二次函数对称性、增减性、最值问题综合练习
考向 1 对称轴确定求最值或取值
方法突破练
1.已知二次函数 y=x²−4x+c,当 −1≤x≤3时，求y的取值范围(用含c的代数式表示).
2. 若P(m,n)和Q(5,b)为二次函数 y=ax²−4ax+c(a<0)图象上的两点，且 n>b,，求m的取值范围.
3.已知抛物线 y=−2x²+4nx−4n(n 为常数)，一元二次方程 −2x²+4nx−4n=−2的两个根分别为
x₁,x₂,且满足 |x₁−x₂|= 4−2n,，若P(a，b)为抛物线上一点，则当 −2≤a≤2时，求b的最大值.4.已知二次函数 y=−x²−4x+5,当 m≤x≤m+3时，求y的最小值(用含 m的代数式表示).
5.已知二次函数 y=ax²−4ax+5(a⟩0),当( 0≤x≤n时, 5−4a≤ y≤5，求n的取值范围.
6.已知二次函数 y=ax²−2ax+a−2(a⟩0),当 t≤x≤t+2时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求a的取
值范围.
设问进阶练
例 在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax²−4ax+3a−1(a≠0).
(1)若 a<0,当 m≤x≤m+22时，求y的最大值(用含a，m的代数式表示)；(2)当 2≤x≤5时，y的最大值为5，求a的值；
(3)若 a=1,当 t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且 m−n=3,,求t的值.综合强化练
1.已知抛物线 y=x²−(k+1)x+k²−2与直线 y'=x+3k−2的一个交点A在y轴正半轴上.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 m≤x≤m+1时，求γ的最小值(用含m的式子表示)；
(3)若 B(3n−4,y₁),C(5n+6,y₂)为抛物线上在对称轴两侧的点，且 y₁>y₂,求n的取值范围.
作图区 答题区2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0).
(1)若该抛物线的对称轴为直线 x=−1,且 c=a−2,求该抛物线的顶点坐标；
(2)在(1)的条件下,当 −2≤x≤2时，y的最小值为 −4a,求a的值；
(3) 创新题·代数推理 若( a+b+c=0,a>b>c,，抛物线经过点( (p,−a),当 x=p+4时，求证：
ax²+bx+c>0.
作图区 答题区考向 2 对称轴不确定求最值或取值
一 阶方法突破练
1.已知抛物线 y=x²−2mx+m²+2,当 −1≤x≤1时，求y的最小值(用含 m的式子表示).
2.已知抛物线 y=−x²+bx+5(b≥4),当 0≤x≤4时，函数值y的最大值满足. 5≤ y≤17,求b的取值范围.
3.已知抛物线 y=−4x²+4nx−4n−n²(n 是常数),当( 0≤x≤1时，函数y有最小值. −5,求n的值.设问进阶练
例 在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x²−2tx+1.
(1)A(3,y₁),B(7,y₂)是抛物线上的两点，若 y₁>y₂,求t 的取值范围；
(2)P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)是抛物线上的两点，若对于 −1≤x₁<3且 x₂=3,都有 y₁≤ y₂,求t的取值范围；
(设问源自2022北京师大附中四模)
(3)将抛物线向右平移1个单位得到新抛物线， M(t+3,y₁), N(2t−4,y₂))是新抛物线上的点，且均满足
y₁≥ y₂,求 t 的最大值.综合强化练
1.已知二次函数 y=(ax−1)(x−a)(a是常数,且( a≠0).
( 1 )
(1)当 a=2时，试判断点 − ,−5 是否在该函数图象上；
2
a a
(2)当 −1≤x≤ +1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围；
2 2
(3)若点 P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)(x₁<x₂)为该二次函数图象上的两点，且对于 x₁+x₂=4时，都有 y₁>y₂,，
求a的取值范围.
作图区 答题区2.已知抛物线 y=mx²−(2m−1)x+m(m≠0)始终过定点.
(1)求定点的坐标；
(2)若当 2≤x≤5时，y的最大值为2，求m 的值；
(3) 创新题·代数推理 材料阅读：在一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)中，由求根公式可得:
−b+√b2−4ac −b−√b2−4ac b c
x = ,x = ;则可得： x +x =− ,x x = .运用上述材料中的方法解决下面的问
1 2a 2 2a 1 2 a 1 2 a
题：
抛物线 y=mx²−(2m−1)x+m不经过第二象限，且经过点( (−3m,m),，若一元二次方程 mx²−(2m−1)
a4+21b−ab
=18.
x+m=0的两根分别是a，b，求证
a3
a+b
+3ab+a
b2
作图区 答题区3. 创新题·阅读理解题在y关于x的函数中，若( 0≤x≤1时，函数y有最大值和最小值，分别记为ymax和
{ y >0
ymin,且满足 min , 则我们称函数y为“最值函数”.已知二次函数 y=x²−2mx+c(m,c为常数).
2y >y
min max
(1)当m=1，c=3时，判断该二次函数是否为“最值函数”，并说明理由；
3
(2)若 m= 时，该二次函数为“最值函数”，求c的取值范围；
2
(3)若c=1时，该二次函数为“最值函数”，求m的取值范围.
作图区 答题区考向 1 对称轴确定求最值或取值范围
一阶 方法突破练
1. 解:∵a=1>0,
∴该二次函数的图象开口向上，
二次函数的图象开□向上，距离对称轴越远的点函数值越大.
∵ 如解图，对称轴为直线 x =2,-1<2<3,对称轴在区间内,
∴该二次函数在x=2 处取得最小值，最小值为c-4，
∵2-(-1)>3-2,
∴当x=-1时二次函数取得最大值,最大值为c+5.
∴c-4≤y≤c+5.
−4a
2.解：由题意得，二次函数图象的对称轴为直线
x=− =2,∴点Q(5,b)在对称轴右侧,
2a
∵a<0，∴二次函数的图象开口向下，分两种情况讨论，如解图，
①若点 P 在对称轴右侧(或为顶点),即m≥2,∵a<0,∴在对称轴右侧y随着x的增大而减小，∵n>b,∴m<5,∴2≤
(-1,b)m<5;
②若点 P 在对称轴左侧,即m<2,由对称性可知，抛物线经过点(-1，b)，
∵n>b，且在对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴m>-1,∴-1<m<2,
综上所述，m的取值范围为-1<m<5.
3. 解:∵ 抛物线 y=−2x²+4nx−4n,
4n
x=− =n,
∴ 抛物线的对称轴为直线 且抛物线恒过(1,-2),
2×(−2)
4n
∴一元二次方程 −2x²+4nx−4n=−2的两根之和为 − =2n,
−2
∴一元二次方程的两根分别为 x₁=1,x₂=2n−1,
∵ lx₁-x₂|=4-2n,∴ |1-2n+1|=4-2n,
3
∴2-2n=4-2n(舍去)或2n-2=4-2n,∴n= ,
2
∴抛物线解析式为 y=−2x²+6x−6,
∵--2<0,∴抛物线开口向下,
3
当
x<
时，y随x的增大而增大，
2
3
当
x>
时，y随x的增大而减小，
2
∵点P(a,b)在抛物线上,
3 3
∴当 a= 时，b有最大值，最大值为 − .
2 24. 解:∵ 二次函数 y=−x²−4x+5=−(x+2)²+9,
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线 x=-2(求出对称轴)，
∴当m≥-2时,则当x=m+3时(区间在对称轴右侧)，y有最小值为 −(m+3)²−4(m+3)+5=−m²−10m-16;
当m<-2<m+3时,即-5<m<-2时.
由于抛物线开口向下，当对称轴位于区间内时，离对称轴越远的点，y值越小.
7
若m+3-(-2)≥-2-m,即 − ≤m<−2时,当x=m+3时，y有最小值为 −m²−10m−16;
2
7
若m+3-(-2)<-2-m,|即 −5<m<− 时,当x=m时,y有最小值为 y=−m²−4m+5;
2
当m+3≤-2,即m≤-5时,当x=m时(区间在对称轴左侧)，y有最小值为 y=−m²−4m+5;7 7
综上所述，当 m≥− 时，y的最小值为 −m²−10m−16;当 m<− 时，y的最小值为 −m²−4m+5.
2 2
5.解：由题意得二次函数 y=ax²− 4ax+5=a(x−2)²−4a+5(a⟩0),∴如解图，该二次函数图象开口向上，
对称轴是直线 x=2，当x=2 时，该函数取得最小值-4a+5,
∵当0≤x≤n时,5-4a≤y≤5，最小值在顶点 处 取得，即n≥2,当x=0,y=5是最大值,由对称性可知x=4时,y=5,
即n≤4,
∴n的取值范围为2≤n≤4.
6. 解:∵a>0,抛物线对称轴为直线x=1,
∴ 顶点坐标为(1,-2),
①当t+2≤1,即t≤-1时,当x=t时,y的值最大,当x=t+2时,y的值最小,
1 1
(at²−2at+a−2)−[a(t+2)²−2a(t+2)+a−2]= −4at=2,∴a=− ,∵t≤−1,∴a≤ ;
2t 2
②当t<1<t+2,且t+2-1≤1-t,即-1<t≤0时,当x=t时，y的值最大，顶点处y的值最小，
2
∴(at2−2at+a−2)−(−2)=2,∴a= ,
(t−1) 2
1
∴−1<t≤0,∴ <a≤2;
2
③当t<1<t+2,且t+2-1>1-t,即0<t<1时,当x=t+2时，y的值最大，顶点处y的值最小，
2
∴a(t+2) 2−2a(t+2)+a−2−(−2)=2,∴a= ,
(t+1) 2
1
∴0<t<1,∴ <a<2;
2
④当t≥1时,当x=t+2时,y的值最大,当x=t时,y的值最小，
∴a(t+2)²−2a(t+2)+a−2−(at²−2at+a−2)=2,
1 1
∴a= ,∵t≥1,∴a≤ ,
2t 2
综上所述，a的取值范围为0<a≤2.
二阶 设问进阶练
例 解:(1)∵抛物线 y=ax²−4ax+3a−1,a<0,
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，
∴①当m+2<2时,则x=m+2时,y取得最大值,最大值为 y=a(m+2)²−4a(m+2)+3a−1=am²−a−1;
②当m≤2≤m+2时,则x=2时,y取得最大值,最大值为y=4a-8a+3a-1=-a-1;
③当m>2时，则x=m时，y取得最大值，最大值为 y=am²−4am+3a−1;
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴区间2≤x≤5在对称轴的右侧，分 a>0 和 a<0 两种情况:
①当a>0时,如解图①,在2≤x≤5区间,y随x增大而增大，
3
∴此时y最大值在x=5时取到,即5=25a-20a+3a-1,解得 a= ;
4②当a<0时,如解图②,在2≤x≤5区间,y随x增大而减小，∴此时y最大值在x=2时取到，即5=4a-8a+3a-1,
解得a=-6,
3
综上所述，a的值为 或-6;
4
(3)∵a=1,∴抛物线 y=x²−4x+2,
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2，
①当t+1<2即t<1时,区间t≤x≤t+1 在对称轴的左侧，y随x增大而减小，
∴y的最大值是当x=t时，即 m=t²−4t+2,
则y的最小值是当x=t+1时，即 n=(t+1)²−4(t+ 1)+2=t²−2t−1,
∵m−n=3,∴t²−4t+2−(t²−2t−1)=3,解得t=0;
3
②当t≤2,t+1≥2,2-t>t+1-2,即
1≤t<
时，对称轴在t≤x≤t+1区间内,
2
∵当x=t时离对称轴较远，取得最大值，
∴y的最大值是 m=t²−4t+2,最小值是n=-2,
∵m-n=3,
∴t²−4t+2−(−2)=3,解得 t=2±√3(舍去);
3
③当t≤2,t+1≥2,2-t<t+1-2,即
<t≤2时，对称轴在t≤x≤t+1区间内,
2
∵当x=t+1时离对称轴较远，取得最大值.
∴y的最大值是 m=t²−2t−1,最小值是n=-2, m−n=t²−2t−1−(−2)=3,解得 t=1±√3(舍去);
④当t>2时,区间t≤x≤t+1 在对称轴的右侧,y随x增大而增大，
∴y的最大值是当：x=t+1时,即. m=t²−2t−1,最小值是当x=t时,即 n=t²−4t+2,
∴m−n=t²−2t−1−(t²−4t+2)=3,解得t=3;综上所述，t的值为0或3.
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵抛物线 y=x²−(k+1)x+k²−2与直线
y'=x+3k−2的一个交点在y轴正半轴上，
∴当x=0时, y=k²−2,y'=3k−2,令 k²−2=3k−2,
解得k=3或k=0(不合题意,舍去),
∴抛物线的解析式为 y=x²−4x+7;
(2)由(1)得，抛物线的对称轴为直线x=2(求出对称轴),
当m+1<2,即 m<1 时(对称轴在区间右侧),当x=m+1时，y取得最小值，最小值为 y=(m+1)²−4
(m+1)+7=m²−2m+4;
当m≤2≤m+1,即1≤m≤2时(对称轴在区间内)，此时，当x=2时，y取得最小值，最小值为y=
2²−8+7=3;
当m>2时，此时，当x=m时(对称轴在区间左侧)，y取得最小值，最小值为 y=m²−4m+7;(3)【思路点拨】分点B在对称轴左侧，点C 在对称轴右侧和点B 在对称轴右侧，点C 在对称轴左侧两种情况
讨论.
{3n−4<2 4
如解图①，若点 B 在对称轴的左侧，点 C 在对称轴的右侧时，由题意得 解得 − <n<2,
5n+6>2 5
1
∵y₁>y₂,∴2-(3n-4)>5n+6-2,解得 n< ,
4
4 1
∴n的取值范围为 − <n< ,
5 4{3n−4>2
,
如解图②，若点 C 在对称轴的左侧，点 B 在对称轴的右侧时，由题意得 该不等式组无解.
5n+6<2
4 1
综上所述，n的取值范围为 − <n< .
5 4
2. (1)解:∵抛物线的对称轴为直线x=-1,
b
∴− =−1,∴b=2a,
2a
∵c=a-2,∴抛物线的解析式为 y=ax²+2ax+a−2=a (x+1)²−2(a≠0),
∴抛物线的顶点坐标为(-1,-2);
(2)解：当a>0时，抛物线开口向上，
由(1)知，抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时,y取得最小值,
1
∴a-2a+a-2=-4a,解得 a= ,
2
当a<0时，抛物线开口向下，对称轴在区间内，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，y值越小.
∵2-(-1)>(-1)-(-2),
∴当x=2时,y取得最小值,
2 1
∴4a+4a+a-2=-4a,解得
a=
舍去);(综上所述，a的值为-
13 2
;
(3)证明:∵抛物线 y=ax²+bx+c经过点(p,-a),
∴ap²+bp+c+a=0.∴p为方程 ax²+bx+c+a=0的根，
∴Δ=b²−4a(a+c)≥0,
∵a+b+c=0,∴b=-a-c,
∴Δ=b²−4a(−b)=b(b+4a)=b(3a−c)≥0
∵a>b>c,∴a>0,c<0,∴3a-c>0,∴b≥0,
∵p为方程 ax²+bx+c+a=0的根,a+c=-b,
−b−√b2+4ab −b+√b2+4ab
∴p= 或 p= .
2a 2a
当x=p+4时, y=a(p+4)²+b(p+4)+c=(ap²+bp+c+a)+8ap+15a+4b=8ap+15a+4b,
−b−√b2+4ab
若 p= ,
2a
−b−√b2+4ab
则 y=8a⋅ +15a+4b=15a−4√b2+4ab.
2a
∴a>b≥0,∴b²+4ab<a²+4a⋅a=5a²,
即 √b2+4ab<√5a,−4√b2+4ab>−4√5a,
∴y>15a−4√5a=(15−4√5)a>0;
−b+√b2+4ab −b+√b2+4ab
若 p= ,则 y=8a⋅ +15a+4b=15a+4 √b2+4ab>0.
2a 2a
综上，满足题设条件时 ax²+bx+c>0.
考向2 对称轴不确定求最值或取值范围
一阶 方法突破练
b
1.解：由题意得，抛物线开口向上，对称轴为直线x
=− =m,(求出对称轴的表达式)
2a
将区间以对称轴为临界，如解图中y₁,当m≤-1时,在-1≤x≤1范围内y随x的增大而增大，
∴当x=-1时,y取得最小值，即 y =m2+2m+3;
li小时
如解图中y₂,当-1<m<1时，对称轴处于区间内，
∴当x=m时,y取得最小值，即 y =2;
和A
如解图中y₃,当m≥1时,在-1≤x≤1范围内y随x的增大而减小，
∴当x=1时，y取得最小值，即 y =m2−2m+3.
水
综上所述，当m≤-1时，y的最小值为 m²+2m+3;当-1<m<1时,y的最小值为2;当m≥1时,y的最小值为
m²−2m+3.
b b
x=− = ,
2.解：∵抛物线的对称轴为直线
2×(−1) 2
b
∴当b≥4时,对称轴 x= ≥2,
2
b
当 2≤ ≤4时,即4≤b≤8,
2
∵-1<0，抛物线开口向下，此时对称轴在2≤x≤4
b
内,∴当
x=
时，y取得最大值，
2
b2 b2 b2 b2
∴y =− + +5= +5,即 5≤ +5≤17,
R水 4 2 4 4
解得 0≤b≤4√3,∴4≤b≤4√3;
b
当对称轴 x= ≥4时,即b≥8,
2
此时在0≤x≤4时，y随x增大而增大，
∴当x=4时,y有最大值,
∴y最大=-16+4b+5=4b-11,
即5≤4b-11≤17,解得4≤b≤7,
∵b≥8,∴不合题意,舍去.
综上所述，b的取值范围为 4≤b≤4√3.
n
3.解：由题可得，抛物线开口向下，对称轴为直线x = .
2
n
分以下情况讨论：①当对称轴
x= <0,即n<0时,在0≤x≤1范围内,y随x增大而减小,当x=1时,y取最小
2
值，
∴−4+4n−4n−n²=−5.
解得 n₁=−1,n₂=1(不合题意，舍去)；
n
②当 0≤ ≤1,即0≤n≤2时,
2
n n
当对称轴靠近左端点时，即
<1− ,0≤n<1,
2 2
当x=1时,y取最小值,
∴−4+4n−4n−n²=−5,
解得 n₃=−1(不合题意，舍去)， n₄=1(不合题意，舍去);
n n
当对称轴靠近右端点时，即
>1− ,1<n≤2,当x=0时,y取得最小值,
2 2
∴−4n−n²=−5,解得 n₅=−5(不合题意，舍去)， n₆=1(不合题意，舍去);
n n
当对称轴位于区间中间时，即
=1− ,n=1,
2 2
当x=0或1时，取得最小值，
∴−4+4n−4n−n²=−5或 −4n−n²=−5,解得n=1;
n
③当对称轴
x= >1,即
n>2时,在0≤x≤1范围内，y随x增大而增大，
2
∴当x=0时,y取最小值,
∴−4n−n²=−5,
解得 n₇=−5(不合题意，舍去)， n₈=1(不合题意，舍去);
综上所述，n的值为1或-1.
二阶 设问进阶练
例 解：(1)∵抛物线解析式为 y=x²−2tx+1,
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=t.
∵a=1>0,A(3,y₁),B(7,y₂)在抛物线上,y₁>y₂,抛物线开口向上，距离抛物线对称轴越远的点，y值越大.
①当点 A,B在对称轴两侧时,即3<t<7时,∵y₁>y₂,∴t-3>7-t,∴5<t<7;
②当点A，B在对称轴同侧时，
∵3<7,y₁>y₂,y随x增大而减小，
∴t≥7,
综上所述，t的取值范围为t>5；
(2)∵抛物线开口向上，对称轴为直线xx=t,-1≤x₁<3,且 x₂=3,
∴点 Q 为区间的右端点，
∴如解图，当t≤-1时，结合函数图象可得，对于 −1≤x₁<3且:x₂=3,都有 y₁≤ y₂;
当-1<t<3 时,要使对于 −1≤x₁<3且 x₂=3,都有 y₁≤ y₂,
−1+3
∴对称轴直线x=t靠近区间左端点 P，解得 t≤ =1,
2
∴当-1<t≤1时,对于 −1≤x₁<3且 x₂=3,都有 y₁≤ y₂;
当t≥3时，不符合题意.
综上所述，t的取值范围为t≤1；
(3)∵原抛物线开口向上，且对称轴为直线x=t，
∴平移后抛物线开口向上，对称轴为直线x=t+1，
∴点 M 位于对称轴的右侧.
∵y₁≥ y₂,如解图，
①当点 N₁ 在对称轴右侧，且在点 M左侧(包括点M)时,满足条件,∴2t-4>t+1,且2t-4≤t+3,解得5<t≤7;
②当点 N₂ 在对称轴左侧，且距对称轴的距离小于或等于点 M 到对称轴的距离时，满足条件，
∴2t-4<t+1,
且t+1-(2t-4)≤t+3-(t+1),解得3≤t<5,
③当点 N₃ 在抛物线顶点处时， y₁≥ y₂恒成立，此时,2t-4=t+1,∴t=5.
综上所述，t的取值范围为3≤t≤7.
∴t的最大值为7.
三阶 综合强化练( 1 )
1. 解:(1)点 − ,−5 不在该函数图象上，理由如下：当a=2时,二次函数的解析式为y=(2x-1)(x-2),当
2
1 [ ( 1) ]( 1 )
x=− 时, y= 2× − −1 − −2 =5≠−5,
2 2 2
( 1 )
∴点 − ,−5 不在该函数图象上；
2
(2)【思路点拨】求出二次函数对称轴，分a>0，a<0两种情况，再根据二次函数的增减性求解即可.
1
令y=0,解得 x = ,x =a,
1 a 2
1
∴二次函数y=(ax-1)(x-a)的图象与 x轴交于( ,0),(a,0)两点,
2
a2+1
∴对称轴为直线 x= ,
2a
当a>0时，函数图象开口向上，
a a
∵当 −1≤x≤ +1时，y随x的增大而减小，
2 2
∴ 对称轴在区间右侧，
a2+1 a 1 1
∴ ≥ +1,∴a≤ ,∴0<a≤ ;
2a 2 2 2
当a<0时，函数图象开口向下，
a a
∵当 −1≤x≤ +1时，y随x的增大而减小，
2 2
∴对称轴在区间左侧，
a2+1 a 1 1
∴ ≤ −1,∴a≥− ,∴− ≤a<0;
2a 2 2 2
1 1
综上所述，a的取值范围为 − ≤a<0或 0<a≤ ;
2 2
(3)【思路点拨】临界情况为P，Q在对称轴两侧，根据二次函数图象的开口方向和大小及y的大小关系判断
点P，Q 离对称轴的远近求解即可.
a2+1
由(2)得二次函数图象的对称轴为直线 x= ,
2a
当a>0时，抛物线开口向上，如解图①，
若点 P'，Q'位于对称轴两侧，且点 P'在点 Q'的左侧，当 y₁= y₂时,
a2+1 x +x
= 1 2=2,
2a 2
∵x₁+x₂=4时，都有 y₁>y₂,
a2+1
∴点 Q'距对称轴的距离小于点 P'距对称轴的距离， ∴ >2,
2a
∴a>2+√3或 0<a<2−√3;
若点 P"，Q"都位于对称轴同侧，
∵x₁+x₂=4时，都有 y₁>y₂,
∴P"，Q"两点都在对称轴的左侧，
a2+1
∴ >2,
2a∴a>2+√3或 0<a<2−√3;
当a<0时，抛物线开口向下，如解图②，
a2+1 x +x
若点 P'，Q'位于对称轴两侧，当 y₁= y₂时, = 1 2=2.
2a 2
∵x₁+x₂=4时,都有y₁>y₂,
a2+1
∴点 P'距对称轴的距离小于点 Q'距对称轴的距离， ∴ <2,a<0;
2a
若点 P"，Q"都位于对称轴同侧，
a2+1
∵x₁+x₂=4时，都有γ₁>y₂,∴ P",Q"两点都在对称轴右侧， <2,a<0,
2a
综上所述，a的取值范围为( a>2+√3或 0<a<2−√3或a<0.
2. (1)解:∵ 抛物线 y=mx²−(2m−1)x+m=mx²− 2mx+x+m=m(x²−2x+1)+x,
若抛物线始终经过定点，则此时与m的取值无关， ∴x²−2x+1=0,解得 x₁=x₂=1,.当x=1时,y=1,∴定点
的坐标为(1,1);
(2)解:∵ 抛物线 y=mx²−(2m−1)x+m(m≠0),
−(2m−1) 2m−1
∴抛物线的对称轴为直线 x=− = .
2m 2m
∵对称轴与区间的位置关系不确定，
2m−1
∴分情况讨论：①当 ≤2时,
2m
(i)当m>0时，抛物线开口向上，区间在对称轴右侧,此时在x=5 时,y取得最大值,即2=25m-5(2m-1)+m,解
3
得
m=−
舍去);
16
(ii)当m<0时，抛物线开口向下，区间在对称轴右侧，
此时当x=2时,y取得最大值,即2=4m-2(2m-1)+m,解得m=0(舍去);
2m−1 1 1
②当 2< ≤5时，即 − <m≤− ,抛物线开口向下，对称轴在区间内，此时在对称轴处取得最大值，
2m 2 8
4m2−(2m−1) 2 1
即 =2,解得 m=− ;
4m 4
2m−1 1
③当 >5时，即 − <m<0,抛物线开口向下，区间在对称轴左侧，此时在x=5时，y取得最大值，即
2m 8
3 1
2=25m-5(2m-1)+m,解得 m=− (舍去),综上所述，m的值为 − ;
16 4(3)证明:∵抛物线 y=mx²−(2m−1)x+m不经过第
二象限且经过定点(1，1)，
∴抛物线开口向下，m<0，
把(-3m,m)代入 y=mx²−(2m−1)x+m,
1
解得 m =−1,m = (舍去), m₃=0(舍去)
1 2 3
∴一元二次方程为 −x²+3x−1=0,整理得 x²−3x+1=0.
∵a,b是方程 x²−3x+1=0的根，
1
∴a2=3a−1,a2−3a=−1,a+b=3,ab=1,∴ =a,
b
∴a⁴+21b−ab=9a²−6a+1+21b−ab=9(3a−1)−6a+
1+21b-1=27a-9-6a+21b=21(a+b)-9=54,
a+b a+b
a3− +3ab+a=a(a2+3b+1)− =a(3a−1+3b+
b2 b2
3 3 3
(1)− =3a(a+b)− =9a− =9a−3a2=3(3a−
b2 b2 b2
54
a²)=3,..左边 = =18= 右边，
3
a4+21b−ab
=18
∴原等式 a3− a+b +3ab+a 成立.
b2
3.解：(1)该二次函数是“最值函数”，理由如下：当m=1，c=3时，二次函数解析式为 y=x²−2x+3,
∴该二次函数的对称轴为直线x=1.
∵a=1>0,0≤x≤1,
∴抛物线开口向上，区间在对称轴左侧，
∴当x=1时, yₘ ₙᵢ=2,当x=0时, yₘₐₓ =3.
∵2>0,2×2=4>3,
∴该二次函数是“最值函数”；
(2)【思路点拨】将m 的值代入二次函数的解析式，求出二次函数的对称轴，根据“三角形函数”的最大值与
最小值的关系求解即可.
3 3
当 m= 时，该二次函数为 y=x²−3x+c,其对称轴为直线 x= ,.抛物线开口向上，区间在对称轴左侧，
2 2
∴当.x=1时, yₘ ₙᵢ=c−2,当x=0时,, ymax=c.
∵ 该二次函数为“最值函数”，
∴c-2>0,且2(c-2)>c,解得c>4,
∴c的取值范围为c>4;
(3)【思路点拨】将c的值代入二次函数的解析式中，求出二次函数的对称轴，根据所给的x的区间及点到对
1 1
称轴的距离对区间内最值的影响分四种情况：①m≤0,②0<m≤ ,③ <m≤1,④m>1,求解即可.
2 2
∵当c=1时, y=x²−2mx+1=(x−m)²−m²+1,
∴对称轴为直线x=m，
①如解图①，当m≤0时，区间在对称轴右侧，当x=0, ymin=1,当x=1, ymax=-2m+2,.则2>-2m+2,解得m>0(舍去);
1
②如解图②，当
0<m≤
时，对称轴在区间内，0到对称轴的距离小于1到对称轴的距离，
2
1
x=m,yₘ ₙᵢ=−m²+1, 0<m<1,∴0<m≤ ;
当 当x=1, ymax=-2m+2,则 解得 2
1
③如解图③，当
<m≤1时，对称轴在区间内，0到对称轴的距离大于1到对称轴的距离，当
2
{−m2+1>0
x=m,yₘ ₙᵢ=−m²+1,当:x=0, ymax=1,则 ,
−2m2+2>1
√2 √2 1 √2
解得 − <m< ,∴ <m< ;
2 2 2 2
{−2m+2>0
,
④如解图④，当m>1时，区间在对称轴左侧，当x=1, ymin=-2m+2,当x=0, ymax=1,则 解
−4m+4>1
3 √2
得 m< (舍去),综上所述，m的取值范围为 0<m< .
4 2
