文档内容
二○一一年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试
数 学 试 卷
（全卷共4页，三大题，22小题；满分150分；考试时间120分钟）
友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡上，答在本试卷上无效.
毕业学校 姓名 考生号
一、选择题(共10小题,每题4分,满分40分；每小题只有一个正确的选项,请在答题卡的相
应位置填涂)
1. 的相反数是
A. B. C. D.
2.福州地铁将于2014年12月试通车,规划总长约 米,用科学记数法表示这个总长
为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3.在下列几何体中,主视图、左视图与俯视图都是相同的圆,该几何体是
y
O x
A B C D
4.图1是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是
图1
A. B. C. D.
5.下列四个角中,最有可能与 角互补的角是
A B C D
6.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
1
2 0 2 2 0 2
A B
0 2 2 0 2
C D
7.一元二次方程 根的情况是
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
1C.只有一个实数根 D.没有实数根
8.从1,2,-3三个数中,随机抽取两个数相乘,积是正数的概率是
A.0
B. C. D.1
9.如图2,以 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 切小圆于点 ,
若 ,则大圆半径 与小圆半径 之间满足 A C B
A. B. C. D. O
10.如图3,在长方形网格中,每个小长方形的长为 ,宽为 , 、 两点在网格格
图2
点上,若点 也在网格格点上,以 、 、 为顶点的三角形面积为 ,则满足
条件的点 个数是
A.2 B.3 C.4 D.5
B
A
图3
二、填空题(共5小题,每题4分,满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置)
11.分解因式: .
A D
12.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为 : .如果宇宙中
飞来一块陨石落在地球上,则落在陆地上的概率是 .
B C
图4
13.如图4,直角梯形 中, ∥ , ,则 度.
14.化简 的结果是 .
15.以数轴上的原点 为圆心, 为半径的扇形中,圆心角 ,另一个扇形是以点
为圆心, 为半径,圆心角 ,点 在数轴上表示实数 ,如图5.如果两个扇形的
C
圆弧部分( 和 )相交,那么实数 的取值范围是 . B
60
P O D A
图5
2三、解答题(满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置.作图或添辅助线用
铅笔画完,再用黑色签字笔描黑)
16.(每小题7分,共14分)
A
(1)计算:
D
B C
(2)化简:
17.(每小题8分,共16分) 图6 E
(1)如图6, 于点 , 于点 , 交 于点 ,且 .
求证 .
(2)植树节期间,两所学校共植树834棵,其中海石中学植树的数量比励东中学的2倍少3
棵,两校各植树多少棵？
18.(满分10分)
在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后,唐老师计划安排60课时用于总复习,根
据
数学内容所占课时比例,绘制如下统计图表(图7-1～图7-3),请根据图表提供的信息,回
答下列问题:
(1)图7-1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度；
(2)图7-2、7-3中的 , ；
(3)在60课时的总复习中,唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容？
A 一次方程
B 一次方程组
C 不等式与不等式组
实践与综合应用 课时数
D 二次方程
于
数与代数(内容) 课时数 E 分式方程
18
统计与概率 18
5% 数与式 67
数与代数 15 b
13
12
45% 方程(组) a 12
空间与图形 与不等式(组) 9
40% 6
函数 44
3
3
0
A B C D E
方程(组)
19.(满分 图 12 7- 分 1 ) 图7-2 图7-3 与 不 等 式
(组)
如图8,在平面直角坐标系中, 、 均在边长为1的正方形网格格点上.
(1)求线段 所在直线的函数解析式,并写出当 时,自变量 的取值范围；
y
(2)将线段 绕点 逆时针旋转 ,得到线段 ,请在答题卡
指定位置画出线段 .若直线 的函数解析式为 , B
3
O A x
图8则 随 的增大而 (填“增大”或“减小”).
20.(满分12分)
A
如图9,在 中, , 是 边上一点,以 为圆心的半圆分
别与 、 边相切于 、 两点,连接 .已知 , . E
D
求:(1) ；
(2)图中两部分阴影面积的和.
B C
O
21.(满分12分)
图9
已知,矩形 中, , , 的垂直平分线 分别交 、 于点
、 ,垂足为 .
(1)如图10-1,连接 、 .求证四边形 为菱形,并求 的长；
(2)如图10-2,动点 、 分别从 、 两点同时出发,沿 和 各边匀速运动一
周.即点 自 → → → 停止,点 自 → → → 停止.在运动过程中,
①已知点 的速度为每秒5 ,点 的速度为每秒4 ,运动时间为 秒,当 、 、
、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求 的值.
②若点 、 的运动路程分别为 、 (单位: , ),已知 、 、 、 四点为
顶点的四边形是平行四边形,求 与 满足的数量关系式.
A E D A E D A E D
P P
Q Q
O
B F C B F C B F C
图10-1 图10-2 备用图
22.(满分14分)
已知,如图11,二次函数 图象的顶点为 ,与 轴交于 、 两
点( 在 点右侧),点 、 关于直线 : 对称.
(1)求 、 两点坐标,并证明点 在直线 上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点 作直线 ∥ 交直线 于 点, 、 分别为直线 和直线 上的两个
动点,连接 、 、 ,求 和的最小值.
y y
l l
H H
K K
A O B x A O B x
图11 备用图
42011 年福建省福州市中考数学试卷—解析版
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相
应位置填涂）
1、（2011•福州）6的相反数是（ ）
A、﹣6 B、错误: 引用源未找到
C、±6 D、错误: 引用源未找到
考点：相反数。
专题：计算题。
分析：只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是﹣a．
解答：解：6的相反数就是在6的前面添上“﹣”号，即﹣6．
故选A．
点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正
数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2、（2011•福州）福州地铁将于2014年12月试通车，规划总长约180000米，用科学记数法表
示这个总长为（ ）
A、0.18×106米 B、1.8×106米
C、1.8×105米 D、18×104米
考点：科学记数法—表示较大的数。
专题：计算题。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解答：解：∵180000=1.8×105；
故选C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3、（2011•福州）在下列几何体中，主视图、左视图与俯视图都是相同的圆，该几何体是（ ）
5A、 B、
C、 D、
考点：简单几何体的三视图。
专题：应用题。
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：A、球的主视图、左视图、俯视图都是圆形；故本选项正确；
B、圆柱的主视图是长方形、左视图是长方形、俯视图是圆形；故本选项错误；
C、六棱柱的主视图是长方形、左视图是长方形、俯视图是正六边形；故本选项错误；
D、圆锥的主视图是三角形、左视图三角形、俯视图是圆形；故本选项错误；
故选A．
点评：本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义，是熟练解答这类题目的关键，培
养了学生的空间想象能了．
4、（2011•福州）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（ ）
A、y=x2 B、错误: 引用源未找到
C、错误: 引用源未找到 D、错误: 引用源未找到
考点：反比例函数的图象；正比例函数的图象；二次函数的图象。
专题：推理填空题。
分析：根据图象知是双曲线，知是反比例函数，根据在一三象限，知k＞0，即可选出答案．
解答：解：根据图象可知：函数是反比例函数，且k＞0，
答案B的k=4＞0，符合条件，
故选B．
点评：本题主要考查对反比例函数的图象，二次函数的图象，正比例函数的图象等知识点的
理解和掌握，能熟练地掌握反比例的函数的图象是解此题的关键．
5、（2011•福州）下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：余角和补角。
6专题：应用题。
分析：根据互补的性质，与70°角互补的角等于180°﹣70°=110°，是个钝角；看下4个答案，哪
个符合即可；
解答：解：根据互补的性质得，
70°角的补角为：180°﹣70°=110°，是个钝角；
∵答案A、B、C都是锐角，答案D是钝角；
∴答案D正确．
故选D．
点评：本题考查了角互补的性质，明确互补的两角和是180°，并能熟练求已知一个角的补角．
6、（2011•福州）不等式组错误: 引用源未找到的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
专题：数形结合。
分析：分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集．
解答：解：解x+1≥﹣1得，x≥﹣2；
解错误: 引用源未找到x＜1得x＜2；
∴﹣2≤x＜2．
故选D．
点评：本题考查了利用数轴表示不等式解集得方法．也考查了解不等式组的方法．
7、（2011•福州）一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根 D、没有实数根
考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题。
分析：先把原方程变形为：x2﹣2x=0，然后计算△，得到△=4＞0，根据△的含义即可判断方程
根的情况．
解答：解：原方程变形为：x2﹣2x=0，
∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选A．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，原方程
有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根．
8、（2011•福州）从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ ）
A、0 B、错误: 引用源未找到
C、错误: 引用源未找到 D、1
考点：列表法与树状图法。
专题：数形结合。
分析：列举出所有情况，看积是正数的情况数占总情况数的多少即可．
7解答：解： 共有6种情况，积是正数的有2种情况，故概率为错误:
引用源未找到，
故选B．
点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到积是正数
的情况数是解决本题的关键．
9、（2011•福州）如图，以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB切小圆于点C，若
∠AOB=120°，则大圆半径R与小圆半径r之间满足（ ）
A、错误: 引用源未找到 B、R=3r
C、R=2r D、错误: 引用源未找到
考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；垂径定理。
分析：首先连接OC，根据切线的性质得到 OC⊥OB，再根据等腰三角形的性质可得到
∠COB=60°，从而进一步求出∠B=30°，再利用直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，
可得到R与r的关系．
解答：解：连接OC，∵C为切点，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴∠COB=错误: 引用源未找到∠AOB=60°，
∴∠B=30°，
∴OC=错误: 引用源未找到OB，
∴R=2r．
故选C．
点评：此题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，
常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
10、（2011•福州）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格
点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数
是（ ）
A、2 B、3
C、4 D、5
8考点：三角形的面积。
专题：网格型。
分析：根据三角形ABC的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，
可通过在正方形网格中画图得出结果．
解答：解：C点所有的情况如图所示：
故选C．
点评：本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度
适中．
二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）
11、（2008•衢州）分解因式：x2﹣25= （ x+ 5 ）（ x﹣ 5 ） ．
考点：因式分解-运用公式法。
分析：直接利用平方差公式分解即可．
解答：解：x2﹣25=（x+5）（x﹣5）．
点评：本题主要考查利用平方差公式因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
常出的错误有：x2﹣25=（x﹣5）2，x2﹣25=x（x﹣5）（x+5），x2﹣25=（x﹣5）2=（x+5）（x﹣5），要
克服．
12、（2011•福州）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3：7．如果宇宙中飞来一块陨石
落在地球上，则落在陆地上的概率是错误: 引用源未找到．
考点：几何概率。
专题：计算题。
分析：根据几何概率的求法：看陆地的面积占总面积的多少即为所求的概率．
解答：解：根据题意可得：地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3：7，
即相当于将地球总面积分为10份，陆地占3份，
所以落在陆地上的概率是错误: 引用源未找到．
故答案为错误: 引用源未找到．
点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区
域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）
发生的概率．
13、（2011•福州）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，则∠A+∠B+∠C= 27 0 度．
考点：直角梯形；平行线的性质。
专题：计算题；几何图形问题。
分析：根据平行线的性质得到∠A+∠B=180°，由已知∠C=90°，相加即可求出答案．
解答：解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B+∠C=180°+90°=270°，
9故答案为：270．
点评：本题主要考查对直角梯形，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出∠A+∠B的
度数是解此题的关键．
14、（2011•福州）化简错误: 引用源未找到的结果是 m ．
考点：分式的混合运算。
专题：计算题。
分析：本题需先把（m+1）与括号里的每一项分别进行相乘，再把所得结果相加即可求出答案．
解答：解：错误: 引用源未找到
=（m+1）﹣1
=m
故答案为：m
点评：本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要把（m+1）分别进行相乘是解题的关键．
15、（2011•福州）以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°，另一个
扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD=60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两
个扇形的圆弧部分（错误: 引用源未找到和错误: 引用源未找到）相交，那么实数a的取值范
围是 ﹣ 4≤a≤﹣ 2 ．
考点：圆与圆的位置关系；实数与数轴。
专题：计算题。
分析：两扇形的圆弧相交，界于D、A两点重合与C、B两点重合之间，分别求出此时PD的长，
PC的长，确定a的取值范围．
解答：解：当A、D两点重合时，PO=PD﹣OA=5﹣3=2，此时P点坐标为a=﹣2，
当B、C两点重合时，PO=错误: 引用源未找到=错误: 引用源未找到=4，此时P点坐标为a=﹣
4，
则实数a的取值范围是﹣4≤a＜﹣2．
故答案为：﹣4≤a≤﹣2．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系，实数与数轴的关系．关键是找出两弧相交时的两个重
合端点．
三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置.作图或添辅助线用铅
笔画完，再用黑色签字笔描黑）
16、（2011•福州）（1）计算：错误: 引用源未找到；
（2）化简：（a+3）2+a（2﹣a）．
考点：整式的混合运算；实数的运算；零指数幂。
专题：计算题。
分析：（1）不为0的实数的绝对值大于0，不为0的0次幂为1，
（2）完全平方与代数式分解，后合并同类项即得．
解答：（1）解：原式=4+1﹣4=1
（2）解：原式=a2+6a+9+2a﹣a2=8a+9
点评：本题考查了整式的混合运算，（1）负数的绝对值取其正数，不为0的数的0次幂为1，．
（2）完全平方分解，合并同类项，即得．
1017、（2011•福州）（1）如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC=DC．求
证：AB=ED．
（2）植树节期间，两所学校共植树834棵，其中海石中学植树的数量比励东中学的2倍少3棵，
两校各植树多少棵？
考点：全等三角形的判定与性质；一元一次方程的应用。
专题：应用题；证明题。
分析：（1）根据已知条件可判断出△ABC≌△EDC，根据全等三角形的性质即可得出AB=ED，
（2）设励东中学植树x棵，可知海石中学植树2x﹣3颗，根据题意列出方程，解出x的值，即
可得出结果．
解答：（1）证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD
∴∠ABC=∠D=90°，
在△ABC和△EDC中错误: 引用源未找到，
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=ED；
（2）解：设励东中学植树x棵，
依题意，得x+（2x﹣3）=834，
解得x=279，
∴2x﹣3=2×279﹣3=555，
答：励东中学植树279棵，海石中学植树555棵．
点评：本题考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形的对应边相等，以及列方程解应用
题，难度适中．
18、（2011•福州）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用
于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如下统计图表（图1～图3），请根据图表提供的
信息，回答下列问题：
（1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 3 6 度；
（2）图2、3中的a= 6 0 ，b= 1 4 ；
11（3）在60课时的总复习中，唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容？
考点：条形统计图；统计表；扇形统计图。
分析：（1）先计算出“统计与概率”所占的百分比，再乘以360°即可；
（2）根据数与代数所占的百分比，求得数与代数的课时总数，再减去数与式和函数，即为a的
值，再用a的值减去图3中A，B，C，E的值，即为b的值；
（3）用60乘以45%即可．
解答：解：（1）（1﹣45%﹣5%﹣40%）×360°=36；
（2）380×45%﹣67﹣44=60；
故答案为36，60，14；
60﹣18﹣13﹣12﹣3=14；
（3）依题意，得45%×60=27，
答：唐老师应安排27课时复习“数与代数”内容．
点评：本题是一道统计题，考查了条形统计图、扇形统计图和统计表，是基础知识要熟练掌握．
19、（2011•福州）如图，在平面直角坐标系中，A、B均在边长为1的正方形网格格点上．
（1）求线段AB所在直线的函数解析式，并写出当0≤y≤2时，自变量x的取值范围；
（2）将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，请在答题卡指定位置画出线段BC．若
直线BC的函数解析式为y=kx+b，则y随x的增大而 增大 （填“增大”或“减小”）．
考点：待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与几何变换。
专题：数形结合；函数思想。
分析：（1）根据一次函数图象知A（1，0），B（0，2），然后将其代入一次函数的解析式，利用待
定系数法求该函数的解析式；
（2）根据旋转的性质，在答题卡中画出线段BC，然后根据直线BC的单调性填空．
解答：（1）设直线AB的函数 解析式为y=kx+b
依题意，得A（1，0），B（0，2）
∴错误: 引用源未找到
解得错误: 引用源未找到
∴直线AB的函数解析式为y=﹣2x+2
当0≤y≤2时，自变量x的取值范围是0≤x≤1．
（2）线段BC即为所求．增大
12点评：本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象与几何变换．解答此
题时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得形象、直观，降低了题的难度．
20、（2011•福州）如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与
AB、AC边相切于D、E两点，连接OD．已知BD=2，AD=3．
求：（1）tanC；
（2）图中两部分阴影面积的和．
考点：切线的性质；正方形的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：（1）连接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根据∠A=90°，推出矩形ADOE，进一步推出正
方形ADOE，得出OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出答案；
（2）设⊙O 与 BC 交于 M、N 两点，由（1）得：四边形 ADOE 是正方形，推出
∠COE+∠BOD=90°，根据错误: 引用源未找到，OE=3，求出错误: 引用源未找到，根据S扇形
DOM
+S扇形EON =S扇形DOE ，即可求出阴影部分的面积．
解答：解：（1）连接OE，
∵AB、AC分别切⊙O于D、E两点，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
又∵∠A=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ADOE是正方形，
∴OD∥AC，OD=AD=3，
∴∠BOD=∠C，
∴在Rt△BOD中，错误: 引用源未找到，
∴错误: 引用源未找到．
答：tanC=错误: 引用源未找到．
（2）解：如图，设⊙O与BC交于M、N两点，
由（1）得：四边形ADOE是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，
∵在Rt△EOC中，错误: 引用源未找到，OE=3，
∴错误: 引用源未找到，
∴S扇形DOM +S扇形EON =S扇形DOE =错误: 引用源未找到，
∴S阴影=S
△BOD
+S
△COE
﹣（S扇形DOM +S扇形EON ）=错误: 引用源未找到，
答：图中两部分阴影面积的和为错误: 引用源未找到．
13点评：本题主要考查对正方形的性质和判定，锐角三角函数的定义，扇形的面积，切线的性质
等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
21、（2011•福州）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、
BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即
点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点
为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形
是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边
形的判定与性质；菱形的判定与性质。
专题：几何综合题；动点型。
分析：（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是
菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
（2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四
边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
解答：（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm．
（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
14同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12﹣4t，
∴5t=12﹣4t，
解得错误: 引用源未找到，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，错误: 引用源未找到秒．
②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应
边上．
分三种情况：
i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；
ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；
iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．
点评：本题综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判
定与性质，注意分类思想的应用．
22、（2011•福州）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、
B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：错误: 引用源未找到对称．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连
接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．
15考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的
交点；图象法求一元二次方程的近似根；勾股定理。
专题：计算题；代数几何综合题。
分析：（1）求出方程ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入
直线l即可判断A是否在直线上；
（2）根据点H、B关于过A点的直线l：错误: 引用源未找到对称，得出AH=AB=4，过顶点H
作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，
求出a，即可得到二次函数解析式；
（3）解方程组错误: 引用源未找到，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出
HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到
BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可
得出答案．
解答：解：（1）依题意，得ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），
解得x =﹣3，x =1，
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∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），
答：A、B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）．
证明：∵直线l：错误: 引用源未找到，
当x=﹣3时，错误: 引用源未找到，
∴点A在直线l上．
（2）解：∵点H、B关于过A点的直线l：错误: 引用源未找
到对称，
∴AH=AB=4，
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则错误: 引用源未找到，错误: 引用源未找到，
∴顶点错误: 引用源未找到，
代入二次函数解析式，解得错误: 引用源未找到，
∴二次函数解析式为错误: 引用源未找到，
答：二次函数解析式为错误: 引用源未找到．
16（3）解：直线AH的解析式为错误: 引用源未找到，
直线BK的解析式为错误: 引用源未找到，
由错误: 引用源未找到，
解得错误: 引用源未找到，
即错误: 引用源未找到，
则BK=4，
∵点H、B关于直线AK对称，
∴HN+MN的最小值是MB，错误: 引用源未找到，
过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，
则QM=MK，错误: 引用源未找到，AE⊥QK，
∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=8，
∴HN+NM+MK的最小值为8，
答HN+NM+MK和的最小值是8．
点评：本题主要考查对勾股定理，解二元一次方程组，二次函数与一元二次方程，二次函数与
X轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质
进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．
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