文档内容
2018年湖南省湘西州中考数学试卷
一、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）﹣2018的绝对值是 ．
2．（4分）分解因式：a2﹣9＝ ．
3．（4分）要使分式 有意义，则x的取值范围为 ．
4．（4分）“可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发使用潜力，1千克“可燃冰”完全燃烧
放出的热量约为420000000焦耳，数据420000000用科学记数法表示为 ．
5．（4分）农历五月初五为端午节，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．小明妈妈买了3个
红豆粽、2个碱水粽、5个腊肉粽，粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小明随意吃了一
个，则吃到腊肉棕的概率为 ．
6．（4分）按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是 ．（用科学计算器计
算或笔算）
7．（4分）如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1＝30°，则∠D＝ ．
8．（4分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2
＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是 ．
二、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分，每个小题所给四个选项只有一个正确选
项）
9．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．2a﹣a＝2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a+3b＝5ab
10．（4分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
第1页（共17页）A． B． C． D．
11．（4分）在某次体育测试中，九年级（1）班5位同学的立定跳远成绩（单位：m）分别为：
1.81，1.98，2.10，2.30，2.10．这组数据的众数为（ ）
A．2.30 B．2.10 C．1.98 D．1.81
12．（4分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（4分）一次函数y＝x+2的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）
14．（4分）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
15．（4分）已知 O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与 O的位置关
系为（ ）⊙ ⊙
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
16．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
17．（4分）下列说法中，正确个数有（ ）
对顶角相等；
①两直线平行，同旁内角相等；
②对角线互相垂直的四边形为菱形；
③对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．（4分）如图，直线AB与 O相切于点A，AC、CD是 O的两条弦，且CD∥AB，若 O的
半径为5，CD＝8，则弦⊙AC的长为（ ） ⊙ ⊙
第2页（共17页）A．10 B．8 C．4 D．4
三、解答题（本大题8小题，共78分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤）
19．（6分）计算： +（ ﹣2018）0﹣2tan45°
π
20．（6分）解方程组：
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
22．（8分）中华文化源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国
古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典
名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中抽取n名学生
进行调查．根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下
列问题：
（1）求n的值；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2000名学生，请估计该校四大古典名著均已读完的人数．
23．（8分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了
风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方
第3页（共17页）向上，且AB＝10km．
（1）求景点B与C的距离；
（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公
路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
24．（8分）反比例函数y＝ （k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）．
（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
25．（12分）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑
每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑
的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y
元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型
电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑
销售总利润最大的进货方案．
26．（22分）如图1，经过原点O的抛物线y＝ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点
A（3，0）．直线l：y＝x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交
于点C．
第4页（共17页）（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相
似，求满足条件的点P的坐标；
（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物
线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E′恰好落在抛
物线上时（图2），求直线l′的解析式；
（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转
90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件
的点F的坐标．
第5页（共17页）2018年湖南省湘西州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）
1．【分析】根据绝对值的定义即可求得．
【解答】解：﹣2018的绝对值是2018．
故答案为：2018
【点评】本题主要考查的是绝对值的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．
故答案为：（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
3．【分析】根据根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2
故答案为：x≠﹣2
【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属
于基础题型．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：420000000＝4.2×108．
故答案为：4.2×108
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．【分析】根据题意和题目中的数据可以求得小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的概率．
【解答】解：由题意可得，
小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的概率为： ，
故答案为： ．
第6页（共17页）【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．
6．【分析】将x＝2代入程序框图中计算即可得到结果．
【解答】解：将x＝2代入得：3×（2）2﹣10＝12﹣10＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．【分析】先根据垂直的定义，得出∠BAD＝60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数．
【解答】解：∵DA⊥CE，
∴∠DAE＝90°，
∵∠EAB＝30°，
∴∠BAD＝60°，
又∵AB∥CD，
∴∠D＝∠BAD＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角
相等．
8．【分析】根据新定义可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论．
【解答】解：∵3※x＝3x﹣3+x﹣2＜2，
∴x＜ ，
∵x为正整数，
∴x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出x＜ 是
解题的关键．
二、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分，每个小题所给四个选项只有一个正确选
项）
9．【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的性质，对各选项分析判
断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，正确；
B、2a﹣a＝a，错误；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，错误；
第7页（共17页）D、2a+3b＝2a+3b，错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的运算能力，对于相关的整式运算法则要求学生很熟练，才
能正确求出结果．
10．【分析】根据圆锥体的三视图即可得．
【解答】解：圆锥体的主视图是等腰三角形，
故选：C．
【点评】本题主要考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
11．【分析】根据众数的概念解答．
【解答】解：在数据1.81，1.98，2.10，2.30，2.10中，2.10出现2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2.10，
故选：B．
【点评】本题考查的是众数的确定，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解题
的关键．
12．【分析】先定界点，再定方向即可得．
【解答】解：不等式组 的解集在数轴上表示如下：
故选：C．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意
“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是
实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
13．【分析】代入x＝0求出y值，进而即可得出发一次函数y＝x+2的图象与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝x+2＝0+2＝2，
∴一次函数y＝x+2的图象与y轴的交点坐标为（0，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入x＝0求出y值是解题的关键．
14．【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：D选项的图形是轴对称图形，A，B，C选项的图形不是轴对称图形．
故选：D．
第8页（共17页）【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后可重合．
15．【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．
【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm＝5cm，
∴直线和圆相切．
故选：B．
【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关
系．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
16．【分析】设方程的另一个解为x ，根据两根之和等于﹣ ，即可得出关于x 的一元一次方
1 1
程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个解为x ，
1
根据题意得：﹣1+x ＝2，
1
解得：x ＝3．
1
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣ 、两
根之积等于 是解题的关键．
17．【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．
【解答】解： 对顶角相等，故 正确；
两直线平行①，同旁内角互补，①故 错误；
②对角线互相垂直且平分的四边形②为菱形，故 错误；
③对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方③形，故 正确，
④故选：B． ④
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行线的性质、对顶角的性质，熟记对顶
角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质是解题关键．
18．【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE＝4，
Rt△COE中求得OE＝3及AE＝8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．
【解答】解：∵直线AB与 O相切于点A，
∴OA⊥AB， ⊙
又∵CD∥AB，
第9页（共17页）∴AO⊥CD，记垂足为E，
∵CD＝8，
∴CE＝DE＝ CD＝4，
连接OC，则OC＝OA＝5，
在Rt△OCE中，OE＝ ＝ ＝3，
∴AE＝AO+OE＝8，
则AC＝ ＝ ＝4 ，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过
切点的半径及垂径定理．
三、解答题（本大题8小题，共78分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤）
19．【分析】原式利用算术平方根定义，零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求
出值．
【解答】解：原式＝2+1﹣2＝1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】 + 求出x，把x＝2代入 求出y即可．
【解答】解①： ②+ 得：4x＝8， ①
解得：x＝2，① ②
把x＝2代入 得：2+y＝3，
解得：y＝1，①
所以原方程组的解为 ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此
题的关键．
21．【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；
第10页（共17页）（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周
长公式解答．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°．
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE．
在△ADE与△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE＝EC．
在直角△ADE中，AD＝4，AE＝ AB＝3，
由勾股定理知，DE＝ ＝ ＝5，
∴△CDE的周长＝2DE+CD＝2DE+AB＝2×5+6＝16．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结
合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰
当的判定条件．
22．【分析】（1）由读完3部的人数乘以占的百分比求出n的值即可；
（2）求出读完2部的人数，补全条形统计图即可；
（3）求出读完4部的百分比，乘以2000即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：30÷30%＝100（人），
则n的值为100；
（2）四大古典名著你读完了2部的人数为100﹣（5+15+30+25）＝25（人），
补全条形统计图，如图所示：
第11页（共17页）（3）根据题意得：25%×2000＝500（人），
则该校四大古典名著均已读完的人数为500人．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解
本题的关键．
23．【分析】（1）先根据方向角的定义得出∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，由三角形内角和定理
求出∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，则∠CAB＝∠C＝30°，根据等角对等边求出BC
＝AB＝10km．；
（2）首先过点C作CE⊥AB于点E，然后在Rt△CBE中，求得答案．
【解答】解：（1）如图，由题意得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，
∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝∠C＝30°，
∴BC＝AB＝10km，
即景点B、C相距的路程为10km．
（2）过点C作CE⊥AB于点E，
∵BC＝10km，C位于B的北偏东30°的方向上，
∴∠CBE＝60°，
在Rt△CBE中，CE＝ km．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，比较简单．涉及到三角形内角和定
理，等腰三角形的判定等知识．根据条件得出∠CAB＝∠C是解题的关键．
24．【分析】（1）先把A点坐标代入y＝ 求出k得到反比例函数解析式；然后把B（3，m）代入
反比例函数解析式求出m得到B点坐标；
（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），利用两点之
第12页（共17页）间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然
后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）把A（1，3）代入y＝ 得k＝1×3＝3，
∴反比例函数解析式为y＝ ；
把B（3，m）代入y＝ 得3m＝3，解得m＝1，
∴B点坐标为（3，1）；
（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），
∵PA+PB＝PA′+PB＝BA′，
∴此时PA+PB的值最小，
设直线BA′的解析式为y＝mx+n，
把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得 ，解得 ，
∴直线BA′的解析式为y＝2x﹣5，
当y＝0时，2x﹣5＝0，解得x＝ ，
∴P点坐标为（ ，0）．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例
函数解析式y＝ （k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，
得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了最短路径
问题．
第13页（共17页）25．【分析】（1）根据“总利润＝A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑
数量”可得函数解析式；
（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，
再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）据题意得y＝（400+a）x+500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，
当0＜a＜100时，y随x的增大而减小， a＝100时，y＝50000， 当100＜m＜200时①，a
﹣100＞0，y随x的增大而增大，分别进②行求解． ③
【解答】解：（1）根据题意，y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000；
（2）∵100﹣x≤2x，
∴x≥ ，
∵y＝﹣100x+50000中k＝﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为整数，
∴x＝34时，y取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；
（3）据题意得，y＝（400+a）x+500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，
33 ≤x≤60
当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，
①∴当x＝34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
a＝100时，a﹣100＝0，y＝50000，
②即商店购进A型电脑数量满足33 ≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，
③∴当x＝60时，y取得最大值．
即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【点评】题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次
函数x值的增大而确定y值的增减情况．
第14页（共17页）26．【分析】（1）应用待定系数法；
（2）利用相似三角形性质分类讨论求解；
（3）由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°，△EMN为等腰直角三角形，当沿直线l′折叠
时，四边形ENE′M为正方形，表示点N、E′坐标代入抛物线解析式，可解；
（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类
讨论可求解．
【解答】解：（1）由已知点B坐标为（5，5）
把点B（5，5），A（3，0）代入y＝ax2+bx，得
解得
∴抛物线的解析式为：y＝
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝ ，则点C坐标为（ ， ）
∴OC＝ ，OB＝5
当△OBA∽△OCP时，
∴
∴OP＝
当△OBA∽△OPC时，
∴
第15页（共17页）∴OP＝5
∴点P坐标为（5，0）或（ ，0）
（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y＝x+c
∵直线l′y＝x+c与x轴夹角为45°
∴△MEN为等腰直角三角形．
当把△MEN沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形
∴点E′坐标为（a﹣b，b）
∵EE′平行于x轴
∴N、E′关于抛物线对称轴对称
∵
∴b＝2a﹣3
则点N坐标可化为（a，2a﹣3）
把点N坐标代入y＝
得：
2a﹣3＝
解得
a ＝1，a ＝6
1 2
∵a＝6时，b＝2a﹣3＝9（不合题意舍弃）
则点N坐标为（1，﹣1）
把N坐标代入y＝x+c
则c＝﹣2
∴直线l′的解析式为：y＝x﹣2
（4）由（3）K点坐标为（0，﹣2）
则△MOK为等腰直角三角形
∴△M′OK′为等腰直角三角形，M′K′⊥直线l′
∴当M′K′＝M′F时，△M'FK′为等腰直角三角形
∴F坐标为（2，0）或（﹣2，﹣4）
【点评】本题属于代数几何综合题，考查了二次函数待定系数法及其轴对称性、三角形相
第16页（共17页）似以及等腰三角形的判定．解答过程中注意应用直线y＝x与x轴正向夹角为45°这个条
件．
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日期：2020/9/16 11:11:06；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第17页（共17页）
