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2013年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题
1．﹣2013的相反数是（ ）
A．﹣2013 B．2013 C． D．﹣
2．计算a3•a2的结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a3+a2 D．3a2
3．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与汉字“岳”相对的面上的汉字
是（ ）
A．建 B．设 C．和 D．谐
4．不等式2x＜10的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．关于x的分式方程 +3＝ 有增根，则增根为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
6．两圆半径分别为3cm和7cm，当圆心距d＝10cm时，两圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．内切 C．相交 D．外切
7．某组7名同学在一学期里阅读课外书籍的册数分别是：14，12，13，12，17，18，16．则这组
数据的众数和中位数分别是（ ）
A．12，13 B．12，14 C．13，14 D．13，16
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对于下列结论： a＜0； b＜0； c＞0；
b+2a＝0； a+b+c＜0．其中正确的个数是（ ） ① ② ③
④ ⑤
第1页（共16页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：
9．分解因式：xy﹣3x＝ ．
10．单项式﹣5x2y的系数是 ．
11．函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
12．据统计，今年我市参加初中毕业学业考试的九年级学生将近47500人，数据47500用科学
记数法表示为 ．
13．如图，点P（﹣3，2）处的一只蚂蚁沿水平方向向右爬行了5个单位长度后的坐标为
．
14．如图所示的3×3方格形地面上，阴影部分是草地，其余部分是空地，一只自由飞翔的小鸟
飞下来落在草地上的概率为 ．
15．同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，高1.6m的人影长为1.2m，一电线杆影
长为9m，则电线杆的高为 m．
16．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在
如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为
第2页（共16页）m．
三、解答题：
17．计算：|﹣2|+（﹣1）2013﹣（ ﹣ ）0．
π
18．先化简，再求值：a﹣2+ ，其中a＝3．
19．如图，反比例函数y＝ 与一次函数y＝x+b的图象，都经过点A（1，2）
（1）试确定反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标．
20．某天，一蔬菜经营户用114元从蔬菜批发市场购进黄瓜和土豆共40kg到菜市场去卖，黄
瓜和土豆这天的批发价和零售价（单位：元/kg）如下表所示：
品名 批发价 零售价
黄瓜 2.4 4
土豆 3 5
（1）他当天购进黄瓜和土豆各多少千克？
（2）如果黄瓜和土豆全部卖完，他能赚多少钱？
21．某市为了更好地加强城市建设，实现美丽梦想，就社会热点问题广泛征求市民意见，方式
是发放调查表：要求每位被调查人员写一个最关心的有关城市建设问题的建议，经统计整
理绘制出（a），（b）两幅不完整统计图，请根据统计图提供的信息解答下列问题：
第3页（共16页）（1）本次上交调查表的总人数为多少？
（2）求关心“道路交通”部分的人数，并补充完整条形统计图．
22．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯
的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，
拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．
（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；
（2）在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处有一株大树，修新楼梯AD时底端D
是否会触到大树？并说明理由．
23．某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB＝6，将三
角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点
P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：DP＝DQ；
（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现
PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长
线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，
连接PE，若AB：AP＝3：4，请帮小明算出△DEP的面积．
第4页（共16页）24．如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的 E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点，顶点⊙为F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：
使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的
①坐标；
若探究 中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与 E
②的位置关系①，并说明理由． ⊙
第5页（共16页）2013年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣2013的相反数是﹣（﹣2013）＝2013．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．
【解答】解：a3•a2＝a3+2＝a5．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，是基础题，熟记性质是解题的关键．
3．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“和”与“岳”是相对面，
“建”与“阳”是相对面，
“谐”与“设”是相对面．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面
入手，分析及解答问题．
4．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式的两边同时除以2得，x＜5，
在数轴上表示为：
故选：D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解
答此题的关键．
5．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，
让最简公分母（x﹣1）＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程，检验是否符合题意．
第6页（共16页）【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得7+3（x﹣1）＝m，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，
解得x＝1，
当x＝1时，m＝7，这是可能的，符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，关于增根问题可按如下步骤进行：
让最简公分母为0确定增根；
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程，检验是否符合题意．
6．【③分析】由两圆的半径分别为7cm和3cm，圆心距为10cm，根据两圆位置关系与圆心距d，
两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出这两个圆的位置关系．
【解答】解：∵两圆的半径分别为7cm和3cm，圆心距为10cm，
又∵7+3＝10，
∴这两个圆的位置关系是外切．
故选：D．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆
半径R，r的数量关系间的联系．
圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： 两圆外离 d＞R+r； 两圆
外切 d＝R+r； 两圆相交 R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； 两①圆内切 d⇔＝R﹣r（R＞②r）；
两圆⇔内含 d＜R③﹣r（R＞r）⇔． ④ ⇔ ⑤
7．【分析】根⇔据众数与中位数的定义分别进行解答即可，众数是一组数据中出现次数最多的
数，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间的那个数．
【解答】解：在这组数据14，12，13，12，17，18，16中，
12出现了2次，出现的次数最多，
则这组数据的众数是12，
把这组数据从小到大排列为：12，12，13，14，16，17，18，
最中间的数是14，
则这组数据的中位数是14；
故选：B．
【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列
第7页（共16页）后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据
中出现次数最多的数．
8．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，
然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：如图， 抛物线开口方向向下，则a＜0．故 正确；
∵对称轴x＝﹣ ①＝1，∴b＝﹣2a＞0，即b＞0．故 错①误；
② ②
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．故 正确；
③∵对称轴x＝﹣ ＝1，∴b+2a＝0．故 ③正确；
④ ④
根据图示知，当x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0．故 错误．
⑤综上所述，正确的说法是 ，共有3个． ⑤
故选：C． ①③④
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物
线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题：
9．【分析】直接提取公因式分解因式即可．
【解答】解：xy﹣3x＝x（y﹣3）；
故答案为：x（y﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
10．【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数．
【解答】解：﹣5x2y＝﹣5•x2y，所以该单项式的系数是﹣5．
故答案是：﹣5．
【点评】本题考查了单项式的定义．确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数
和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键．
11．【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
第8页（共16页）（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将47500用科学记数法表示为4.75×104．
故答案为：4.75×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．【分析】让点P的横坐标加上5即可．
【解答】解：点P（﹣3，2）处的一只蚂蚁沿水平方向向右爬行了5个单位长度后的坐标为
（﹣3+5，2），即（2，2）．
故答案为（2，2）．
【点评】此题主要考查了点坐标的平移变换．关键是熟记平移变换与坐标变化规律：
向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）；
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）；
②向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）；
③向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）．
14．④【分析】先求出阴影部分的面积，再求出⇒大正方形的面积，最后根据阴影部分的面积与总
面积的比，即可得出答案．
【解答】解：∵阴影部分的面积＝3个小正方形的面积，
大正方形的面积＝9个小正方形的面积，
∴阴影部分的面积占总面积的 ＝ ，
∴小鸟飞下来落在草地上的概率为 ；
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了几何概率的求法，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积
之比，关键是求出阴影部分的面积．
15．【分析】根据在同一地点，物体的实际高度与它的影子的长度的比值一定，由此判断物体
的实际高度与它的影子的长度成正比例，设出未知数，列出比例解答即可．
【解答】解：设这根电线杆的高度是x米，
第9页（共16页）1.6：1.2＝x：9，
解得：x＝12．
故答案为：12．
【点评】考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的
量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比
例解答即可．
16．【分析】利用平移的性质直接得出答案即可．
【解答】解：根据题意得出：小桥可以平移到矩形的边上，得出小桥的长等于矩形的长与宽
的和，
故小桥总长为：280÷2＝140（m）．
故答案为：140．
【点评】此题主要考查了生活中的平移，根据已知正确平移小桥是解题关键．
三、解答题：
17．【分析】分别根据绝对值的性质、有理数乘方的法则即0指数幂的计算法则计算出各数，
再根据实数运算的法则进行解答即可．
【解答】解：原式＝2﹣1﹣1
＝0．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、有理数乘方的法则即0指数幂的计
算法则是解答此题的关键．
18．【分析】首先对式子中的分式进行化简，然后合并同类项，把a的数值代入求解．
【解答】解：原式＝a﹣2+
＝a﹣2+a+1
＝2a﹣1，
当a＝3时，原式＝6﹣1＝5．
【点评】本题考查了分式的化简求值，注意化简过程中，有能约分的式子首先要约分．
19．【分析】（1）将点A（1，2）分别代入y＝ 与y＝x+b中，运用待定系数法即可确定出反比
例解析式和一次函数解析式；
（2）对于一次函数解析式，令x＝0，求出对应y的值，得到一次函数与y轴交点的纵坐标，
确定出一次函数与y轴的交点坐标；令y＝0，求出对应x的值，得到一次函数与x轴交点
的横坐标，确定出一次函数与x轴的交点坐标．
第10页（共16页）【解答】解：（1）∵反比例函数y＝ 与一次函数y＝x+b的图象，都经过点A（1，2），
∴将x＝1，y＝2代入反比例解析式得：k＝1×2＝2，
将x＝1，y＝2代入一次函数解析式得：b＝2﹣1＝1，
∴反比例函数的解析式为y＝ ，一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）对于一次函数y＝x+1，
令y＝0，可得x＝﹣1；令x＝0，可得y＝1．
∴一次函数图象与x轴，y轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（0，1）．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及一次函数与坐标轴的交点，
比较简单．
20．【分析】（1）设他当天购进黄瓜x千克，则土豆（40﹣x）千克，根据黄瓜的批发价是2.4元，
土豆批发价是3元，共花了114元，列出方程，求出x的值，即可求出答案；
（2）根据（1）得出的黄瓜和土豆的斤数，再求出每斤黄瓜和土豆赚的钱数，即可求出总的
赚的钱数．
【解答】解：（1）设他当天购进黄瓜x千克，则土豆（40﹣x）千克，根据题意得：
2.4x+3（40﹣x）＝114，
解得：x＝10
则土豆为40﹣10＝30（千克）；
答：他当天购进黄瓜10千克，土豆30千克；
（2）根据题意得：
（4﹣2.4）×10+（5﹣3）×30
＝16+60
＝76（元）．
答：黄瓜和土豆全部卖完，他能赚76元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．用到的知识点是：单价×数量＝总价．
21．【分析】（1）根据环境保护所占的百分比和环境保护的人数，即可求出总人数；
（2）用整体1减去其它所占的百分比，求出关心“道路交通”部分的人数所占的百分比，
再乘以总人数，即可得出关心“道路交通”部分的人数，从而补全统计图．
第11页（共16页）【解答】解：（1）根据题意意得：
900÷30%＝3000（人），
答：本次上交调查表的总人数为3000人；
（2）关心“道路交通”部分的人数所占的百分比是：
1﹣30%﹣25%﹣20%﹣5%＝20%，
则关心“道路交通”部分的人数是：3000×20%＝600（人）．
补全条形统计图如下：
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信
息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映
部分占总体的百分比大小．
22．【分析】（1）首先由已知AB＝6m，∠ABC＝45°求出AC和BC，再由∠ADC＝30°求出AD
＝2AC；
（2）根据勾股定理求出CD后与3m比较后即可得到答案．
【解答】解：（1）已知AB＝2m，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝AB•sin45°＝2× ＝ ，
答：舞台的高为 米；
（2）已知∠ADC＝30°．
∴AD＝2AC＝2 ．
CD＝AD•cos30°＝2 × ＝ ＜3
答：修新楼梯AD时底端D不会触到大树．
第12页（共16页）【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是运用锐角三角形函数求解．
23．【分析】（1）证明△ADP≌△CDQ，即可得到结论：DP＝DQ；
（2）证明△DEP≌△DEQ，即可得到结论：PE＝QE；
（3）与（1）（2）同理，可以分别证明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ．在Rt△BPE中，利
用勾股定理求出PE（或QE）的长度，从而可求得S△DEQ ＝ ，而△DEP≌△DEQ，所以
S△DEP ＝S△DEQ ＝ ．
【解答】（1）证明：∵∠ADC＝∠PDQ＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ．
在△ADP与△CDQ中，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP＝DQ．
（2）猜测：PE＝QE．
证明：由（1）可知，DP＝DQ．
在△DEP与△DEQ中，
∴△DEP≌△DEQ（SAS），
∴PE＝QE．
（3）解：∵AB：AP＝3：4，AB＝6，
∴AP＝8，BP＝2．
与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ，
∴CQ＝AP＝8．
与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ，
∴PE＝QE．
第13页（共16页）设QE＝PE＝x，则BE＝BC+CQ﹣QE＝14﹣x．
在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP2+BE2＝PE2，
即：22+（14﹣x）2＝x2，
解得：x＝ ，即QE＝ ．
∴S△DEQ ＝ QE•CD＝ × ×6＝ ．
∵△DEP≌△DEQ，
∴S△DEP ＝S△DEQ ＝ ．
【点评】本题是几何综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等
知识点．试题难度不大，但要注意认真计算，避免出错．
24．【分析】（1）由题意可直接得到点A、B的坐标，连接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求
出OC的长，则得到点C的坐标；
（2）已知点A、B、C的坐标，利用交点式与待定系数法求出抛物线的解析式，由解析式得
到顶点F的坐标；
（3） △ABC中，底边AB上的高OC＝4，若△ABC与△ABM面积相等，则抛物线上的点
M须①满足条件：|y |＝4．因此解方程y ＝4和y ＝﹣4，可求得点M的坐标；
M M M
如解答图，作辅助线，可求得EM＝5，因此点M在 E上；再利用勾股定理求出MF的
②长度，则利用勾股定理的逆定理可判定△EMF为直角⊙三角形，∠EMF＝90°，所以直线MF
与 E相切．
【⊙解答】解：（1）∵以E（3，0）为圆心，以5为半径的 E与x轴交于A，B两点，
∴A（﹣2，0），B（8，0）． ⊙
如解答图所示，连接CE．
在Rt△OCE中，OE＝AE﹣OA＝5﹣2＝3，CE＝5，
由勾股定理得：OC＝ ＝ ＝4．
∴C（0，﹣4）．
（2）∵点A（﹣2，0），B（8，0）在抛物线上，
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣8）．
∵点C（0，﹣4）在抛物线上，
第14页（共16页）∴﹣4＝a×2×﹣8，解得a＝ ．
∴抛物线的解析式为：y＝ （x+2）（x﹣8）＝ x2﹣ x﹣4＝ （x﹣3）2﹣
∴顶点F的坐标为（3，﹣ ）．
（3） ∵△ABC中，底边AB上的高OC＝4，
∴若△①ABC与△ABM面积相等，则抛物线上的点M须满足条件：|y
M
|＝4．
（I）若y ＝4，则 x2﹣ x﹣4＝4，
M
整理得：x2﹣6x﹣32＝0，解得x＝3+ 或x＝3﹣ ．
∴点M的坐标为（3+ ，4）或（3﹣ ，4）；
（II）若y ＝﹣4，则 x2﹣ x﹣4＝﹣4，
M
整理得：x2﹣6x＝0，解得x＝6或x＝0（与点C重合，故舍去）．
∴点M的坐标为（6，﹣4）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为：（3+ ，4），（3﹣ ，4）或（6，﹣4）．
直线MF与 E相切．理由如下：
②由题意可知，M⊙（6，﹣4）．
如解答图所示，连接EM，MF，过点M作MG⊥对称轴EF于点G，
则MG＝3，EG＝4．
在Rt△MEG中，由勾股定理得：ME＝ ＝ ＝5，
∴点M在 E上．
由（2）知⊙，顶点F的坐标（3，﹣ ），∴EF＝ ，
∴FG＝EF﹣EG＝ ．
在Rt△MGF中，由勾股定理得：MF＝ ＝ ＝ ．
在△EFM中，∵EM2+MF2＝52+（ ）2＝（ ）2＝EF2，
第15页（共16页）∴△EFM为直角三角形，∠EMF＝90°．
∵点M在 E上，且∠EMF＝90°，
∴直线MF⊙与 E相切．
⊙
【点评】本题是代数几何综合题，主要考查了抛物线与圆的相关知识，涉及到的考点有二
次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、切线的判定、解一元二次方程等．第（3） 问
中，点M在x轴上方或下方均可能存在，注意不要漏解． ①
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/9/4 9:38:32；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第16页（共16页）
