文档内容
2015年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）计算（﹣3）+（﹣9）的结果是（ ）
A．﹣12 B．﹣6 C．+6 D．12
2．（3分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）2011年3月，英国和新加坡研究人员制造出观测极限为0.000 000 05米的光学显
微镜，其中0.000 000 05米用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.5×10﹣9米 B．5×10﹣8米 C．5×10﹣9米 D．5×10﹣7米
4．（3分）如图是某校参加各兴趣小组的学生人数分布扇形统计图，则参加人数最多的兴趣小
组是（ ）
A．棋类 B．书画 C．球类 D．演艺
5．（3分）将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1＝30°，则∠2的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．65°
第1页（共18页）6．（3分）已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于 O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是（ ）
⊙
A．80° B．100° C．60° D．40°
8．（3分）不等式组 的整数解的个数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．无数个
9．（3分）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移
至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下
图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B
向右旋转90°至图 位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图 位置，…，以此类
① 第2页（共18页） ②推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）
A．2015 B．3019.5 C．3018 D．3024
二、填空题（π 共8小题，每小题3分π，满分24分） π π
11．（3分）多项式a2﹣4因式分解的结果是 ．
12．（3分）如图，在 ▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全
等三角形： ．
13．（3分）下列计算中正确的序号是 ．
2 ﹣ ＝2； sin30°＝ ； |﹣2|＝2．
① ② ③
14．（3分）某同学遇到一道不会做的选择题，在四个选项中有且只有一个是正确的，则他选
对的概率是 ．
15．（3分）某正n边形的一个内角为108°，则n＝ ．
16．（3分）关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
17．（3分）如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000
米，则他实际上升了 米．
18．（3分）抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是 ．
三、解答题（共3小题，满分24分）
19．（8分）解方程组： ．
20．（8分）先化简（ ﹣ ）• ，再从0，1，2中选一个合适的x的值代入求值．
第3页（共18页）21．（8分）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF
＝ BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
四、应用题（共3个小题，每小题8分，共24分）
22．（8分）亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了
解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名初中学生，根据调
查结果得到如图所示的统计图表．
类别 时间t（小时） 人数
A t≤0.5 5
B 0.5＜t≤1 20
C 1＜t≤1.5 a
D 1.5＜t≤2 30
E t＞2 10
请根据图表信息解答下列问题：
（1）a＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）小王说：“我每天的锻炼时间是调查所得数据的中位数”，问小王每天进行体育锻炼
的时间在什么范围内？
（4）据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在
1小时以上的人数．
第4页（共18页）23．（8分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款
成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y
（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣10x+1200．
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润＝销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
24．（8分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB
的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在
同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆
的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
五、综合题（共2个小题，25题8分，26题10分，共18分）
25．（8分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，现按如下步骤作图：
分别以A，C为圆心，a为半径（a＞ AC）作弧，两弧分别交于M，N两点；
①
过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；
②将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F．
③（1）请在图中直线标出点F并连接CF；
（2）求证：四边形BCFD是平行四边形；
（3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形．
第5页（共18页）26．（10分）如图，已知直线y＝x+k和双曲线y＝ （k为正整数）交于A，B两点．
（1）当k＝1时，求A、B两点的坐标；
（2）当k＝2时，求△AOB的面积；
（3）当k＝1时，△OAB的面积记为S ，当k＝2时，△OAB的面积记为S ，…，依此类推，当
1 2
k＝n时，△OAB的面积记为S ，若S +S +…+S ＝ ，求n的值．
n 1 2 n
第6页（共18页）2015年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可得解．
【解答】解：（﹣3）+（﹣9）＝﹣（3+9）＝﹣12，故选：A．
【点评】本题考查了有理数的加法运算，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．
2．【分析】根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解
答．
【解答】解：A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；
B、圆锥的左视图是等腰三角形，符合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；
D、长方体的左视图是矩形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
3．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 000 05米用科学记数法表示为5×10﹣8米．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．【分析】根据扇形统计图中扇形的面积越大，参加的人数越多，可得答案．
【解答】解：35%＞30%＞20%＞10%＞5%，
参加球类的人数最多，
故选：C．
【点评】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的
关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
5．【分析】先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1+∠3＝90°，∠1＝30°，
第7页（共18页）∴∠3＝60°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠3＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
6．【分析】根据完全平方公式得出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝2，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝32﹣2×2
＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，注意：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
7．【分析】根据圆内接四边形的性质求得∠ABC＝40°，利用圆周角定理，得∠AOC＝2∠B＝
80°．
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°， ⊙
∴∠ABC＝180°﹣140°＝40°．
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关
键．
8．【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可．
【解答】解： ，
解 得：x＞﹣2，
解①得：x≤3．
② 第8页（共18页）则不等式组的解集是：﹣2＜x≤3．
则整数解是：﹣1，0，1，2，3共5个．
故选：B．
【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：
同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
9．【分析】作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD＝m，根据等腰三角形的性质得
∠B＝∠C，BD＝CD＝m，当点F从点B运动到D时，如图1，利用正切定义即可得到y＝
tanB•（t 0≤t≤m）；当点F从点D运动到C时，如图2，利用正切定义可得y＝tanC•CF＝﹣
tanB•t+2mtanB（m≤t≤2m），即y与t的函数关系为两个一次函数关系式，于是可对四个
选项进行判断．
【解答】解：作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD＝m，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B＝∠C，BD＝CD，
当点F从点B运动到D时，如图1，
在Rt△BEF中，∵tanB＝ ，
∴y＝tanB•t（0≤t≤m）；
当点F从点D运动到C时，如图2，
在Rt△CEF中，∵tanC＝ ，
∴y＝tanC•CF
＝tanC•（2m﹣t）
＝﹣tanB•t+2mtanB（m≤t≤2m）．
故选：B．
第9页（共18页）【点评】本题考查了动点问题的函数图象：利用三角函数关系得到两变量的函数关系，再
利用函数关系式画出对应的函数图象．注意自变量的取值范围．
10．【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
【解答】解：转动一次A的路线长是： ，
转动第二次的路线长是： ，
转动第三次的路线长是： ，
转动第四次的路线长是：0，
转动五次A的路线长是： ，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为： +2 ＝6 ，
π π
2015÷4＝503余3
顶点A转动2015次经过的路线长为：6 ×504＝3024 ．
故选：D． π π
【点评】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
12．【分析】由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，
∵BE∥DF，
第10页（共18页）∴∠DFC＝∠BEA，
∴∠AFD＝∠BEC，
在△ADF与CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
故答案为：△ADF≌△CBE．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，根据平行四边
形的性质对边平行和角相等从而得到三角形全等的条件是解题的关键．
13．【分析】根据二次根式的加减法、三角函数值、绝对值，即可解答．
【解答】解： 2 ﹣ ＝ ，故错误；
①
sin30°＝ ，故错误；
②
|﹣2|＝2，正确．
③故答案为： ．
【点评】本题③考查了二次根式的加减法、三角函数值、绝对值，解决本题的关键是熟记相关
法则．
14．【分析】用正确的个数除以选项的总数即可求得选对的概率．
【解答】解：∵四个选项中有且只有一个是正确的，
∴他选对的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
15．【分析】易得正n边形的一个外角的度数，正n边形有n个外角，外角和为360°，那么，边
数n＝360°÷一个外角的度数．
【解答】解：∵正n边形的一个内角为108°，
∴正n边形的一个外角为180°﹣108°＝72°，
∴n＝360°÷72°＝5．
故答案为：5．
第11页（共18页）【点评】考查了多边形内角与外角，用到的知识点为：多边形一个顶点处的内角与外角的
和为180°；正多边形的边数等于360÷正多边形的一个外角度数．
16．【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，
∴22﹣4×1×（﹣m）＝0，
解得m＝﹣1．
故答案为；﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
17．【分析】过点⇔B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB＝200米，∠A＝30°，求出
BC的长度即可．
【解答】解：过点B作BC⊥水平面于点C，
在Rt△ABC中，
∵AB＝2000米，∠A＝30°，
∴BC＝ABsin30°＝2000× ＝1000．
故答案为：1000．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，
利用三角函数的知识进行求解．
18．【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，
直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称
轴为x＝h，此题还考查了配方法求顶点式．
三、解答题（共3小题，满分24分）
19．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
第12页（共18页）【解答】解： ，
+ 得：3x＝3，即x＝1，
①把x＝②1代入 得：y＝2，
①
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
20．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把
x＝1代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ • ＝ ，
当x＝1时，原式＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE BC，进而得出DE＝FC；
（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC＝EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定
理得出EF的长．
【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE BC，
∵延长BC至点F，使CF＝ BC，
∴DE＝FC；
（2）解：∵DE FC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，
∴DC＝EF＝ ．
第13页（共18页）【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线
定理等知识，得出DE BC是解题关键．
四、应用题（共3个小题，每小题8分，共24分）
22．【分析】（1）用样本总数100减去A、B、D、E类的人数即可求出a的值；
（2）由（1）中所求a的值得到C类别的人数，即可补全条形统计图；
（3）根据中位数的定义，将这组数据按从小到大的顺序排列，求出第50与第51个数的平
均数得到中位数，进而求解即可；
（4）用30万乘以样本中每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）a＝100﹣（5+20+30+10）＝35．
故答案为35；
（2）补全条形统计图如下所示：
（3）根据中位数的定义可知，这组数据的中位数落在C类别，所以小王每天进行体育锻炼
的时间范围是1＜t≤1.5；
（4）30× ＝22.5（万人）．
即估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数是22.5万人．
【点评】本题考查的是条形统计图和频数分布表的综合运用．读懂统计图表，从不同的统
计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数
据．也考查了中位数的定义以及利用样本估计总体．
23．【分析】（1）根据“总利润＝单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；
第14页（共18页）（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．
【解答】解：（1）S＝y（x﹣40）＝（x﹣40）（﹣10x+1200）＝﹣10x2+1600x﹣48000；
（2）S＝﹣10x2+1600x﹣48000＝﹣10（x﹣80）2+16000，
则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利
函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
24．【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可
得出答案．
【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则 ＝ ，
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，
∴ ＝ ，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m），
答：旗杆的高度为11.5m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．
五、综合题（共2个小题，25题8分，26题10分，共18分）
25．【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）首先根据作图得到MN是AC的垂直平分线，然后得到DE等于BC的一半，从而得到
DE＝EF，即DF＝BC，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即
可；
（3）得到BD＝CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵根据作图可知：MN垂直平分线段AC，
第15页（共18页）∴D、E为线段AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC，
∵将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的像为点F，
∴EF＝ED，
∴DF＝BC，
∵DE∥BC，
∴四边形BCFD是平行四边形；
（3）当∠B＝60°时，四边形BCFD是菱形；
∵∠B＝60°，
∴BC＝ AB，
∵DB＝ AB，
∴DB＝CB，
∵四边形BCFD是平行四边形，
∴四边形BCFD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定及基本作图的知识，解题的关键是能
够了解各种特殊四边形的判定定理，难度不大．
26．【分析】（1）由k＝1得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得
到A、B两点的坐标；
（2）先由k＝2得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B
两点的坐标；再求出直线AB的解析式，得到直线AB与y轴的交点（0，2），利用三角形的
面积公式，即可解答．
（3）根据当k＝1时，S ＝ ×1×（1+2）＝ ，当k＝2时，S ＝ ×2×（1+3）＝4，…得到当k＝
1 2
n时，S ＝ n（1+n+1）＝ n2+n，根据若S +S +…+S ＝ ，列出等式，即可解答．
n 1 2 n
【解答】解：（1）当k＝1时，直线y＝x+k和双曲线y＝ 化为：y＝x+1和y＝ ，
第16页（共18页）解 得 ， ，
∴A（1，2），B（﹣2，﹣1），
（2）当k＝2时，直线y＝x+k和双曲线y＝ 化为：y＝x+2和y＝ ，
解 得 ， ，
∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）
设直线AB的解析式为：y＝mx+n，
∴
∴ ，
∴直线AB的解析式为：y＝x+2
∴直线AB与y轴的交点（0，2），
∴S△AOB ＝ ×2×1+ ×2×3＝4；
（3）当k＝1时，S ＝ ×1×（1+2）＝ ，
1
当k＝2时，S ＝ ×2×（1+3）＝4，
2
…
当k＝n时，S ＝ n（1+n+1）＝ n2+n，
n
∵S +S +…+S ＝ ，
1 2 n
∴ ×（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…n）＝ ，
整理得： ，
解得：n＝6．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是联立函数解析式，
组成方程组，求交点坐标．在（3）中注意找到三角形面积的规律是关键．
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第18页（共18页）
