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2024 年中考押题预测卷【广州卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题
目要求的．）
1． 的倒数是（ ）
A． B． C． D．2024
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【解析】解： 的倒数是 ，
故选：B．
2． 年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于 年 月 日至 月 日在法国巴黎举
行．下面 年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转
后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的
关键．
【解析】 、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、是中心对称图形，该选项符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
故选： ．3．下列运算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查立方根，二次根式的减法，积的乘方和幂的乘方以及分式的加法，分别根据相关运
算法则进行计算后再判断即可
【解析】解：A. ，故选项A计算错误，符合题意；
B. ，故选项B计算正确，不符合题意；
C. ，故选项C计算正确，不符合题意；
D. ，故选项A计算正确，不符合题意；
故选：A
4．如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据主视图是从几何体正面看到的平面图形即可解答．
【解析】解：∵从几何体的正面看到的平面图形是一个长方形和侧面的长方形，
即主视图是两个长方形中间有一条实线的平面图形，
故选 ．
5．学校举行投篮比赛，某班有7名同学参加了比赛，比赛结束后，老师统计了他们各自的投篮数，分别为
3，5，5，6，6，4，6．下列关于这组数据描述不正确的是（ ）
A．众数为6 B．平均数为5 C．中位数为5 D．方差为1
【答案】D
【分析】此题考查了求众数，中位数，方差及平均数，根据定义求出对应数值分别判断，即可得到答案．
【解析】解：A、6出现3次，出现次数最多，故众数是6，该项描述正确，不符合题意；
B、 ，故该项描述正确，不符合题意；
C、这组数据按由小到大排列是：3，4，5，5，6，6，6．最中间的是第四个数5，中位数为5，故该项描述正确，不符合题意；
D、方差为 ，故该项描述错误；符合题意，
故选：D．
6．已知四边形 是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当 时，它是矩形 B．当 时，它是菱形
C．当 时，它是菱形 D．当 时，它是正方形
【答案】D
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【解析】解：A、∵四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形，故本选项不符合题意；
C、 四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
7．若 有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程
，若 ，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有
两个相等的实数根，若 ，则方程没有实数根，据此根据一元二次方程的定义得到 ，
再利用判别式求解即可．
【解析】解：根据题意得 且 ，
解得 且 ．
故选：C．8．当温度不变时，某气球内的气压 与气体体积 成反比例函数关系（其图象如图所示），已
知当气球内的气压 时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是（ ）
A．不小于 B．不大于 C．小于 D．大于
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象可知，函数图象是反比例函数，且过点 ，将点
代入反函数解析式即可求得 的值，从而得出函数解析式，再根据 的范围即可得出答案．
【解析】 函数图象是双曲线的一条分支，且过点
，
则
故选：A．
9．如图，在 中， ， ， 与 ， 分别切于点D，C，连接 ．则
的度数为（ ）
A．50 B．40 C．30 D．20
【答案】C
【分析】由 ， ，求得 ，由 与 ， 分别切于点 ， ，根据
切线长定理得 ，则 ，所以 ，求得 ，则
，于是得到问题的答案．
【解析】解： ， ，，
与 ， 分别切于点 ， ，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
10．如图，矩形纸片 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上，将纸片沿直线 折叠，
点 落在 上的点 处，点 落在点 处，有以下四个结论：①四边形 是菱形；② 平分
；③线段 的取值范围为 ；④当点 与点 重合时， ．则正确结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①先证明四边形 是平行四边形，结合 ，即可判断说法正确与否；②若 平分
，可求得 ，即可判断说法正确与否；③当点 与点 重合
时， 可以取得最小值，当四边形 为正方形时， 可以取得最大值；④根据勾股定理即可判断说
法正确与否．
【解析】①根据图形折叠的性质可知 ， ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又 ，∴四边形 是平行四边形．
又 ，∴四边形 是菱形．
说法①正确．
②∵四边形 是菱形，
∴ ．若 平分 ，则 ，
∴ ．
所以，只有当 时， 平分 ．
说法②错误．
③如图所示，当点 与点 重合时， 可以取得最小值．
设 ，则 ．
在 中
，即
解得
所以， 的最小值为 ．
当四边形 为正方形时， 可以取得最大值．
此时点 、 、 重合， ．
所以， 的最大值为 ．
综上所述， ．
说法③正确．
④根据题意可知 ，
∵四边形 是菱形．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
说法④正确．
综上所述，说法正确的为①③④．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．分解因式： ．
【答案】【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法即可求解．
【解析】解：原式 ，
故答案为：
12．分式方程 的解 ．
【答案】 /
【分析】本题考查解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可．
【解析】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，∴ ，
经检验， 是原方程的解；
故答案为： ．
13．在一个不透明口袋有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 ， ， ， ．随机摸出一个球后不放
回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为 的概率为 ．
【答案】
【分析】先利用树状图列出两次取出的小球标号和的所有可能情况数，再找出两次取出的小球标号的和等
于5的情况数，最后求出概率即可．
【解析】解：画树状图得：
由树状图可知：共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是： = ．
故答案为： ．
14．如图， 为 斜边 上的中线， 为 的中点．若 ， ，则
．【答案】3
【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出 ，然后利用勾股定理即可得出 ，最后利用三角形
中位线定理即可求解．
【解析】解：∵在 中， 为 斜边 上的中线， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴
故答案为：3．
15．如图，正方形 的边 ，点E、F为正方形边的中点，以 为半径的扇形交正方形的边于
点G、H，则 长为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查弧长的计算，解直角三角形，正方形的性质，先求出 ，再运用弧长公
式进行计算即可得到结论．
【解析】解：∵点E、F为正方形边的中点，
∴
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
同理可求出 ，
∴ ，
∴ 长为 ，故答案为： ．
16．如图，在抛物线 （a >0）上有两点P、Q，点P的坐标为（4m，y），点Q的坐标为（m，
1
y）（m>0），点M在y轴上，M的坐标为（0， 1）．
2
（1）用含a、m的代数式表示 = ．
（2）连接PM，QM，小磊发现：当直线PM与直线QM关于直线y= 对称时， 为定值d，则d=
．
【答案】 15am2
【分析】（1）把P、Q的坐标分别代入y＝ax2﹣4，求得y＝16am2﹣4，y＝am2﹣4，即可得到|y﹣y|＝
1 2 1 2
15m2a．
（2）根据待定系数法求得直线PM的解析式，然后半轴x＝m代入求得对应的函数值，直线PM与直线
QM关于直线y＝﹣1对称，即可得出 +（am2﹣4）＝2×（﹣1），解得am2＝ ，由（1）可知，
|y﹣y|＝15m2a，即可得出d＝ ．
1 2
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4（a＞0）上有两点P、Q，点P的坐标为（4m，y），点Q的坐标
1
为（m，y）（m＞0），
2
∴y＝16am2﹣4，y＝am2﹣4，
1 2
∴|y﹣y|＝|15m2a|，
1 2
∵a＞0，m＞0，
∴|y﹣y|＝15m2a．
1 2
故答案为：15m2a．
（2）设直线PM的解析式为y＝kx+b，
∵点P的坐标为（4m，16am2﹣4），M（0，﹣1），
∴ ，解得 ，
∴直线PM为y＝ x﹣1，
当x＝m时，y＝ •m﹣1＝ ，
∵直线PM与直线QM关于直线y＝﹣1对称，
∴ +（am2﹣4）＝2×（﹣1），
∴am2＝ ，
∵|y﹣y|为定值d，|y﹣y|＝15m2a，
1 2 1 2
∴d＝ ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
17．解方程组：
【答案】
【分析】根据加减消元法可求解方程组．
【解析】解：
得： ，
把 代入①得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为 ．
18．如图， ，求证： ．
【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，运用 证明 ，得到 ，再根据等式
的性质即可得出结论．
【解析】证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
在 和 中， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
即： ．
19．已知 ．
(1)化简 ；
(2)若 ， 是菱形 两条对角线的长，且该菱形的面积为6，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据单项式乘多项式的运算法则和完全平方公式将原式展开，去括号后再合并同类项即
可；
（2）根据菱形的面积公式可求出 的值，然后整体代入由（1）所得的结果进行计算即可．
【解析】（1）解：
；
（2）∵ ， 是菱形 两条对角线的长，且该菱形的面积为6，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的值为 ．
20．为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按
得分划分为 ， ， ， 四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．根据图表信息，回答下列
问题：等级 成绩 人数
15
18
7
(1)表中 ；扇形统计图中， 等级对应的扇形圆心角为度 ；若全校共有1800名学生参加了此次
知识竞赛活动，请估计成绩为 等级的学生共有 人；
(2)若 分以上的学生有 人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这 人中随机选出两人参加市级比
赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人都未被选中的概率．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）由 等级的人数和所对应的圆心角的度数求出抽取的学生人数，用总人数减去其它等级的
人数，求出 ，再用 乘以 等级所占的百分比，求出 等级对应的扇形圆心角度数；用全校的总人数
乘以成绩为 等级的学生所占的百分比，即可得出答案；
（2）画树状图，共有 种等可能的结果，甲、乙两人都未被选中的结果有 种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）解：抽取的学生人数为： （人 ，
，
等级对应的扇形圆心角为： ，
估计成绩为 等级的学生共有： （人 ，
故答案为： ， ， ；
（2）95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁，
画树状图如图：共有12种等可能的结果，甲、乙两人都未被选中的结果有2种，
则甲、乙两人都未被选中的概率 ．
21．随着疫情防控形势稳步向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月
份生产 型无人机 架，4月份生产 型无人机达到 架．
(1)求该公司生长 型无人机每月产量的平均增长率；
(2)该公司还生产 型无人机，已知生产 架 型无人机的成本是 元，生产 架 型无人机的成本是
元．现要生产 两种型号的无人机共 架，其中 型无人机数量不超过 型无人机数量的 倍．公司生
产 两种型号无人机各多少架时才可使生产成本最少？
【答案】(1)该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%；
(2)公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．
【分析】（1）直接利用连续两次平均增长率求法得出等式求出答案；
（2）根据题意求出a的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．
【解析】（1）解：设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为 ，
，
（不合题意，舍去）
∴该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%；
（2）解：设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机 架，需要成本为w元，依据题意可得：
，
解得： ，
，
∵ ，
∴当a的值增大时，w的值减小，
∵a为整数，
∴当 时，w取最小值，此时 ，
，
∴公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．
22．如图，在Rt ABC中，∠C=90°．
△(1)尺规作图：作∠A的角平分线AP交BC于点P；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，若AC=5，BC=12，求CP的长．
【答案】(1)见解析
(2)CP的长为 ．
【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作AP平分∠BAC；
（2）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=PC=x，则PB=12-x，先利用勾股定理计算出AB=13，再根据
S ABP= AB×PD= PB×AC，计算即可得出x．
△
【解析】（1）解：如图，AP为所作；
；
（2）解：过点P作PD⊥AB于点D，
∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，∠C=90°，
∴PD=PC，
在Rt ABC中，AC=5，BC=12，
∴AB△= ，
设PD=PC=x，则PB=12-x，
∵S ABP= AB×PD= PB×AC，
△
∴13x=5(12-x) ，
解得：x= ．
∴CP的长为 ．
23．最佳视点
如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓
观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点．如图2，当过 三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角 最大，站在此处观赏最理想，
小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线 上任取异于点E的点 ，连接 交 于点F，连
接 ，…
任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大；
任务二：若 ，观察者的眼睛距地面的距离为 米，最大视角为 ，求观察者应该站在距离
多远的地方最理想(结果精确到 米，参考数据 )．
【答案】任务一：见解析；任务二：观察者应该站在距离0.87米的地方最理想
【分析】任务一：见详解作图，由圆周角定理得 ，再由三角形外角定理得 ，
所以 ，因此在点E时视角最大．
任务二：由圆心角定理知 ，可证 是等边三角形，再由切线定理可证 ，从
而可证 ，于是可证四边形 是平行四边形，则 ，推得 ．最
后解 可求得 的长．
【解析】任务一：过点E的水平线 上任取异于点E的点 ，连接 交 于点F，连接 ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
又∵ 与 都是弧 所对的圆周角，
∴ ，
∴ ，
∴在点E时视角最大．
任务二：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形， ．
如图2，连接 ，∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
由题意得， (米)，
在 中， (米)．
答：观察者应该站在距离 米的地方最理想．
24．综合运用：已知，抛物线 如图1所示，其对称轴是 ．
(1)①写出 与 的数量关系______；
②证明：抛物线与直线 有两个交点；
(2)如图2，抛物线经过点 ，将此抛物线记为 ，把抛物线 先向左平移2个单位长度，再向上平移
1个单位长度，得抛物线 ．
①求抛物线 与 轴的交点坐标；②点 为抛物线 上一动点，过点 作 轴的垂线，交抛物线 于点 ，连接 ，以点 为圆心、 的
长为半径作 ．当 与 轴相切时，求点 的坐标．
【答案】(1)① ，②见解析
(2)① ， ；② 或 或 或
【分析】（1）①根据对称轴是 ，列式 ，即可求解，②联立抛物线与直线方程，计算 并配方，
即可求解，
（2）①将 代入 ，求出抛物线 的表达式： ，顶点式：
，根据坐标的平移，得到抛物线 的表达式，当 时，即可求解②，根据 与 点纵
坐标的绝对值相等，列出等式，即可求解，
本题考查了，抛物线的对称轴，求抛物线解析式，二次函数图象的平移，解题的关键是：根据题意列出等
量关系式．
【解析】（1）解：①∵抛物线 的对称轴是 ，
∴ ，即： ，
∴抛物线方程为： ，
②联立抛物线与直线方程， ，
整理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴抛物线与直线 有两个交点，
故答案为：① ，
（2）解：①将 代入 ，得： ，
解得： ，
∴抛物线表达式为： ，顶点式为： ，
∵抛物线 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线 ，
∴抛物线 的表达式为： ，
当 时， ，
解得： ， ，
∴抛物线 与 轴的交点坐标为： ， ，②根据题意得： ，
∴ ，或 ，
整理得： ，或 ，
解得： 或 或 或 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
故答案为： 或 或 或 ．
25．在正方形 中，点 在边 上，连 ．
(1)如图1，若 ， ，求 长；
(2)如图2，点 在对角线 上，满足 ，过点 作 交 于 ，点 在线段 上（不
与端点重合），连接 ．若 ，求证： ；
(3)如图3，在（1）的条件下，点 是 中点，点 是射线 上的一动点，连 ，将 沿着
翻折得到 ，连 交 于 ，连 ，当 最小时，请直接写出 的面积．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)
【分析】（1）作 交 于 ，则 ，由正方形的性质可得 ，
， ，则 为等腰直角三角形，设 ，则 ，
，由勾股定理可得 ，最后根据 得出，求出 的值即可得到答案；
（2）连接 ，证明 得到 ，证明 得到 ，即
可得证；
（3）作 ，交 于 ，得到 ，推出 ，从而得到 ，进而
得到 ，即当 最小时， 最大，由折叠的性质可得 ，得出点 在以 为圆心，
2为半径的圆上，作 ，且 于 ，交 的延长线于 ，从而得出当点 运动到 时， 最
大， 最小，解直角三角形 求出 ，再解直角三角形 ，求出 ，根据三角形面积公式
进行计算即可得到答案．
【解析】（1）解：如图，作 交 于 ，则 ，
四边形 是正方形，
， ， ，
为等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
；
（2）证明：如图，连接 ，四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，即 ；
（3）解：由（1）可得， ， ，
，
如图，作 ，交 于 ，
，，
，
，即 ，
当 最小时， 最大，
点 是 中点，
，
由折叠的性质可得： ，
点 在以 为圆心，2为半径的圆上，
作 ，且交 于 ，交 的延长线于 ，
当点 运动到 时， 最大， 最小，
，
，
作 与 ，连接 ，则 ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
四边形是正方形， ，
，
，
， ，
，
，
，在 中， ，
．
