文档内容
2019年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B．1.414 C． D．
2．（3分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）
A． 正方体 B． 圆柱
C． 圆锥 D． 球
3．（3分）据海关统计：2019年前4个月，中国对美国贸易顺差为5700亿元．用科学记数法表
示5700亿元正确的是（ ）
A．5.7×1011元 B．57×1010元
C．5.7×10﹣11元 D．0.57×1012元
4．（3分）如图，已知两直线l 与l 被第三条直线l 所截，下列等式一定成立的是（ ）
1 2 3
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠2+∠4＝180° D．∠1+∠4＝180°
5．（3分）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某
班级售书情况如表：
售价 3元 4元 5元 6元
数目 14本 11本 10本 15本
下列说法正确的是（ ）
A．该班级所售图书的总收入是226元
第1页（共20页）B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4
C．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是15
D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是2
6．（3分）以下计算正确的是（ ）
A．（﹣2ab2）3＝8a3b6
B．3ab+2b＝5ab
C．（﹣x2）•（﹣2x）3＝﹣8x5
D．2m（mn2﹣3m2）＝2m2n2﹣6m3
7．（3分）一次函数y ＝k x+b 的图象l 如图所示，将直线l 向下平移若干个单位后得直线l ，
1 1 1 1 1 2
l 的函数表达式为y ＝k x+b ．下列说法中错误的是（ ）
2 2 2 2
A．k ＝k B．b ＜b
1 2 1 2
C．b ＞b D．当x＝5时，y ＞y
1 2 1 2
8．（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下
说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO：AA′＝1：2
D．AB∥A′B′
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD
沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（ ）
第2页（共20页）A．120° B．108° C．72° D．36°
10．（3分）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津
乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这
种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分） 的相反数是 ．
12．（3分）不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、
白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的
概率是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），反比例函数y＝ （x＜0）的
图象经过线段OA的中点B，则k＝ ．
14．（3分）不等式组 的解集是 ．
15．（3分）如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是
．（不添加任何字母和辅助线）
第3页（共20页）16．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值
是 ．
17．（3分）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，
设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是 ．
18．（3分）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象
限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是 ．
三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题毎题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必
要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．（8分）计算： ﹣（ ）﹣1+|﹣2|cos60°
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中m＝ ﹣2．
21．（8分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点
A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重
第4页（共20页）合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
22．（8分）某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、
科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，
现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；
（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；
（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．
23．（8分）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指
出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有
望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿
元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
24．（8分）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与
支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，
∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果
精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
第5页（共20页）25．（8分）如图1，已知 O外一点P向 O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交 O
于点B，连接AO并延⊙长交 O于点C，⊙过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交 O于⊙点
D，连接AD． ⊙ ⊙
（1）求证：△APO～△DCA；
（2）如图2，当AD＝AO时
求∠P的度数；
①连接AB，在 O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出 的
② ⊙
值；若不存在，请说明理由．
26．（10分）如图，二次函数y＝﹣ x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线y ＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x
1
轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动
点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q
返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，
交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平
行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
第6页（共20页）第7页（共20页）2019年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即可求解．
【解答】解： ＝2是有理数； 是无理数；
故选：C．
【点评】本题考查无理数；能够化简二次根式，理解无理数的定义是解题的关键．
2．【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象
是俯视图．
【解答】解：A．俯视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；
B．俯视图与主视图都是长方形，故选项B不合题意；
C．俯视图是圆，主视图是三角形，故选项C符合题意；
D．俯视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考
题型．
3．【分析】根据科学记数法的表示方法a×10n（1≤a＜10）即可求解；
【解答】解：5700亿元＝570000000000元＝5.7×1011元；
故选：A．
【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4．【分析】由三线八角以及平行线的性质可知，A，B，C成立的条件题目并没有提供，而D选
项中邻补角的和为180°一定正确．
【解答】解：∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是内错角，∠2与∠4是同旁内角，由平行线的
性质可知，选项A，B，C成立的条件为l ∥l 时，而∠1与∠4是邻补角，故D正确．
1 2
故选：D．
【点评】本题考查三线八角的识别及平行线的性质和邻补角的概念．本题属于基础题，难
度不大．
5．【分析】把所有数据相加可对A进行判断；利用中位数和众数的定义对B、C进行判断；利
第8页（共20页）用方差的计算公式计算出这组数据的方差，从而可对D进行判断（当然前面三个判断了
可直接对D进行判断）．
【解答】解：A、该班级所售图书的总收入为3×14+4×11+5×10+6×15＝226，所以A选项正确；
B、第25个数为4，第26个数为5，所以这组数据的中位数为4.5，所以B选项错误；
C、这组数据的众数为6，所以C选项错误；
D、这组数据的平均数为 ＝ ＝4.52，所以这组数据的方差S2＝ [14（3﹣4.52）2+11
（4﹣4.52）2+10（5﹣4.52）2+15（6﹣4.52）2]≈1.4，所以D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2＝
1 2 n
[（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]．也考查了中位数和众数．
1 2 n
6．【分析】利用幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则即可求解．
【解答】解：（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，A错误；
3ab+2b不能合并同类项，B错误；
（﹣x2）（﹣2x）3＝8x5，C错误；
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合
并同类项法则是解题的关键．
7．【分析】根据两函数图象平行k相同，以及向下平移减即可判断．
【解答】解：∵将直线l 向下平移若干个单位后得直线l ，
1 2
∴直线l ∥直线l ，
1 2
∴k ＝k ，
1 2
∵直线l 向下平移若干个单位后得直线l ，
1 2
∴b ＞b ，
1 2
∴当x＝5时，y ＞y ，
1 2
故选：B．
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形
的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移减，右移加；纵坐
标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞
清楚平移前后的解析式有什么关系．
第9页（共20页）8．【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【解答】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，
AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
9．【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝90°﹣∠B＝54°．由直角三角形斜边上的中线的
性质得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝
54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．再根据折叠的性质
得出∠ADF＝∠ADC＝72°，然后根据三角形外角的性质得出∠BED＝∠BAD+∠ADF＝
108°．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．
∵AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，
∴∠ADF＝∠ADC＝72°，
∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形
状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性
质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．
10．【分析】根据津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，
付了28元可列方程组．
【解答】解：设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，
则所列方程组为 ，
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到
第10页（共20页）题目蕴含的相等关系．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．【分析】根据相反数的定义，即可求解；
【解答】解： 的相反数是﹣ ；
故答案为﹣ ；
【点评】本题考查相反数；熟练掌握相反数的求法是解题的关键．
12．【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的
结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的有2种
结果，
所以取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，利用树形图可以清晰地表示出
某个事件发生的所有可能；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．【分析】已知A（﹣4，2），B是OA的中点，根据平行线等分线段定理可得点B的坐标，把B
的坐标代入关系式可求k的值．
【解答】解：如图：∵AC∥BD，B是OA的中点，
∴OD＝DC
同理OF＝EF
∵A（﹣4，2）
∴AC＝2，OC＝4
∴OD＝CD＝2，BD＝OF＝EF＝1，
∴B（﹣2，1）代入y＝ 得：
第11页（共20页）∴k＝﹣2×1＝﹣2
故答案为：﹣2
【点评】考查平行线等分线段定理，点的坐标与相应线段的长度的相互转化等知识；求出
点B坐标，代入求k的值是本题的基本方法．
14．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+4＜3，得：x＜﹣1，
解不等式 ≤1，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜﹣1，
故答案为：﹣2≤x＜﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．【分析】根据图形可知证明△ADC≌△AEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可
以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等．
【解答】解：∵∠A＝∠A，AD＝AE，
∴可以添加AB＝AC，此时满足SAS；
添加条件∠ADC＝∠AEB，此时满足ASA；
添加条件∠ABE＝∠ACD，此时满足AAS，
故答案为AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD；
【点评】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的
判定方法．
16．【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式△＞0求解即可；
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4+4m＞0，
∴m＞﹣1；
故答案为0；
【点评】本题考查一元二次方程的根的存在性；熟练掌握利用判别式△确定一元二次方程
第12页（共20页）的根的存在性是解题的关键．
17．【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．
【解答】解：∵勾a＝6，弦c＝10，
∴股＝ ＝8，
∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，
∴小正方形的面积＝22＝4
故答案是：4
【点评】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．
18．【分析】作BH⊥y轴于H，如图，利用等边三角形的性质得到OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，
再计算出BH，从而得到B点坐标为（2 ，2），然后根据关于原点对称的点的坐标特征求
出点B′的坐标．
【解答】解：作BH⊥y轴于H，如图，
∵△OAB为等边三角形，
∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，
∴BH＝ OH＝2 ，
∴B点坐标为（2 ，2），
∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，
∴点B′的坐标是（﹣2 ，﹣2）．
故答案为（﹣2 ，﹣2）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形
的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，
180°．也考查了等边三角形的性质．
三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题毎题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必
要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．【分析】分别化简每一项，再进行运算即可．
第13页（共20页）【解答】解： ﹣（ ）﹣1+|﹣2|cos60°＝3﹣3+2× ＝1．
【点评】本题考查实数的运算，特殊三角函数值；熟练掌握实数的运算，牢记特殊的三角函
数值是解题的关键．
20．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝ •
＝ ，
当m＝ ﹣2时，
原式＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
则．
21．【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，则可计算出BD＝6 ，然后
利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积
＝S△ABC ﹣S扇形EAF 进行计算；
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于
圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2 r＝ ，解得
π
r＝2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．
【解答】解：∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BD＝ AD＝6 ，
∴BC＝2BD＝12 ，
∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC ﹣S扇形EAF ＝
×6×12 ﹣ ＝36 ﹣12 ；
第14π页（共20页）（2）设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2 r＝ ，解得r＝2，
π
这个圆锥的高h＝ ＝4 ．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公
式．
22．【分析】（1）利用摄影社团的人数除以摄影社团所占的百分比即可得到结论；
（2）求出参与篮球社的人数和国学社的人数，补全条形统计图即可；
（3）利用科技制作社团所占的百分比乘以360°即可得到结论；
（4）利用全校学生数乘以参加篮球社团所占的百分比即可得到结论．
【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是 ＝50，
故答案为：50；
（2）参与篮球社的人数＝50×20%＝10人，
参与国学社的人数为50﹣5﹣10﹣12﹣8＝15人，
补全条形统计图如图所示；
（3）参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为360°× ＝86.4°；
（4）3000×20%＝600名，
答：全校有600学生报名参加篮球社团活动．
【点评】此题考查了扇形统计图，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．【分析】根据a（1+x）2＝b增长率公式建立方程30（1+x）2＝36.3，解方程即可．
【解答】解：设平均增长率为x，根据题意列方程得
30（1+x）2＝36.3
解得x ＝0.1，x ＝﹣2.1（舍）
1 2
第15页（共20页）答：我国外贸进出口总值的年平均增长率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程应用问题关于增长率类型，利用公式建立方程即可，记
忆公式并运用公式是本题的关键．
24．【分析】设OE＝OB＝2x，根据含30度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即
可求出答案．
【解答】解：设OE＝OB＝2xcm，
∴OD＝DE+OE＝190+2x，
∵∠ADE＝30°，
∴OC＝ OD＝95+x，
∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝95﹣x，
∵tan∠BAD＝ ，
∴2.14＝ ，
解得：x≈9.4cm，
∴OB＝2x≈19cm．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于
中等题型．
25．【分析】（1）由切线性质和直径AC可得∠PAO＝∠CDA＝90°，由PB∥AD可得∠POD＝
∠CAD，即可得：△APO～△DCA；
（2） 连接OD，由AD＝OA＝OD可得△OAD是等边三角形，由此可得∠POA＝60°，∠P
＝30①°；
作BQ⊥AC交 O于Q，可证ABQP为菱形，求 可转化为求 ．
② ⊙
【解答】解：（1）证明：如图1，∵PA切 O于点A，AC是 O的直径，
∴∠PAO＝∠CDA＝90° ⊙ ⊙
∵CD⊥PB
∴∠CEP＝90°
∴∠CEP＝∠CDA
∴PB∥AD
∴∠POA＝∠CAO
第16页（共20页）∴△APO～△DCA
（2）如图2，连接OD，
∵AD＝AO，OD＝AO
①∴△OAD是等边三角形
∴∠OAD＝60°
∵PB∥AD
∴∠POA＝∠OAD＝60°
∵∠PAO＝90°
∴∠P＝90°﹣∠POA＝90°﹣60°＝30°
存在．如图2，过点B作BQ⊥AC交 O于Q，连接PQ，BC，CQ，
②由 得：∠POA＝60°，∠PAO＝90° ⊙
∴①∠BOC＝∠POA＝60°
∵OB＝OC
∴∠ACB＝60°
∴∠BQC＝∠BAC＝30°
∵BQ⊥AC，
∴CQ＝BC
∵BC＝OB＝OA
∴△CBQ≌△OBA（AAS）
∴BQ＝AB
∵∠OBA＝∠OPA＝30°
∴AB＝AP
∴BQ＝AP
∵PA⊥AC
∴BQ∥AP
∴四边形ABQP是平行四边形
∵AB＝AP
∴四边形ABQP是菱形
∴PQ＝AB
∴ ＝ ＝tan∠ACB＝tan60°＝
第17页（共20页）【点评】本题是有关圆的综合题，难度不大；主要考查了切线性质，圆周角与圆心角，等边
三角形性质，特殊角三角函数值，菱形性质等．
26．【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，
再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线
AC的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出
点E，F的坐标，由AQ∥EF且以A、E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出AQ
＝EF，分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况找出AQ，EF的长，由AQ＝EF可得出关于t
的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
【解答】解：（1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣ x2+bx+c，得：
，解得： ，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣ x2+ x．
（2）当y＝m时，﹣ x2+ x＝m，
解得：x ＝4﹣ ，x ＝4+ ，
1 2
∴点A的坐标为（4﹣ ，m），点B的坐标为（4+ ，m），
第18页（共20页）∴点D的坐标为（4﹣ ，0），点C的坐标为（4+ ，0）．
∵矩形ABCD为正方形，
∴4+ ﹣（4﹣ ）＝m，
解得：m ＝﹣16（舍去），m ＝4．
1 2
∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．
（3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐
标为（2，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0），
将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：
，解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．
当x＝2+t时，y＝﹣ x2+ x＝﹣ t2+ t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，
∴点E的坐标为（2+t，﹣ t2+ t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）．
∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF，
∴AQ＝EF，分三种情况考虑：
当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣ t2+ t+4﹣（﹣t+4）＝﹣ t2+ t，
①
∴t＝﹣ t2+ t，
解得：t ＝0（舍去），t ＝4；
1 2
当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣ t2+ t+4﹣（﹣t+4）＝﹣ t2+ t，
②
∴8﹣t＝﹣ t2+ t，
解得：t ＝4（舍去），t ＝6；
3 4
当7＜t≤8时，如图3所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t+4﹣（﹣ t2+ t+4）＝ t2﹣ t，
③
∴8﹣t＝ t2﹣ t，
解得：t ＝2﹣2 （舍去），t ＝2+2 ．
5 6
第19页（共20页）综上所述：当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4，6或2+2
．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方
形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形
的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利
用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况，利用平
行四边形的性质找出关于t的一元二次方程．
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