想弹簧，如图所示。初始
时，b、c 静止，a 以速度𝜐与 b 碰撞。若三物块间的碰撞可视为一维弹性碰撞，则
碰撞后 c 的最大速率是（ ）。
1 2 1 2
A. 𝑣 B. 𝑣 C. 𝑣 D. 𝑣
5 5 2 3拓展
用动量守恒定律和机械能守恒定律求解 “圆槽”问题
“小球”运动到最高点是解决此类为题的突破口，在最高点，小球与圆槽共速。
【拓展一】带有1/4光滑圆弧轨道质量为𝑀的小车静止置于光滑水平面上，如图所示，一质
量也为𝑀的小球以速度𝑣 水平冲上滑车，到达某一高度后，小球又返回车的左端，则（ ）。
0
A.小球以后将向左做平抛运动
B.小球将做自由落体运动
2
C.此过程小球对小车做的功为𝑀𝑣
0
2
𝑣
D.小球在弧形槽上上升的最大高度为 0
2𝑔答 疑 时 间~
2024FENBI
