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二次函数图像与几何变换问题
一阶
1
1.将二次函数 y= (x+2) 2+2的图象向下平移2个单位，关于平移后的图象，以下说法错误的是( )
3
A.开口方向不变
B.对称轴不变
C.y随x的变化情况不变
D.与y轴交点不变
2.将抛物线 y=x²−4x+2先向上平移5个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线解析式为 ( )
A.y=x²−5x+8
B.y=x²−6x+12
C.y=x²+5x−8
D.y=x²−6x−6
3.若将抛物线 y=x²−(n+1)x−n沿x轴向左平移2个单位，得到的新抛物线经过点(1，3)，则新抛物线的顶
点在 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
1
4.在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为(2，3)，将抛物线 y= x2 -2x+3沿坐标轴平移一次，使其经过点P，则
3
平移的最短距离为 ( )
1
A.
2
B. 1
C. 2
8
D.
3
5.抛物线 y=2x²−4x−6关于y轴对称后所得到的抛物线解析式为 ( )
A.y=−2x²+4x+6
B.y=2x²+4x−6
C.y=2x²+2x−6
D.y=−2x²−2x+61
6.若抛物线 y = x2+x+1与抛物线y₂关于抛物线的顶点对称，则 y₂抛物线y₂的顶点坐标为 y₂ ( )
1 2
( 1)
A. 1,
2
( 1)
B. −1,
2
(1 )
C. ,1
2
(1 )
D. ,−1
2
7.将抛物线 y=−2x²+1绕原点 O旋转 180°,，则旋转后抛物线的解析式为 ( )
A.y=2x²
B.y=2x²+1
C.y=−2x²−1
D.y=2x²−1
8.已知抛物线 C₁:y=x²+4x+c,抛物线 C₂与 C₁关于x轴对称，两抛物线的顶点间的距离为5，则c的最小
值为 ( )
13 3
A.− B.−
2 2
3 13
C. D.
2 2
9.将抛物线 y=x²+2x+3绕顶点旋转 180°后，得到的新抛物线与y轴的交点坐标为 ( )
A. (0,1) B. (1,0)
C. (0,-1) D.(−1,0)
10. 若抛物线 C₁:y=x²+bx+c与抛物线 C₂关于原点对称，且A(-1,9),B(1,3)两点在抛物线( C₁上，则抛物线
C₂的解析式为 ( )
A.y=x²+3x+5 B.y=−x²−3x−5
C.y=−x²+3x+5 D.y=x²−3x+5
设问进阶练
例 已知抛物线的解析式为 y=ax²+bx+c(a≠0).
(1)若 a=1,b=1−m,c=m²+2,将该抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与y轴的交点为A(0，3)，则
平移后的抛物线的对称轴为直线 ( )
A. x=-1
B. x=1
C. x=-2
D. x=0
(2)若b=c=2m-1,该抛物线与抛物线 y=−ax²−(3m+n)x+n关于x轴对称，则符合条件的m，n的值为( )
A. m=2,n=-3
B. m=0,n=1
C. m=-2,n=3
D. m=1,n=-2
(3)若抛物线的顶点坐标为(1，2)，将该抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线 C₁,，将抛物线 C₁绕其顶
点旋转 180°得到抛物线 C₂,则抛物线 C₂与y轴的交点坐标是 ( )
A. (0,a+1)
B. (0,a+2)
C. (0,-a+1)
D. (0,-a+2)
(4)若抛物线经过A(2,1),B(4,3),C(4,-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1
上，若c=2a，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的 ( )
A. 最大值为-1
B. 最小值为-1
1
C.最大值为 −
2
1
D.最小值为 −
2
(5)若a=-1,b=2,c=-3,将该抛物线向左平移2个单位得到一个新的抛物线，自变量x在什么取值范围内时，上述
两个抛物线中恰好其中一个的函数图象是y随x的增大而增大的，而另一个的函数图象是y随x的增大而减小的，
请写出自变量x的取值范围 .
综合强化练
1 3
1.(抛物线平移)如图，将二次函数 y=− x2+x+ 的图象沿对称轴向下平移得到一个新的函数图象，其中点
2 2
A为抛物线与y轴的交点，点 B 为抛物线的顶点，平移后的对应点分别为点 A',B'.若弧AB扫过的面积为3(图中的
阴影部分)，则新图象的函数表达式是 ( )
1 3 1 1 1 5 1
A.y=− x2+x− B.y=− x2−x+ C.y=− x2+x− D.y=− x2+x−2
2 2 2 2 2 2 22.(抛物线绕顶点旋转)如图，抛物线 y₁=x²+4x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，绕其抛物线顶
S =
点 D 旋转 180°得到的新抛物线y₂与y轴交于点E，连接BD，BE，DE，则 BDE
¯
3.在平面直角坐标系中，点 M 为抛物线 y=x²+2x−2上一点，若将抛物线沿y轴向上平移，使其顶点落在x
轴上，点 M平移后在新抛物线上的对应点为 M'，且( OM'=OM,,则点 M 坐标为 .
4.(抛物线关于y轴对称)如图，抛物线 y₁=−2x²+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点E，抛物线y₁
关于y轴对称得到抛物线y₂，抛物线y₂与x轴交于C，D两点，连接CE，BE，若 y₁∠BEC=90°,，则此时抛物线
y₂ 的解析式为 .y₂
5.(抛物线关于点中心对称)已知抛物线 C₁:y=mx²+2mx+m−1与抛物线( C₂关于点 P(1,0)中心对称，设抛
物线 C₁,C₂与y轴的交点分别为M,N,当MN=8时,m的值为 .
1
6.(抛物线绕原点旋转)在平面直角坐标系xOy中，将抛物线 y= x2−(n−1)x+3n(n≠0)绕原点O旋转
2
180°,，所得新抛物线顶点坐标为M(p，q)，当n≥n≥6≥6时,p+q的最小值为 .
7. 创新题·“造桥选址”求解析式 如图，抛物线 y=x²−2x+1与y轴交于点A，M，N为抛物线对称轴上的两
1
个动点(N在M上方)， MN= ,P(2,0),连接AN,MP,当 AN+MN+MP取得最小值时，将抛物线沿对称轴向上平移
2
后的新抛物线经过点M，则新抛物线的函数解析式为 .
一阶 方法突破练
1
1. D 【解析】∵将二次函数
y= (x+2) 2+2的图象向下平移2个单位，a不变，顶点的横坐标不变，∴开口方
3
向不变，对称轴不变，y随x的变化情况不变，与y轴的交点向下平移两个单位.
2. B 【解析】∵ 抛物线 y=x²−4x+2=(x−2)²−2,.顶点坐标为(2，-2).将其向上平移5个单位，再向右平
移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标为(3，3)，∴新抛物线的解析式是 y=(x−3)²+3=x²−6x+12.
3. C 【解析】将抛物线 y=x²−(n+1)x−n沿x轴向左平移2个单位，得到新抛物线 y₁=(x+2)²−(n+1)
(x+2)-n,∵新抛物线经过点(1,3),∴将(1,3)代入y₁得, n= 3 ,∴y =x2+ 9 x− 1 = ( x+ 9) 2 − 97 ,.新抛物线的顶点坐
4 1 4 4 8 64
( 9 97)
标为 − ,− ,在第三象限.
8 64
1
4. C 【解析】∵ 抛物线
y= x2−2x+3,当沿x轴平移时，抛物线上点的纵坐标不变，∴把点
P 的纵坐标
3
1 1
y=3 代入 y= x2−2x+3,得 3= x2−2x+3,解得 x₁=0,x₂=6,,平移的距离是2-0=2或6-2=4.当沿y轴平移
3 31 1 1
时，抛物线上点的横坐标不变，把点 P 的横坐标x=2代入
y= x2−2x+3,得 y= ×22−2×2+3=
，平移的
3 3 3
1 8
距离是： 3− = ,则平移的最短距离是2.
3 3
5.B 【解析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，∴抛物线 y=2x²−4x−6关于y轴对称
后所得到的抛物线解析式为 y=2(−x)²−4(−x)−6= 2x²+4x−6.
1 1 1
6.B 【解析】关于顶点对称的两抛物线的顶点坐标相同，抛物线 y = x2+x+1= (x+1) 2+ 的顶点坐标为
1 2 2 2
( 1) ( 1)
−1, ,∴抛物线y₂的顶点坐标为 −1, .
2 2
7. D 【解析】∵抛物线绕原点O 旋转180°,a与c符号全部变相反，∴旋转后的抛物线解析式为 y=2x²−1.
8. C 【解析】∵ 抛物线 y=x²+4x+c=(x+2)²−4+c,∴抛物线 C₁ 的顶点((-2,-4+c),∵抛物线 C₂与C₁关于 x
3 13
轴对称,∴ 抛物线 C₂ 的顶点为(-2,4-c).∵两抛物线的顶点间的距离为5,∴l4-c+4-cl=5,解得 c= 或 c= ,∴c的最
2 2
3
小值为 .
2
9. A 【解析】将抛物线 y=x²+2x+3绕顶点旋转180°后，顶点坐标不变，a 符号变相反，∵原抛物线y=
x²+2x+3=(x+1)²+2,顶点坐标为(-1,2),∴新抛物线的解析式为 y=−(x+1)²+2=−x²−2x+1,令x=0,y=1,∴新
抛物线与y轴的交点坐标为(0,1).
10. B 【解析】∵A(-1,9),B(1,3)两点在抛物线C₁: y=x²+bx+c上，∴将A，B 两点代入解析式，得
{1−b+c=9 {b=−3
, 解得 ,. 抛物线 C₁:y=x²−3x+5,∵ 抛物线 C₁ 与抛物线 C₂ 关于原点对称,∴抛物线
1+b+c=3 c=5
C₂:−y=(−x)²−3(−x)+5=x²+3x+5,即抛物线 C₂:y=−x²−3x−5.
二阶 设问进阶练
例 (1)B 【解析】抛物线向右平移2个单位得到抛物线 y=(x−2)²+(x−2)(1−m)+m²+2,…平移后的抛物线
与y轴的交点为A(0,3),∴3=4+2(m-1)+m²+2，解得m=-1，∴平移后的抛物线解析式为 y=x²−2x+3,∴其对称
轴为直线x=1.
(2)A 【解析】∵抛物线 y=ax²+(2m−1)x+2m−1与抛物线 y=−ax²−(3m+n)x+n关于 x轴对称，∴
{3m+n=2m−1 {m=2
ax²+(2m−1)x+2m−1=ax²+(3m+n)x−n对应系数相等得 , 解得
−n=2m−1 n=−3
(3)D 【解析】∵抛物线的顶点坐标为(1,2),将该抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线 C₁，∴抛物线C₁
的顶点坐标为(-1，2)，设抛物线 C₁ 的解析式为 y=a(x+1)²+2,:将抛物线 C₁ 绕其顶点旋转180°得到抛物线
C₂,∴ 抛物线 C₂与抛物线 C₁的开口方向相反，顶点坐标不变，∴抛物线 C₂ 的解析式为 y=−a(x+1)²+2,令x=0,
则y=-a+2,∴抛物线 C₂与y轴的交点坐标是(0,-a+2).
(4)C 【解析】∵ A(2,1),B(4,3)在直线y=x-1上,∴A或B 是抛物线的顶点,∵B(4,3),C(4,-1)的横坐标相同，∴抛
物线不会同时经过B，C两点，∴抛物线经过A，C 两点， :c=2a,∴y=ax²+bx+2a,∴把A(2,1),C(4,-1)代入解
析式得 { 4a+2b+2a=1 , 解得二次函数的解析式为 y=− 1 x2+2x−1=− 1 (x−2) 2+1,∴顶点始终在直线
16a+4b+2a=−1 2 2
1
γ=x-1上，∴抛物线向左、向下平移的距离相同，∴设平移后的抛物线为
y=− (x−2+m) 2+1−m,令x=0,则
2
1 1 1 1
y=− (−2+m) 2+1−m=− (m−1) 2− ,. 平移后的抛物线与y轴交点纵坐标有最大值，最大值为 − .
2 2 2 2
(5)-1-1时,y随x的增大而减小，∴当-15时,代数式p+q的值随n的增大而增大，∴在n≥6范围内，当n=6时，代数式
2 2
1 21
p+q有最小值，最小值为 ×(6−5) 2− 11=− .
2 2
5
7.y=x2−2x+
【解析】要求AN+MN+MP的最小值，MN是定值，即求 AN+MP 的最小值.如解图，将
4
1 1
点P向上平移 个单位后得到点P'，连接AP'与对称轴交于点 N,则此时 AN+MP 最小,为 AP'的长, ∵MN= ,由
2 2
1
作图得 MN=PP'= ,MNPP',∴四边形 MNP'P 为平行四边形,. ∴N P'=MP,∵抛物线的解析式为
2
1
y=x²−2x+1,∴A(0,1),∵P(2,0),∴ P'(2, ),设直线 AP'的解析式为y=kx+b,将A,P'两点的坐标代入得
2
{
b=1
{
b=1
1
1 , 解得 1 直线AP'的解析式为 y=− x+1, 抛物线 y=x²−2x+1的对称轴为直线
2k+b= k=− 4
2 4
( 3) ( 1) 1
x=1,∴N 1, , ∴M 1, ,∴新抛物线经过点 M，即原抛物线向上平移 个单位得到新抛物线，其解析式为
4 4 4
5
y=x²− 2x+ .
4
