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2011 年沈阳招生中考数学试题
试题满分150分 考试时间120分钟
参考公式：抛物线 的顶点是 ，对称轴是直线 ．
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题4分，共24分）
1．下列各选项中，既不是正数也不是负数的是
A．－1 B．0 C． D．π
2．左下图是五个相同的小正方体搭成的几何体，这几个几何体的主视图是
第2题图
A． B． C． D．
3．下列运算中，一定正确的是
A．m5－m2=m3 B．m10÷m2=m5 C． m•m2=m3D．（2m）5=2m5
4．下列各点中，在反比例函数 图象上的是
A．（－1，8） B．（－2，4） C．（1，7） D．（2，4）
5．下列图形是中心对称图形的是
A D
O
A． B． C． D． B C
第5题图 第7题图
6．下列说法中，正确的是
[来源:学*科*网]
A．为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式
B．在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定
C．某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是30%
D．“2012年将在我市举办全运会，这期间的每一天都是晴天”是必然事件．
7．如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
8．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米 ，但交通比较拥
堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走
路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共32分）9．计算 =___________．
10．不等式2－x≤1的解集为____________．
11．在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是
____________．
12．小窦将本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示的统计图，若步行上学的学生有27
人，则骑车上学的学生有__________人．
A D
骑车 A E D
F
20%
步行
其他
20%
20% B F C
B E C
第14题图
第16题图
第12题图
13．如果一次函数y=4x＋b的图象经过第一、三、四象限，那么b的取值范围是_________．
14．如图，在□ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF=45°，则∠EDF
的度数是__________度．
15．宁宁同学设计了一个计算程序，如下表
输入数据 1 2 3 4 5 ……
输出数据 a ……
根据表格中的数据的对应关系，可得a的值是________
16．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE=EF=FA．下列结：
①△ABE≌△ADF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④BE＋DF=EF；⑤S ＋S =S ，其
△ABE △ADF △CEF
中正确的是____________________________（只填写序号）．
一、 解答题（第17、18小题各8分，第19小题10分，共28分）
17．先化简，再求值（x＋1）2－（x＋2）(x－2)，其中 ，且x为整数．
18．沈阳地铁一号线的开通运行给沈阳市民的出行方式带来了一些变化．小王和小林准备利
用课余时间，以问卷的方式对沈阳市民的出行方式进行调查．如图是沈阳地铁一号线图
（部分），小王和小林分别从太原街站（用A表示）、南市场站（用B表示）、青年大街站（用
C表示）这三站中，随机选取一站作为调查的站点．
⑴在这三站中，小王选取问卷调查的站点是太原街站的概率是多少？（请直接写出结
果）
⑵请你用列表法或画树状图（树形图）法，求小王选取问卷调查的站点与小林选取问
卷调查的站点相邻的概率．（各站点用相应的英文字母表示）北
沈阳地铁一号线路线图
C
南
中
怀
太 南 青 街
远
原 市 年 站
门
街 场 大
站
站 站 街
站
第18题图
19．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
⑴求∠DAC的度数；
⑵求证：DC=AB
A
B C
D
第19题图
四、（每小题10分，共20分）
20．某班数学兴趣小组收集了本市4月份30天的日最高气温的数据，经过统计分析获得了两
条信息和一个统计表
信息1 4月份日最高气温的中位数是15.5℃；
信息2 日最高气温是17℃的天数比日最高气温是18℃的天数多4天．
4月份日最高气温统计表
气温℃ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
天数/天 2 3 ※ 5 4 ※ ※ 2 2 3
请根据上述信息回答下列问题：
⑴4月份最高气温是13℃的有________天，16℃的有_______天，17℃的有__________
天.
⑵4月份最高气温的众数是________℃，极差是_________℃。
21．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D．⑴求证：AC=CD
⑵若AC=2，AO= ，求OD的长度．
B
O
D
A C
第21题图A
五、（本题10分）
22．小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊
车吊臂的支点O距离地面的高OO′=2米．当吊臂顶端由A点抬升至A′点（吊臂长度不
变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B′处，紧绷着的吊缆A′B′=AB．AB垂
直地面O′B于点B，A′B′垂直地面O′B于点C，吊臂长度OA′=OA=10米，且cosA=
A′
，sinA′= ．
A
⑴求此重物在水平方向移动的距离BC；
⑵求此重物在竖直方向移动的距离B′C．
B′
（结果保留根号）
O
O′ C B
第22题图
六、（本题12分）
23．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今
年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比
去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预
计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤11）．
⑴用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为________元，今年生产的
这种玩具每件的出厂价为_________元．
⑵求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．
⑶设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？
最大年销售利润是多少万元？
注：年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量．七、（本题12分）
24．已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边
作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．
⑴如图1，当点D在边BC上时，
求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；
⑵如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC
是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
⑶如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件
不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．
F
A A A
F E
B D C B C D D B C
E
图1 图2 图31
第24题图
八、（本题41分）
25．如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C
（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
⑴求抛物线的函数表达式；
⑵求直线BC的函数表达式；
⑶点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P
在第三象限．
①当线段PQ= AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
温馨提示：考生可以根据第⑶问的题意，在图中补出图形，以便作答．
y y
1 1
A O 1 B x A O 1 B x
D D
C C
x=1 x=1
第25题图 第25题图备用图2011 年沈阳中考数学试题参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分） ∴∠B=∠C=30°
1．B 2．C3．C4．D5．D6．A 7．B 8．A ∵∠C＋∠BAC＋∠B=180°
二、填空题（每小题4分，共32分） ∴∠BAC=180°－30°－30°=120°
9．4 10．x≥1 11．－4或6 12 ． 9 ∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC－∠DAB=120°－45°=75°
13．b＜0 14．45 15． 16 ．
⑵证明：∵∠DAB=45°
①②③⑤ ∴∠ADC=∠B＋∠DAB=75°
三、解答题（第17、18小题各8分，第19小 ∴∠DAC=∠ADC
题10分，共26分） ∴DC=AC
17．解：原式=x2＋2x＋1－(x2－4)=2x＋5 ∴DC=AB
∵ ＜x＜ ，用x是整数，∴x=3 四、（每小题10分，共20分）
20．解：⑴1，2，6；
原式=2×3＋5=11． ⑵17，9
21．⑴证明：∵AC是⊙切线，
18．解：⑴ ．
∴OA⊥AC，
⑵列表得 ∴∠OAC=90°，
小林 A B C ∴∠OAB＋∠CAB=90°．
小王
∵OC⊥OB，
A （A，A） （A，B） （A，C）
∴∠COB=90°，
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
∴∠ODB＋∠B=90°．
或画树形图得
∵OA=OB
小王 小林 ∴∠OAB=∠B，
A（A，A） ∴ ∠CAB=∠ODB．
∵∠ODB=∠ADC，
A B（A，B）
∴∠CAB=∠ADC
C（A，C） ∴AC=CD．
A（B，A）
⑵解：在Rt△OAC中，OC= =3
B（B，B）
开始 B
∴OD=OC－CD=OC－AC=3－2=1
C（B，C）
五、（本题10分）
A（C，A）
22．解：⑴过点O作OD⊥AB于点D，交
C B（C，B）
A′C于点E
C（C，C） 根据题意可知EC=DB=OO′=2，ED=BC
由表格（或树形图）可知，共有9种可能出现
的结果，每种结果出现的可能性相同，其中
小王与小林在相邻的两站问卷调查的结果
有4种（A，B）（B，A）（B，C）（C，B），因此小
王选取问卷调查的站点与小林选取问卷调
查的站点相邻的概率为 ．
19．⑴解：∵AB=ACA′ ∴w有最大值，
A
∴当x=0.5时，w =4.5（万元）．
最大
答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，
最大年销售利润是4.5万元．
七、（本题12分）
B′
O 24．⑴①证明：∵△ABC为等边三角形，
D [来源:学。科。网]
E ∴AB=AC，∠BAC=60°
O′ C B
∵∠DAF=60°
第22题图 ∴∠BAC=∠DAF
∴∠BAD=∠CAF
∴∠A′ED=∠ADO=90°． ∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF
A
在Rt△AOD中，∵cosA= ，
F
OA=10，
B D C
∴AD=6，
[来源:学§科§网]
∴OD= =8．
∴△ABD≌△ACF
在Rt△A′OE中， ∴∠ADB=∠AFC
②结论：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立．
∵sinA′= ， [来源:学科网ZXXK]
⑵结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立．
OA′=10 ∠AFC、，∠ACB、∠DAC之间的等量关系是
∴ OE=5． ∠AFC=∠ACB－∠DAC（或这个等式的正
∴BC=ED=OD－OE=8－5=3． 确变式）
⑵在Rt△A′OE中， 证明：∵△ABC为等边三角形
F
A′E= = ．
A
∴B′C=A′C－A′B′ E
=A′E＋CE－AB
[来源:Zxxk.Com][来源:学科网] B C D
=A′E＋CE－（AD＋BD）
= ＋2－（6＋2） ∴AB=AC
∠BAC=60°
= －6． ∵∠BAC=∠DAF
∴∠BAD=∠CAF
答：此重物在水平方向移动的距离BC是3 ∵四边形ADEF是菱形
米，此重物在竖直方向移动的距离B′C是 ∴AD=AF．
（ －6）米． ∴△ABD≌△ACF
∴∠ADC=∠AFC
六、（本题12分） 又∵∠ACB=∠ADC＋∠DAC，
23．解⑴①10＋7x ②2＋6x ∴∠AFC=∠ACB－∠DAC
⑵y=(12＋6x)－（10＋7x） ⑶补全图形如下图
y=2－x
⑶∵w=2（1＋x）（2－x）=－2x2＋2x＋4
∴w=－2(x－0.5)2＋4.5
∵－2＜0，0＜x≤11，A
的横坐标为 ，
D B C ∴P（ ， ）
F
y
E
1
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是
∠AFC=2∠ACB－∠DAC A O E 1 B x
（或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°以及这 P F Q
两个等式的正确变式）． G D
C
八、（本题14分）
25．⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1，
x=1
∴
∴F（0， ），
∴b=－2．
∵抛物线与y轴交于点C（0，－3），
[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∴FC=3－OF=3－ = ．
∴c=－3，
∴抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3． ∵PO垂直平分CE于点F，
⑵∵抛物线与x轴交于A、B两点，
[来源:Z*xx*k.Com] ∴CE=2FC=
当y=0时，x2－2x－3=0．
∴x=－1,x=3. ∵点D在直线BC上，
1 2
∵A点在B点左侧， ∴当x=1时，y=－2，则D（1，－2）．
∴A（－1，0），B（3，0） 过点D作DG⊥CE于点G，
设过点B（3，0）、C（0，－3）的直线的函数表 ∴DG=1，CG=1，
达式为y=kx＋m，
∴GE=CE－CG= －1= ．
则 ，∴
在Rt△EGD中，tan∠CED= ．
∴直线BC的函数表达式为y=x－3．
⑶①∵AB=4，PO= AB， ②P（1－ ，－2），P（1－ ， ）．
1 2
∴PO=3
∵PO⊥y轴
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
∴PO∥x轴，则由抛物线的对称性可得点P
