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2024 年中考第一次模拟考试（南通卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的倒数是（ ）
A． B． C．2024 D．
【答案】B
【解析】解：∵ ，
∴ 的倒数是 ，
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A、 与 不能合并，不符合题意；
B、 ，不符合题意；
C、 ，符合题意；
D． ，符合题意．
故选：C．
3．如图所示放置的正三棱柱的俯视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是
故选：A．
4．如图， ，直线 分别交 ， 于点 ， ， 平分 ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
5．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，关于这12名队员的年龄，下列说法中正确的是（ ）
1 1
年龄/岁 12 14 16
3 5
人数 1 3 4 2 2
A．众数为14 B．极差为3 C．中位数为13 D．平均数为14
【答案】A
【解析】解：A、14岁的人数最多，故众数为14，选项正确；
B、极差为： ，选项错误；C、第6个和第7个数据均为14，故中位数为14，选项错误；
D、平均数为 ，选项错误；
故选A．
6．如图，函数 和 的部分图像与直线 分别交于 、 两点，如果 的面
积是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：记 交 轴于点 ，如图所示：
由 知， ,
的面积是 ，
,
，
，
故选：B．
7．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一
十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉
了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒
各有多少升？若设好酒有 升，薄酒有 升，根据题意列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了
19位客人，列出方程组得：
故选：D．
8．如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点， 的延长线交直线 于点 ，连接 ，
．若 ， ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：连接 ，
∵ 是 的切线， 为切点，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：A
9．如图1，矩形 中，点 为 的中点，点 沿 从点 运动到点 ，设 ， 两点间的距离为 ，
，图2是点 运动时 随 变化的关系图象，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】解：由图2可知，当P点位于B点时， ，即 ，
当P点位于E点时， ，即 ，则 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵
∴ ，
∵点 为 的中点，∴ ，
故选：C．
10．如图，在 中， ， ， ．现在 内叠放边长为1的小正方形纸片，
第一层小纸片的一条边都在 上，首尾两个正方形各有一个顶点 ， 分别在 ， 上，依次这样叠
放上去，则最多能叠放多少？（ ）
A．16个 B．13个 C．14个 D．15个
【答案】A
【解析】解：作 于点 ．
在 中， ， ， ，则由勾股定理，得 ．
．
则小正方形可以排4排．
最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与 的边交于 、 ．
∵ ，
，则 ，
解得： 整数部分是7．则最下边一排是7个正方形．
第二排正方形的上边的边所在的直线与 的边交于 、 ．
则 ，
解得 ，整数部分是5，则第二排是5个正方形；
同理：第三排是：3个；
第四排是：1个．
则正方形的个数是： ．
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，11～12题每小题3分，13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过
程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．计算： 的值为 ．
【答案】 /
【解析】解： ，
故答案为： ．
12．世界上最大的沙漠撒哈拉沙漠，位于非洲北部，面积约 906万平方千米，该地区气候条件非常恶劣，
是地球上最不适合生物生存的地方之一．数据906万用科学记数法表示为
【答案】
【解析】906万 ．
故答案为： ．
13．分解因式： ．
【答案】
【解析】解：．
14．如图， ，若 ， ，则 的大小为 ．
【答案】 /40度
【解析】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．点 在函数 的图象上，则代数式 的值等于 ．
【答案】
【解析】∵点 在函数 的图象上，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
16．如图，菱形 中，分别以点 ， 为圆心， ， 的长为半径画弧，两弧相交于 ， 两点．
若 ， ，则图中阴影部分的；面积为 ．（结果不取近似值）【答案】
【解析】解：连接 ，
四边形 是菱形，
， ，
、 都是等边三角形，
，
，
，
故答案为：
17．图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“ 型”托架 用于放置手机，支架 两
端分别与托架和底座 （其厚度忽略不计）相连，支架 端可调节旋转角度，已知 ，
，支架调整到图2位置时， ， ．因实际需要，现将支架 端角
度调整为 ，如图3所示，则点 的位置较原来的位置上升高度为 ．
【答案】
【解析】解：如图2，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作
于点 ，如图3，延长 交 于点旋转前如图3：
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ , ，
∴ ，
∵ ，
∴在 和 中，
，
，
故点 到 的距离为： ，
旋转后如图3：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
故 ，
点 的位置较原来的位置上升高度为: ，故答案为：
18．如图，在 中， ， ，以点 为直角顶点、 为直角边向下作直角 ，且
，连接 ，则 的最大值是 ．
【答案】
【解析】解：如图，作 ，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴当点C，点A，点E共线时， 有最大值 ，
∴ 的最大值为 ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（1）解方程：
（2）解不等式组：
【解析】解：（1）
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解；
（2）
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 .
20． 、 、 、 四名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的
跑道，请用画树状图或列表的方法，求 、 两位选手抽中相邻跑道的概率．【解析】画树状图表示 两位选手抽中赛道的情况如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中 两位选手抽中相邻跑道的结果有
，共6种，
∴ 两位选手抽中相邻跑道的概率为 ．
21．根据我市体育中考“3+1+1+1”模式，“跳绳”作为中考体育必考项目之一．我校为了了解今年九年级
学生跳绳的水平，随机抽取部分九年级学生的测试成绩按 、 、 四个等级进行统计，制成了如图
所示的两幅不完整的统计图.
请你根据所给信息，解答下列问题
(1)求随机抽取的总人数；
(2)求扇形统计图中 等级所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
(3)若我校九年级共有学生 人，请求出取得 等级的学生人数．
【解析】（1）根据题意，得 （人）．（2）扇形统计图中 等级所在扇形的圆心角度数为 ，
等级人数为 （人），
补全条形统计图如图：
（3） （人）
答：全校有达到A等级的学生有144人．
22．如图，在平行四边形 中，点E，F分别在 ， 上， ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，且 ， ，求四边形 的面积．
【解析】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，即 ，
∵ ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形．
（2）解： 四边形 是矩形，，
， ，
在 中，由勾股定理得：
，
，
四边形 为菱形．
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
，
，
．
23．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价
每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，
设每个房间定价增加 元（x为整数）．
(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；
(2)某日，宾馆了解当天的住宿的情况，发现当日所获利润为8000元，每个房间刚好住满2人，且当天房
间支出不少于500元，问这天宾馆入住的游客有多少人？
(3)设宾馆每天的利润为w元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
【解析】（1）解： （ 且 为整数）
（2）设每个房间房价增加 元，根据题意，得： ，
化简，得 ；
解得： ．
∵ ，
解得： ，∴这天宾馆入住的游客有 人．
答：这天宾馆入住的游客有 人．
（3）设每天所获利润为 元，根据题意可知，
．
∵二次项系数 ，
∴当 时， 取得最大值，即 ．
此时每间房间定价为 （元）．
答：当每间房间定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润为9000元．
24．如图， 是 的直径，点D是 的中点， ，且 ， 与 交于点E．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长；
(3)延长 ， 交于点F，若 ，求 的半径．
【解析】（1）证明：∵ 为直径，点C在圆上，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，又点A在 上
∴ 是 的切线；（2）连接 ，∵点D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 为直径，点D在圆上，
∴ ，
而 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
（3）连接 ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，而 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，
，而 ，
∴ ．
25．【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形 中，对角线 与 交于点E，若 ， ，
，则 的长度＝______cm．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角
形全等．如图2，在 中，已知 是弦， 是半径，求作： 的内接垂等四边形 ．（要
求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知A是 上一定点，B为 上一动点，以 为一边作出 的内接垂等
四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线 与 交于点E， 的半径为 ，当点E
到 的距离为 时，求弦 的长度．【解析】（1）解：由垂等四边形的定义得 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：作 ，分别交 于点D、C，即可得到垂等四边形 ， 如图，
以点O为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，分别以点A、 为圆心，大于 长为半径画弧，两
弧相交于点D，
以点O为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，分别以点B、 为圆心，大于 长为半径画弧，两
弧相交于点C，
连接 ，四边形 即为所求的垂等四边形；
（3）解：连接 ，由（2）可得等腰 ，∴ ，
作 ，
∴ ， ，
∵四边形 是垂等四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的半径为 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或3，
∴ 或3，
∵ ，
∴ 或 ，作 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点A，B，与 轴交于点C，其中
，抛物线的对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点 是直线 下方抛物线上一动点，点 是线段 上一动点，直线 交 轴于点 ．若
，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)另有抛物线 的顶点 在线段 上， 经过点 ，将抛物线 平移得到新的抛物线 ，点 ， 平移
后的对应点分别是点 ，连接 ．若 轴，点 在 轴上， 经过点 ，写出所有符合条件的点
的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程．
【解析】（1）解： 抛物线 过点 ，
①，
抛物线对称轴为直线 ，，
②，
将②代入①得 ，
解得 ，
抛物线的表达式为 .
（2）解：过点 作 轴交 于点 ，过点 作 于点 ，
由题知 解析式为 ，
又知 ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
设 ，则 ，
，当 时， 的最大值为 ，
的最大值为 ，此时 .
（3）解：满足条件的 点坐标有 ．
由平移规律可知， 为 的中点，
，
设 ，
经过点 ，
，
设 ，则 ，
经过点 ， ，
，
点的坐标有 .
