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2011 年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大題共8道小题，每小题3分，满分24分。在每道小题给出的四个选项中，选
出符合要求的一项）
1．（3分）负数的引入是数学发展史上的一大飞跃，使数的家族得到了扩张，为人们认识世界
提供了更多的工具．最早使用负数的国家是（ ）
A．中国 B．印度 C．英国 D．法国
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B． ＝±2
C．（2a）3＝6a3 D．（﹣3x﹣2）（3x﹣2）＝4﹣9x2
3．（3分）下面给出的三视图表示的几何体是（ ）
A．圆锥 B．正三棱柱 C．正三棱锥 D．圆柱
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．要调查人们对“低碳生活”的了解程度，宜采用普查方式
B．一组数据3，4，4，6，8，5的众数和中位数都是3
C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率是50%
D．若甲组数据的方差S甲 2＝0.128，乙组数据的方差S乙 2＝0.036；则乙组数据比甲组数据
稳定
5．（3分）下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是（ ）
A．上海自来水来自海上 B．有志者事竟成
C．清水池里池水清 D．蜜蜂酿蜂蜜
6．（3分）小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一
种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，
小芳应选择另一种形状的地砖是（ ）
A． B．
第1页（共21页）C． D．
7．（3分）如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相
交于点F，下列结论：
BD＝AD2+AB2； △ABF≌△EDF； ； AD＝BD•cos45°．
① ② ③ ④
其中正确的一组是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分①）②如图，边长都是1的②正③方形和正三角形，其①一边④在同一水平线上，③三④角形沿该水平
线自左向右匀速穿过正方形．设穿过的时间为t，正方形与三角形重合部分的面积为S（空
白部分），那么S关于t的函数大致图象应为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分）
第2页（共21页）9．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
10．（3分）分解因式：a4﹣1＝ ．
11．（3分）今年3月7日，岳阳市人民政府新闻发布会发布，2010年全市经济增长14.8%，岳
阳市GDP达到1539.4亿元．1539.4亿元用科学记数法表示为（保留两位有效数字）
亿元．
12．（3分）不等式组 的解集是 ．
13．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD把等腰梯形分成了四个小三
角形，任意选取其中两个小三角形是全等三角形的概率是 ．
14．（3分）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作
PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为 ．
15．（3分）将边长分别为 ，2 ，3 ，4 …的正方形的面积记作S ，S ，S ，S …，计算S
1 2 3 4 2
﹣S ，S ﹣S ，S ﹣S …．若边长为n （n为正整数）的正方形面积记作S ，根据你的计算
1 3 2 4 3 n
结果，猜想S ﹣S ＝ ．
n+1 n
16．（3分）如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，
则∠BCD＝15°．根据图形计算tan15°＝ ．
三、解答理（本大题共10道小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：| |﹣（ ﹣3.14）0+（ ）﹣1﹣2sin60°．
π 第3页（共21页）18．（6分）先化简，再选择一个你喜欢的数代入求值． ．
19．（6分）解方程组： ．
20．（6分）如图，一次函数图象与x轴相交于点B，与反比例函数图象相交于点A（1，﹣6）；
△AOB的面积为6．求一次函数和反比例函数的解析式．
21．（6分）为了建设社会主义新农村，华新村修筑了一条长3000m的公路，实际工作效率比
原计划提高了20%，结果提前5天完成任务．问原计划每天应修路多长？
22．（8分）根据国务院新闻办公室2011年4月28日发布的《2011年全国第六次人口普查主
要数据公报（第1号）》，就全国人口受教育情况的数据绘制了条形统计图和扇形统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这次人口普査统计的全国人口总数约为 亿人（精确到0.1）；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）求扇形统计图中表示“高中文化”的圆心角的度数．
23．（8分）已知 O的直径AB的长为4cm，C是 O上一点，∠BAC＝30°，过点C作 O的
切线交AB的⊙延长线于点P，求BP的长． ⊙ ⊙
第4页（共21页）24．（8分）某工厂有一种材料，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20
个工人一天内加工完成，并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息，解答下列问
题：
配件种类 甲 乙 丙
每人可加工配件的数量（个） 16 12 10
每个配件获利（元） 6 8 5
（1）设加工甲种配件的人数为x，加工乙种配件的人数为y，求y与x之间的函数关系式．
（2）如果加工每种配件的人数均不少于3人，那么加工配件的人数安排方案有几种？并写
出每种安排方案．
（3）要使此次加工配件的利润最大，应采用（2）中哪种方案？并求出最大利润值．
25．（8分）如图1，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，
固 定 △ ABD ， 并 把 △ ABD 与 △ ECF 叠 放 在 一 起 ．
（1）操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在
BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G
（G 点不与D点重合）．
求证：BH•GD＝BF2
（2）操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且
CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．
第5页（共21页）探究：FD+DG＝ ．请予证明．
26．（10分）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践﹣﹣
应用﹣﹣探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图 ）进行测量，测
得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道①截面图，建立了
如图 所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．
（2）应②用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为
0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶
（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，
提出了以下两个问题，请予解答：
I．如图 ，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在x轴上．
设矩形③ABCD的周长为l求l的最大值．
II•如图 ，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P
为直线④OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线OM上是否存在点
P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存
在，请说明理由．
第6页（共21页）第7页（共21页）2011 年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大題共8道小题，每小题3分，满分24分。在每道小题给出的四个选项中，选
出符合要求的一项）
1．【分析】根据数学历史材料即可得出答案．
【解答】解：中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早（一千多 ）年．
负数最早记载于中国的《九章算术》（成书于公元一世纪）中，比国外早一千多年．
故选：A．
【点评】此题主要考查了负数的来源，根据历史记载是解决问题的关键．
2．【分析】根据合并同类项法则：只把系数相加，字母及其指数完全不变；算术平方根，积的
乘方：等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．与平方差公式：（a﹣b）（a+b）
＝a2﹣b2的运算方法分别计算，可以得到正确答案．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项不能合并，故本选项错误；
B、 ＝2，故本选项错误；
C、（2a）3＝23•a3＝8a3，故本选项错误；
D、（﹣3x﹣2）（3x﹣2）＝（﹣2﹣3x）（﹣2+3x）＝4﹣9x2，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项法则，算术平方根，积的乘方与平方差公式的运算方
法，关键是正确掌握运算法则，不要混淆．
3．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，
根据俯视图是正三角形可判断出这个几何体应该是正三棱柱．
故选：B．
【点评】考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱
体．
4．【分析】A、人口太多，难以普查；B、根据众数和中位数的定义解答即可；C、根据必然事件
的概率为1，随机事件的概率介于0和1之间；D、方差越大越不稳定，方差越小越稳定．
【解答】解：A、由于涉及范围太广，故不宜采取普查方式，故本选项错误；
B、数据3，4，4，6，8，5的众数是4，中位数是4.5，故本选项错误；
第8页（共21页）C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率是50%，故本选项错误；
D、方差反映了一组数据的波动情况，方差越小数据越稳定，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了统计的相关知识，是常见的关于概率的杂烩题，要注意对相关概念的
积累．
5．【分析】根据四个选项的特点，分析出与其它三个不同的即为正确选项．
【解答】解：A、上海自来水来自海上，可将“水”理解为对称轴，对折后重合的字相同，故
本选项错误；
B、有志者事竟成，五字均不相同，所以不对称，故本选项正确；
C、清水池里池水清，可将“里”理解为对称轴，对折后重合的字相同，故本选项错误；
D、蜜蜂酿蜂蜜，可将“酿”理解为对称轴，对折后重合的字相同，故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了生活中的轴对称现象，题目新颖，妙趣横生，找到对称轴是解题的关键．
6．【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和
是否为360°，并以此为依据进行求解．
【解答】解：A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不
能铺满；
B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，由于135×2+90＝360，故能铺满；
C、正六边形和正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
D、正八边形、正五边形内角分别为135°、108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故选：B．
【点评】本题考查平面镶嵌（密铺），解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能
够用两种正多边形镶嵌的几个组合．
7．【分析】 直接根据勾股定理即可判定是否正确；
利用折①叠可以得到全等条件证明△ABF≌△EDF；
②利用全等三角形的性质即可解决问题；
③在Rt△ABD中利用三角函数的定义即可判定是否正确．
【④解答】解： ∵△ABD为直角三角形，∴BD2＝AD2+AB2，不是BD＝AD2+AB2，故说法错
误； ①
根据折叠可知：DE＝CD＝AB，∠A＝∠E，∠AFB＝∠EFD，∴△ABF≌△EDF，故说法
②正确；
第9页（共21页）根据 可以得到△ABF∽△EDF，∴ ，故说法正确；
③ ②
在Rt△ABD中，∠ADB≠45°，∴AD≠BD•cos45°，故说法错误．
④所以正确的是 ．
故选：B． ②③
【点评】此题主要考查了折叠问题，也考查了勾股定理、相似三角形的性质、全等三角形的
性质及三角函数的定义，它们的综合性比较强，对于学生的综合能力要求比较高，平时加
强训练．
8．【分析】根据边长都是1的正方形和正三角形，可知三角形进入正方形当0≤t≤ 时，以及
当 ＜t＜1时，当1＜t≤ 时以及当 ＜t≤2时，求出函数关系式，即可得出答案．
【解答】解：∵边长都是1的正方形和正三角形，其一边在同一水平线上，三角形沿该水平
线自左向右匀速穿过正方形．
穿过的时间为t，正方形与三角形重合部分的面积为S（空白部分），
∴S关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前是空白面积逐渐增大，当0≤t≤
时，S＝ ×t× t＝ t2，
当 ＜t≤1时，S＝ ×1× ﹣ ×（1﹣t）× （1﹣t）＝﹣ t2+ t﹣ ，
当1＜t≤ 时，S＝ ×1× ﹣ ×（t﹣1）× （t﹣1）＝﹣ t2+ t﹣ ，
当 ＜t≤2时，S＝ ×（2﹣t）× （2﹣t）＝ t2﹣2 t+2 ，
∴S与t是二次函数关系．
∴只有D符合要求．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数图象中动点问题，根据移动路线以及图形边长即可得出空白
面积的函数关系式情况是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分）
9．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+3≠0，
第10页（共21页）解得x≠﹣3．
故答案为：x≠﹣3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．【分析】运用平方差公式进行两次分解即可．
【解答】解：a4﹣1，
＝（a2+1）（a2﹣1），
＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a2+1）（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了用平方差公式分解因式，注意利用平方差公式进行两次分解，注意分
解要彻底．
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于1539.4有4位，所以可以确定n＝4﹣1＝3．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：1539.4＝1.5394×103≈1.5×103亿．
故答案为：1.5×103．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字
的确定方法．
12．【分析】先解每一个不等式，再求解集的公共部分．
【解答】解：原不等式组为 ，
由不等式 ，得x≤ ，
①
由不等式 ，得3x﹣5x＜2，
即﹣2x＜2②，
解得x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤ ．
第11页（共21页）故答案为：﹣1＜x≤ ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组．解不等式组的一般方法是，先解每一个不等式，
再求解集的公共部分．
13．【分析】首先根据等腰梯形的性质，可证得 与 全等，又由树状图，可得所有等可能的
结果与任意选取其中两个小三角形是全等三②角形④的情况，然后有概率公式即可求得答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠DCB，
∵AB＝CD，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC．
画树状图得：
∴一共有12种等可能的结果，
任意选取其中两个小三角形是全等三角形的有2种，
∴任意选取其中两个小三角形是全等三角形的概率是 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定，以及树状图法求概率．此题综合
性较强，难度适中，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
第12页（共21页）14．【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM＝PE＝2，PE＝PN＝2，即可
得出答案．
【解答】解：过点P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，
∴AP⊥BP，PN⊥BC，
∴PM＝PE＝2，PE＝PN＝2，
∴MN＝2+2＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决
问题的关键．
15．【分析】根据题意计算出所给边长对应的正方形的面积，根据面积差得出规律：S ﹣S ＝
2 1
6，S ﹣S ＝10，S ﹣S ＝14，总结出规律即可得出答案．
3 2 4 3
【解答】解：∵S ＝2，S ＝8，S ＝18，S ＝32，
1 2 3 4
∴S ﹣S ＝6，S ﹣S ＝10，S ﹣S ＝14，
2 1 3 2 4 3
据上可得出S ﹣S ＝2（n+1+n）＝4n+2，
n+1 n
故答案为：4n+2．
【点评】本题主要考查了正方形面积公式及面积差规律解题，需要细心找出规律，难度适
中．
16．【分析】此题可设AB＝AC＝2x，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD＝AB﹣AD，从
而求出tan15°．
【解答】解：由已知设AB＝AC＝2x，
∵∠A＝30°，CD⊥AB，
∴CD＝ AC＝x，
则AD2＝AC2﹣CD2＝（2x）2﹣x2＝3x2，
∴AD＝ x，
∴BD＝AB﹣AD＝2x﹣ x＝（2﹣ ）x，
第13页（共21页）∴tan15°＝ ＝ ＝2﹣ ．
故答案为：2﹣ ．
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形，关键是由直角三角形中30°角的性质与勾股
定理先求出CD与AD，再求出BD．
三、解答理（本大题共10道小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考
点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝2﹣ ﹣1+2﹣2× ，
＝2﹣ ﹣1+2﹣ ，
＝3﹣2 ．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．【分析】首先化简括号内的分式，进行加法运算，然后把除法转化为乘法运算，化简以后去
x的值，可以取除1和0外的任意值，代入求值即可．
【解答】解：原式＝ ÷[ +1]，
＝ ÷（ ），
＝ ÷ ，
＝ ÷ ，
＝ • ，
＝ ，
当a＝2时，原式＝ ＝2011．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值
计算．
19．【分析】把 代入 即可求得y，解得x的值，然后把x的值代入 即可求得y的值．
【解答】解：①把 代②入 得：5x﹣3×3＝1 ①
① ②
第14页（共21页）解得：x＝2
把x＝2代入 得：y＝1
①
方程组的解集是： ．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解方程组时一定要理解基本思想是消元．
20．【分析】根据待定系数法就可以求出函数的解析式；再利用△BOA的面积就是求B点的坐
标，然后再利用待定系数法求出一次函数解析式．
【解答】解：设反比例函数解析式为：y＝ （k≠0），
∵点A（1，﹣6）在反比例函数图象上
∴k＝1×（﹣6）＝﹣6，
即反比例函数关系式为y＝﹣ ，
∵△AOB的面积为6．
∴ ×OB×6＝6，
∴OB＝2，
∴B（﹣2，0），
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
∵图象经过A（1，﹣6），B（﹣2，0），
∴ ，
解得： ，
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x﹣4．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，关键把握住
凡是图象经过的点都能满足解析式．
21．【分析】原计划每天应修路xm，则根据实际工作效率比原计划提高了20%，即可得到则实
际每天修（1+20%）x＝1.2xm，然后根据提前5天完成任务即可列方程求解．
【解答】解：设原计划每天应修路xm．
则实际每天修（1+20%）x＝1.2xm．
根据题意得： ﹣ ＝5，
第15页（共21页）方程两边同乘1.2x得：
3600﹣3000＝6x
x＝100
解得：x＝100，
经检验x＝100是原方程的解．
答：原计划每天应修路100m．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，正确找到相等关系，理解实际工作效率比原计
划提高了20%的含义是解题的关键．
22．【分析】（1）初中文化的人数为5.23，而它占总人口的39%，所以这次人口普査统计的全
国人口总数＝5.23÷39%；
（2）用1减去5项的百分比即可得到高中文化所占的百分比；文盲的人数等于全国人口总
数×文盲所占的百分比4.1%；
（3）用360°乘以高中文化所占的百分比即可得到扇形统计图中表示“高中文化”的圆心
角的度数．
【解答】解：（1）这次人口普査统计的全国人口总数＝5.23÷39%≈13.4（亿）．
故答案为13.4；
（2）高中文化所占的百分比＝1﹣27%﹣39%﹣8.9%﹣7%﹣4.1%＝14%，
文盲的人数＝13.4×4.1%≈0.55，如图，
（3）“高中文化”的圆心角的度数＝360°×14%≈50°．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图反映了各小组所占的频数，所有频数的和等
于总数．也考查了扇形统计图．
23．【分析】连接OC，即可求得∠P＝30°，从而求得OP的长，根据BP＝OP﹣OB即可求解．
第16页（共21页）【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵PC是切线，
∴OC⊥PC，
∴∠P＝30°，
∴OP＝2OC＝4cm，
∴BP＝OP﹣OB＝4﹣2＝2cm．
【点评】本题主要考查了切线的性质，已知切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，构造
直角三角形．
24．【分析】（1）根据图表得出16x+12y+10（20﹣x﹣y）＝240，从而求出y与x的关系式即可；
（2）利用（1）中关系式即可得出方案；
（3）分别求出（2）中方案的利润即可．
【解答】解：（1）∵厂方计划由20个工人一天内加工完成，设加工甲种配件的人数为x，加
工乙种配件的人数为y，
∴加工丙种配件的人数为（20﹣x﹣y）人，
∴16x+12y+10（20﹣x﹣y）＝240，
∴y＝﹣3x+20；
（2）设加工丙种配件的人数为z＝（20﹣x﹣y）人，
由题意可得： ，
解得：3≤x≤ ，
则当x＝3时，y＝﹣3×3+20＝11，z＝20﹣3﹣11＝6，
当x＝4时，y＝8，z＝8，
第17页（共21页）当x＝5时，y＝5，z＝10，
其他都不符合题意，
∴加工配件的人数安排方案有三种；
（3）由图表得：方案一利润为：3×16×6+11×12×8+10×6×5＝1644元，
方案二利润为：4×16×6+8×12×8+10×8×5＝1552元，
方案三利润为：5×16×6+5×12×8+10×10×5＝1460元，
∴应采用（2）中方案一，最大利润为1644元．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，一次函数的应用是中考中的重点题型，利用图
表得出正确的信息是解决问题的关键．
25．【分析】（1）根据菱形的性质以及相似三角形的判定得出△BFH∽△DGF，即可得出答案；
（2）利用已知以及平行线的性质证明△ABF≌△ADG，即可得出FD+DG的关系．
【解答】证明：（1）∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，
∴∠B＝∠D，
∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左
右旋转，
∴BF＝DF，
∵∠HFG＝∠B，
又∵∠HFD＝∠HFG+∠GFD＝∠B+∠BHF
∴∠GFD＝∠BHF，
∴△BFH∽△DGF，
∴ ，
∴BH•GD＝BF2；
（ 2 ） ∵ AG∥ CE ，
第18页（共21页）∴∠FAG＝∠C，
∵∠CFE＝∠CEF，
∴∠AGF＝∠CFE，
∴AF＝AG，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠BAF＝∠DAG，
又∵AB＝AD，
∴△ABF≌△ADG，
∴FB＝DG，
∴FD+DG＝BD，
故答案为：BD．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及全等三角形的判定，根据等腰三角形的性
质得出∠BAF＝∠DAG是解决问题的关键．
26．【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出当x＝2时，正好是汽车宽度，求出即可；
（3）I．首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出；
II•利用等腰直角三角形的性质得出QN＝AB＝AO，以及P在y＝x的图象上，即可得出P
点的坐标．
【解答】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点，
代入顶点式得：
y＝a（x﹣5）2+6.25，
∴0＝a（10﹣5）2+6.25，
解得：a＝﹣0.25，
∴y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25；
第19页（共21页）（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，
∴10﹣3×2＝4，
4÷2＝2，
∴x＝2代入解析式得：
y＝﹣0.25（2﹣5）2+6.25；
y＝4，
4﹣3.5＝0.5，
∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；
（3）I．假设AO＝x，可得AB＝10﹣2x，
∴AD＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25；
∴矩形ABCD的周长为l为：l＝2[﹣0.25（x﹣5）2+6.25]+2（10﹣2x）＝﹣0.5x2+x+20，
∴l的最大值为： ＝ ＝20.5．
II•当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y＝x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．
∴∠POA＝∠OPA＝45°，
∴Q点的纵坐标为5，
∴5＝ ，
解得：m＝5± ，
当∠P NQ ＝90°时，过点Q 作Q K ⊥对称轴，
3 3 3 3 1
当△NQ K 为等腰直角三角形时，△NP Q 为等腰直角三角形，
3 1 3 3
Q点在OM的上方时，P Q ＝2Q K ，P Q ＝﹣ ﹣x，
3 3 3 1 3 3
Q K ＝5﹣x，
3 1
Q点在OM的下方时，P Q ＝2Q K ，P Q ＝x﹣（﹣ ），
4 4 4 2 4 4
Q K ＝x﹣5，
4 2
∴ x2﹣ x+10＝0，
解得：x ＝4，x ＝10，
1 2
第20页（共21页）P （4，4），P （10，10）
3 4
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：
（5﹣ ，5﹣ ）或（5+ ，5+ ）或（4，4）或（10，10）．
【点评】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角
形的性质，根据函数图象获取正确点的坐标以及利用y＝x图象上点的性质是解决问题的
关键．
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