文档内容
2016年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．﹣2
2．（3分）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图所示，直线AB、CD被直线EF所截，若AB∥CD，∠1＝100°，则∠2的大小是（
）
A．10° B．50° C．80° D．100°
4．（3分）在学校演讲比赛中，10名选手的成绩统计图如图所示，则这10名选手成绩的众数
是（ ）
A．95 B．90 C．85 D．80
5．（3分）一次函数y＝﹣x+2的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）分式方程 ＝ 的解是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
7．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
第1页（共19页）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．（3分）如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD＝BD，则下列结论正确的
是（ ）
A．AC＞BC B．AC＝BC C．∠A＞∠ABC D．∠A＝∠ABC
9．（3分）如图所示，AB是 O的直径，点C为 O外一点，CA，CD是 O的切线，A，D为切
点，连接BD，AD．若∠⊙ACD＝30°，则∠D⊙BA的大小是（ ）⊙
A．15° B．30° C．60° D．75°
10．（3分）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一
个三角形中y与n之间的关系是（ ）
A．y＝2n+1 B．y＝2n+n C．y＝2n+1+n D．y＝2n+n+1
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分
11．（3分）将多项式m3﹣mn2因式分解的结果是 ．
12．（3分）学校射击队计划从甲、乙两人中选拔一人参加运动会射击比赛，在选拔过程中，每
人射击10次，计算他们的平均成绩及方差如下表：
选手 甲 乙
平均数（环） 9.5 9.5
方差 0.035 0.015
请你根据上表中的数据选一人参加比赛，最适合的人选是 ．
13．（3分）将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠ 得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一
α
第2页（共19页）直线上，如图所示，则∠ 的大小是 ．
α
14．（3分）已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是 （写一个
即可）．
15．（3分）不等式组 的解集是 ．
16．（3分）2015年7月，第四十五届“世界超级计算机500强排行榜”榜单发布，我国国防
科技大学研制的“天河二号”以每秒3386×1013次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，若将
3386×1013用科学记数法表示成a×10n的形式，则n的值是 ．
17．（3分）如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件
（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
18．（3分）如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均
为格点，则扇形OAB的面积大小是 ．
第3页（共19页）三、解答题：本大题共3小题，每小题8分，共24分
19．（8分）计算：（﹣2）2+2cos60°﹣（ ）0．
20．（8分）先化简，再求值：（m﹣n）2﹣m（m﹣2n），其中m＝ ，n＝ ．
21．（8分）如图所示，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF＝DE，求证：AE＝
CF．
四、解答题：本大题共3小题，每小题8分，共24分
22．（8分）如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所
形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角
∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果
精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， ）．
23．（8分）为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购
买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品
牌的足球共需360元．
（1）求A，B两种品牌的足球的单价．
（2）求该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用．
第4页（共19页）24．（8分）为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个
区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好
全部问卷后，得到下列不完整的统计图．
请结合图中信息，解决下列问题：
（1）求此次调查中接受调查的人数．
（2）求此次调查中结果为非常满意的人数．
（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市
民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均
来自甲区的概率．
五、综合题：本大题共2小题，其中25题8分，26题10分，共18分
25．（8分）尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且
AF⊥BE，垂足为P，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
求证：a2+b2＝5c2
该同学仔细分析后，得到如下解题思路：
先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故 ，设PF
＝m，PE＝n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计
算，消去m，n即可得证
（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．
（2）利用题中的结论，解答下列问题：
在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中
点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求
第5页（共19页）MG2+MH2的值．
26．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣4a（a＞0）与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点
P是抛物线上一点，且PB＝AB，∠PBA＝120°，如图所示．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设点M（m，n）为抛物线上的一个动点，且在曲线PA上移动．
当点M在曲线PB之间（含端点）移动时，是否存在点M使△APM的面积为 ？若
①
存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐
②标．
第6页（共19页）2016年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ．
故选：A．
【点评】本题考查了实数的性质，熟记相反数的定义是解题的关键．
2．【分析】分别根据轴对称图形的定义即可判断；
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有
特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关
键．
3．【分析】根据平行线的性质得到∠3＝∠1＝100°，根据平角的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠3＝∠1＝100°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠3的度数．
4．【分析】根据众数的定义和给出的数据可直接得出答案．
【解答】解：根据折线统计图可得：
90分的人数有5个，人数最多，则众数是90；
故选：B．
【点评】此题考查了众数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数是本
第7页（共19页）题的关键．
5．【分析】根据一次函数的系数确定函数图象经过的象限，由此即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+2中k＝﹣1＜0，b＝2＞0，
∴该函数图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出函数图象经过的象限．
本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数系数的正负确定函数图象经过
的象限是关键．
6．【分析】观察可得最简公分母是x（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为
整式方程求解．
【解答】解：两边都乘以x（x+1）得：3（x+1）＝4x，
去括号，得：3x+3＝4x，
移项、合并，得：x＝3，
经检验x＝3是原分式方程的解，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
7．【分析】代入数据求出根的判别式△＝b2﹣4ac的值，根据△的正负即可得出结论．
【解答】解：∵△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式△＝1．本题属于基础题，
难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键．
8．【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，由AD＝BD得到∠A＝∠ABD，所以∠ABC＞
∠A，则对各C、D选项进行判断；根据大边对大角可对A、B进行判断．
【解答】解：∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠ABC＞∠A，所以C选项和D选项错误；
∴AC＞BC，所以A选项正确；B选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角
第8页（共19页）相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
9．【分析】首先连接OD，由CA，CD是 O的切线，∠ACD＝30°，即可求得∠AOD的度数，又
由OB＝OD，即可求得答案． ⊙
【解答】解：连接OD，
∵CA，CD是 O的切线，
∴OA⊥AC，O⊙D⊥CD，
∴∠OAC＝∠ODC＝90°，
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC＝150°，
∵OB＝OD，
∴∠DBA＝∠ODB＝ ∠AOD＝75°．
故选：D．
【点评】此题考查了切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的
关键．
10．【分析】由题意可得下边三角形的数字规律为：n+2n，继而求得答案．
【解答】解：∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n，
右边三角形的数字规律为：2，22，…，2n，
下边三角形的数字规律为：1+2，2+22，…，n+2n，
∴y＝2n+n．
故选：B．
【点评】此题考查了数字规律性问题．注意根据题意找到规律y＝2n+n是关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分
11．【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（m2﹣n2）＝m（m+n）（m﹣n）．
故答案为：m（m+n）（m﹣n）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
第9页（共19页）12．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：因为S甲 2＝0.035＞S乙 2＝0.015，方差小的为乙，
所以本题中成绩比较稳定的是乙．
故答案为乙．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明
这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分
布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵等边△CBA绕点C顺时针旋转∠ 得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，
∴∠BCA'＝180°，∠B'CA'＝60°， α
∴∠ACB'＝60°，
∴∠ ＝60°+60°＝120°，
故答α案为：120°．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段
的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
14．【分析】利用反比例函数的性质得到k＜0，然后在此范围内取一个值即可．
【解答】解：∵双曲线的两支分别位于第二、第四象限，
∴k＜0，
∴k可取﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y＝ （k≠0）的图象是双曲线；当k＞
0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双
曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
15．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解： ，
由 得，x≤1，
由①得，x＞﹣2，
故②不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．
第10页（共19页）故答案为：﹣2＜x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．【分析】直接利用科学记数法的表示方法分析得出n的值．
【解答】解：3386×1013＝3.386×1016，
则n＝16．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示，正确理解n的意义是解题关键．
17．【分析】根据平行四边形的定义或判定定理即可解答．
【解答】解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．
故答案是：AD∥BC．
【点评】本题考查了平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，理解
定义是关键．
18．【分析】根据题意知，该扇形的圆心角是90°．根据勾股定理可以求得OA＝OB＝ ，由扇
形面积公式可得出结论．
【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴OA＝OB＝ ＝ ，
∴S扇形OAB ＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
三、解答题：本大题共3小题，每小题8分，共24分
19．【分析】原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结
果．
【解答】解：原式＝4+2× ﹣1
＝4+1﹣1
＝4．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简
第11页（共19页）结果，把m与n的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝m2﹣2mn+n2﹣m2+2mn＝n2，
当n＝ 时，原式＝2．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，根据平行线的性质可得∠EDA＝
∠FBC，再加上条件ED＝BF可利用SAS判定△AED≌△CFB，进而可得AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EDA＝∠FBC，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（SAS），
∴AE＝CF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行
四边形对边平行且相等．
四、解答题：本大题共3小题，每小题8分，共24分
22．【分析】根据sin75°＝ ＝ ，求出OC的长，根据tan30°＝ ，再求出BC的长，即可
求解．
【解答】解：在直角三角形ACO中，sin75°＝ ＝ ≈0.97，
解得OC≈38.8，
在直角三角形BCO中，tan30°＝ ＝ ≈ ，
解得BC≈67.3．
答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
23．【分析】（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需y元，根据“购买2个A
品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球
共需360元”列出方程组并解答；
（2）把（1）中的数据代入求值即可．
第12页（共19页）【解答】解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需y元，
依题意得： ，
解得 ．
答：一个A品牌的足球需40元，则一个B品牌的足球需100元；
（2）依题意得：20×40+2×100＝1000（元）．
答：该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用是1000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量
关系是解决问题的关键．
24．【分析】（1）由满意的有20人，占40%，即可求得此次调查中接受调查的人数．
（2）由（1），即可求得此次调查中结果为非常满意的人数．
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选择的市民均来自
甲区的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵满意的有20人，占40%，
∴此次调查中接受调查的人数：20÷40%＝50（人）；
（2）此次调查中结果为非常满意的人数为：50﹣4﹣8﹣20＝18（人）；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选择的市民均来自甲区的有2种情况，
∴选择的市民均来自甲区的概率为： ＝ ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识．用到的知识
点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
五、综合题：本大题共2小题，其中25题8分，26题10分，共18分
25．【分析】（1）设PF＝m，PE＝n，连结EF，如图1，根据三角形中位线性质得EF∥AB，EF＝
第13页（共19页）c，则可判断△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB＝2n，PA＝2m，接着根据勾股定理得到
n2+4m2＝ b2，m2+4n2＝ a2，则5（n2+m2）＝ （a2+b2），而n2+m2＝EF2＝ c2，所以a2+b2
＝5c2；
（2）利用（1）的结论得MB2+MC2＝5BC2＝5×32＝45，再利用△AEG∽△CEB可计算出AG
＝1，同理可得DH＝1，则GH＝1，然后利用GH∥BC，根据平行线分线段长比例定理得到
MB＝3GM，MC＝3MH，然后等量代换后可得MG2+MH2＝5．
【解答】解：（1）设PF＝m，PE＝n，连结EF，如图1，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF为△ABC的中位线，AE＝ b，BF＝ a，
∴EF∥AB，EF＝ c，
∴△EFP∽△BPA，
∴ ，即 ＝ ＝ ，
∴PB＝2n，PA＝2m，
在Rt△AEP中，∵PE2+PA2＝AE2，
∴n2+4m2＝ b2 ，
①
在Rt△BFP中，∵PF2+PB2＝BF2，
∴m2+4n2＝ a2 ，
②
+ 得5（n2+m2）＝ （a2+b2），
① ②
在Rt△EFP中，∵PE2+PF2＝EF2，
∴n2+m2＝EF2＝ c2，
∴5• c2＝ （a2+b2），
∴a2+b2＝5c2；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
第14页（共19页）∴BD⊥AC，
∵E，F分别为线段AO，DO的中点，
由（1）的结论得MB2+MC2＝5BC2＝5×32＝45，
∵AG∥BC，
∴△AEG∽△CEB，
∴ ＝ ＝ ，
∴AG＝1，
同理可得DH＝1，
∴GH＝1，
∴GH∥BC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴MB＝3GM，MC＝3MH，
∴9MG2+9MH2＝45，
∴MG2+MH2＝5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所
构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了三角形中
位线性质和菱形的性质．
26．【分析】（1）先求出A、B两点坐标，然后过点P作PC⊥x轴于点C，根据∠PBA＝120°，
PB＝AB，分别求出BC和PC的长度即可得出点P的坐标，最后将点P的坐标代入二次函
第15页（共19页）数解析式即；
（2） 过点M作ME⊥x轴于点E，交AP于点D，分别用含m的式子表示点D、M的坐标，
①
然后代入△APM的面积公式 DM•AC，根据题意列出方程求出m的值；
根据题意可知：n＜0，然后对m的值进行分类讨论，当﹣2≤m≤0时，|m|＝﹣m；当0＜
②m≤2时，|m|＝m，列出函数关系式即可求得|m|+|n|的最大值．
【解答】解：（1）如图1，令y＝0代入y＝ax2﹣4a，
∴0＝ax2﹣4a，
∵a＞0，
∴x2﹣4＝0，
∴x＝±2，
∴A（﹣2，0），B（2，0），
∴AB＝4，
过点P作PC⊥x轴于点C，
∴∠PBC＝180°﹣∠PBA＝60°，
∵PB＝AB＝4，
∴cos∠PBC＝ ，
∴BC＝2，
由勾股定理可求得：PC＝2 ，
∵OC＝OB+BC＝4，
∴P（4，2 ），
把P（4，2 ）代入y＝ax2﹣4a，
∴2 ＝16a﹣4a，
∴a＝ ，
∴抛物线解析式为；y＝ x2﹣ ；
（2）∵点M在抛物线上，
∴n＝ m2﹣ ，
第16页（共19页）∴M的坐标为（m， m2﹣ ），
当点M在曲线PB之间（含端点）移动时，
①∴2≤m≤4，
如图2，过点M作ME⊥x轴于点E，交AP于点D，
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣2，0）与P（4，2 ）代入y＝kx+b，
得： ，
解得
∴直线AP的解析式为：y＝ x+ ，
令x＝m代入y＝ x+ ，
∴y＝ m+ ，
∴D的坐标为（m， m+ ），
∴DM＝（ m+ ）﹣（ m2﹣ ）＝﹣ m2+ m+ ，
∴S△APM ＝ DM•AE+ DM•CE
＝ DM（AE+CE）
＝ DM•AC
＝﹣ m2+ m+4
当S△APM ＝ 时，
∴ ＝﹣ m2+ m+4 ，
∴解得m＝3或m＝﹣1，
第17页（共19页）∵2≤m≤4，
∴m＝3，
此时，M的坐标为（3， ）；
当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，
②∴﹣2≤m≤2，n＜0，
当﹣2≤m≤0时，
∴|m|+|n|＝﹣m﹣n＝﹣ m2﹣m+ ＝﹣ （m+ ）2+ ，
当m＝﹣ 时，
∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为 ，
此时，M的坐标为（﹣ ，﹣ ），
当0＜m≤2时，
∴|m|+|n|＝m﹣n＝﹣ m2+m+ ＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
当m＝ 时，
∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为 ，
此时，M的坐标为（ ，﹣ ），
综上所述，当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，M的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ，
﹣ ）时，|m|+|n|的最大值为 ．
第18页（共19页）【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，三角形面积
公式，二次函数最值等知识，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值
可以借助于二次函数的性质．
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