2012年常州市中考数学试题及答案_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_地区卷_江苏省_常州中考数学08-22

2012 年江苏省常州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，） 1．（2分）（2012•常州）﹣3的相反数是（ ） A．﹣3 B． C． D．3 ﹣ 2．（2分）（2009•台州）下列运算正确的是（ ） A．3a+2a=a5 B．a2•a3=a6 C．（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2=a2+b2 =a2﹣b2 3．（2分）（2012•常州）如图所示，由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图是（ ） A． B． C． D． 4．（2分）（2012•常州）为了参加市中学生篮球运动后，某校篮球队准备购买10双运动鞋，经统计10双运动鞋的号码 （cm）如表所示： 尺码 25 25.5 26 26.5 27 购买量（双） 2 4 2 1 1 则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别是（ ） A．25.5cm 26cm B．26cm 25.5cm C．26cm 26cm D．25.5cm 25.5cm 5．（2分）（2012•常州）已知两圆半径分别为7、3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为（ ） A．外离 B．内切 C．相交 D．内含 6．（2分）（2012•常州）已知等腰三角形三边中有两边的长分别为4、9，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．13 B．17 C．22 D．17或22 7．（2分）（2012•常州）已知二次函数y=a（x﹣2）2+c（a＞0），当自变量x分别取 、3、0时，对应的函数值分别：y ， 1 y ，y ，，则y ，y ，y 的大小关系正确的是（ ） 2 3 1 2 3 A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y 3 2 1 1 2 3 2 1 3 3 1 2 8．（2分）（2012•常州）已知a、b、c、d都是正实数，且 ＜ ，给出下列四个不等式： ① ＜ ；② ＜ ；③ ；④ ＜ 其中不等式正确的是（ ） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 二、填空题（第9小题4分，其余8小题每小题2分，共20分，不需写出解答过程） 9．（2分）（2012•常州）计算：|﹣2|= ________ _ ，（﹣2）﹣1= ________ _ ，（﹣2）2= ________ _ ， = _________ ． 10．（2分）（2012•常州）已知点P（﹣3，1），则点P关于y轴的对称点的坐标是 ________ _ ，点P关于原点O的对 称点的坐标是 ________ _ ．11．（2分）（2012•常州）若∠a=60°，则∠a的余角为 ________ _ ，cosa的值为 ________ _ ． 12．（2分）（2012•常州）已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长为 ________ _ cm，扇形的面积是 _________ cm2．（结果保留π） 13．（2分）（2012•常州）已知函数y= ，则自变量x的取值范围是 ________ _ ；若分式 的值为0，则x= _________ ． 14．（2分）（2012•常州）已知关于x的方程2x2﹣mx﹣6=0的一个根2，则m= ________ _ ，另一个根为 ________ _ ． 15．（2分）（2012•常州）已知x=y+4，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25的值为 ________ _ ． 16．（2分）（2012•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0），⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆，若一次函数 y=kx+b的图象过点A（﹣1，0）且与⊙P相切，则k+b的值为 ________ _ ． 17．（4分）（2012•常州）如图，已知反比例函数y= （k ＞0），y= （k ＜0）．点A在y轴的正半轴上，过点A作直线 1 2 BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB．若△BOC的面积为 ，AC：AB=2：3，则k 1 = _________ ，k = ________ _ ． 2 三、解答题（本题共2各小题，共18分，解答应写出演算步骤） 18．（8分）（2012•常州）化简： （1） ﹣（ ）0+2sin30° （2） ﹣ ． 19．（10分）（2012•常州）解方程组和不等式组： （1） （2） ．四、解答题（本大题共2小题，共15分，解答应写出文字说明或演算步骤） 20．（7分）（2012•常州）为了迎接党的十八大的召开，某校组织了以“党在我心中”为主题的征文比赛，每位学生只 能参加一次比赛，比赛成绩只分A、B、C、D四个阶段．随机抽取该校部分学生的征文比赛成绩进行统计分析，并绘制 了如下的统计图表： 根据表中的信息，解决下列问题： 成绩等级 A B C D 人数 60 x y 10 占抽查学生总数的百分比 30% 50% 15% m （1）本次抽查的学生共有 ________ _ 名； （2）表中x、y和m所表示的数分别为：X= ________ _ ，y= ________ _ ，m= ________ _ ； （3）请补全条形统计图． 21．（8分）（2012•常州）在一个不透明的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球2只，红球1只，黑球1只， 它们除了颜色之外没有其它区别，从袋中随机地摸出1只球，记录下颜色后放回搅匀，再摸出第二只球并记录颜色， 求两次都摸出白球的概率． 五、解答题（本大题共2小题，共12分，解答应写出证明过程） 22．（7分）（2012•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、 BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF． 23．（5分）（2012•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC=∠DCB． 六、画图与应用（本大题共2小题，共13分）24．（6分）（2012•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2， 1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）． 按下列要求画图：以O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A B C ，并解决 1 1 1 下列问题： （1）顶点A 的坐标为 ________ _ ，B 的坐标为 ________ _ ，C 的坐标为 ________ _ ； 1 1 1 （2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A B C 通过变换后得到△A B C ，且△A B C 恰与△DEF拼接成一个平行 1 1 1 2 2 2 2 2 2 四边形（非正方形），写出符合要求的变换过程． 25．（7分）（2012•常州）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件， 根据市场调研，若每件降价1元，则每天销售数量比原来多3件．现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降 价x元（x为正整数）．在促销期间，商场要想每天获得最大销售毛利润，每件应降价多少元？每天最大销售毛利润为 多少？（注：每件服装销售毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差） 七、解答题（本大题共3小题，共26分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26．（7分）（2012•常州）平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上 点的“距离坐标”： （1）点O的“距离坐标”为（0，0）； （2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距 离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）； （3）到直线AB、CD的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）． 设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题： （1）画出图形（保留画图痕迹）： ①满足m=1，且n=0的点M的集合； ②满足m=n的点M的集合； （2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．（说明：图中OI长为一个单位长） 27．（9分）（2012•常州）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异 于C，D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图），设CP=x，DE=y． （1）写出y与x之间的关系式 ________ _ ； （2）若点E与点A重合，则x的值为 ________ _ ； （3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．28．（10分）（2012•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m ＞0），以点P为圆心， m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（点D在点C的 上方）．点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）． （1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）； （2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ，试问线段BQ与线段EQ的长是 否相等？为什么？ （3）连接BC，求∠DBC﹣∠DBE的度数．2012 年中考数学卷精析版——常州卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、 选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 3. （2012江苏 常州2分）如图所示，由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图是【 】 【答案】B。 【考点】简单组合体的三视图。 【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得上层右边有1个正方形，下层有2个正方形。故选B。 4.（ 2012江苏常州2分）为了参加中学生篮球运动会，某校篮球队准备购买10双运动鞋，经统计10双运动鞋的尺码 （cm）如下表所示： 尺码 25 25.5 26 26.5 27 购买量（双） 2 4 2 1 1则这10双运动鞋的众数和中位数分别为【 】 A.25.5 cm 26 cm B.26 cm 25.5 cm C.26 cm 26 cm D.25.5 cm 25.5 cm 【答案】B。 【考点】众数，中位数。 【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是25.5 cm，故这组数据的众数 为25.5 cm。 中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此这 组10个数据的中位数是第5，6个数据的平均数，而第5，6个数据都是25.5 cm，故这组数据的中位数为25.5 cm。 故选B。 5. （2012江苏常州2分）已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【 】 A.外离 B.内切 C.相交 D.内含 【答案】B。 【考点】两圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之 差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两 圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此， ∵两半径之差7－3等于两圆圆心距4，∴两圆内切。故选B。 6. （2012江苏常州2分）已知三角形三边的长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为【 】 A.13 B.17 C.22 D.17或22 【答案】C。 【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。 【分析】由三角形三边的长分别为4，9，知三角形三边的长分别为4，4，9或4，9，9，但由于4，4，9与三角形的构成条 件 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”不符，因此，三角形三边的长只能分别为4，9，9 ，周长为22。故选 C。 7. （2012江苏常州2分）已知二次函数y=ax22 +ca>0，当自变量x分别取 2 ，3，0时，对应的值分别为 y，y ，y ，则y，y ，y 的大小关系正确的是【 】 1 2 3 1 2 3 A. y 0知， 它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等。 由于二次函数y=ax22 +ca>0在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而0＜1＜ 2 ，因此， y ，即 < ，∴③正确，④不正确。 a+b c+d c+d a+b a c b d b d a+b c+d ∵a、b、c、d都是正实数，且 < ，∴ > 。∴ +1> +1，即 > 。 b d a c a c a c a c ∴ < 。∴①正确，②不正确。 a+b c+d ∴不等式正确的是①③。故选A。 二、填空题（本大题共9小题，第9小题4分，其余8小题每小题2分，共20分）11. （2012江苏常州 2分）若∠α=600，则∠α的余角为 ▲ ，cosα的值为 ▲ 。 1 【答案】300， 。 2 【考点】余角定义，特殊角的三角函数值。 1 【分析】根据余角定义，∠α的余角为900－600=300；由特殊角的三角函数值，得cosα= 。 2 12. （2012江苏常州2分）已知扇形的半径为3 cm，圆心角为1200，则此扇形的的弧长是 ▲ cm，扇形的面积 是 ▲ cm2（结果保留π）。 【答案】2，3。 【考点】扇形的的弧长和面积。 【分析】直接根据扇形的的弧长和面积公式计算即可： 1203 12032 扇形的的弧长= =2（cm），扇形的面积= =3（cm2）。 180 360 x3 13. （2012江苏常州2分）已知函数y= x2，则自变量x的取值范围是 ▲ ；若分式 的值为0，则x= x+1 ▲ 。 【答案】x2；x1。 【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，因此，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 x2 在实数范围内有意义，必须x20x2。 x3 根据分式分母不为0的条件，要使 在实数范围内有意义，必须x+10x1。 x+1 14. （2012江苏常州2分）已知关于x的方程2x2 mx6=0的一个根是2，则m= ▲ ，另一根为 ▲ 。 3 【答案】1， 。 2 【考点】方程根的意义，解一元二次方程。 【分析】∵关于x的方程2x2 mx6=0的一个根是2，∴222 2m6=0，解得m=1。 3 ∴方程为2x2 x6=0，解得另一根为x= 。 2 【本题或用根与系数的关系求角】 15. （2012江苏常州2分）已知x=y+4，则代数式x2 2xy+y2 25的值为 ▲ 。 【答案】－9。 【考点】代数式化简求值。 【分析】由x=y+4得xy=4，∴x2 2xy+y2 25=xy2 25=42 25=9。 16.（ 2012江苏常州2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0），⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆。若一次函 数y=kx+b的图象过点A（－1，0）且与⊙P相切，则k+b的值为 ▲ 。 2 3 2 3 【答案】 或 。 3 3 【考点】一次函数综合题，直线与圆相切的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质。 【分析】如图，设一次函数y=kx+b与y轴交于点C，与⊙P相切于点P。 则OA=1，OC=∣b∣，OP=3，BP=2，AP=4。 ∴AB AP2 BP2  42 22 2 3。 OC AO b 1 由△AOC∽△ABP，得  ，即  ， BP AB 2 2 3 3 解得 b  。 3 OC b 3 ∴ k = =  。 AO 1 3 由图和一次函数的性质可知，k，b同号，2 3 2 3 ∴k+b= 或k+b= 。 3 3 k k 17.（ 2012江苏常州2分）如图，已知反比例函数y= 1k >0和y= 2k <0。点A在y轴的正半轴上，过点A作 1 2 x x 5 直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若△BOC的面积为 ，AC：AB=2：3， 2 则k = ▲ ，k = ▲ 。 1 2 【答案】2，－3。 【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。 k k 【分析】设点A（0，a）（∵点A在y轴的正半轴上，∴a＞0），则点B（ 2，a），点C（ 1，a）。 a a k k k k ∴OA= a，AB= 2 （∵k <0），AC= 1 （∵k >0），AB= 1  2 。 2 1 a a a a 5 1 k k  5 ∵△BOC的面积为 ，∴   1  2  a= ，即k 1 k 2 =5①。 2 2  a a  2 k  k  又∵AC：AB=2：3，∴ 1：  2  =2：3，即3k 1 +2k 2 =0②。 a  a  联立①②，解得k =2，k =－3。 1 2 三、解答题（本大题共2小题，共18分） 18. （2012江苏常州8分）化简 0 1 （1）（2012江苏常州4分） 9  +2sin300； 2 1 【答案】解：原式=31+2 =3。 2 【考点】实数的运算，算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数值。【分析】针对算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数值3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算 结果。 x+1 x （2）（2012江苏常州4分）  。 x1 x+1 x+12 xx1 x2+2x+1x2+x 3x+1 【答案】解：原式=  = = 。 x1x+1 x+1x1 x+1x1 x2 1 【考点】分式的加减法。 【分析】分式的加减法通分，后化简。 19. （2012江苏常州10分）解方程组和不等式组： 3x2y=5 （1）（2012江苏常州5分）解方程组： ； x+3y=9 3x2y=5① 【答案】解： ， x+3y=9② ②×3－①，得11y=22，y=2； 将y=1代入②，得x＋6=9，x=3。 x=3 ∴方程组的解为 。 y=2 【考点】解二元一次方程组。 【分析】解二元一次方程组的解题思想是消元，方法有加减消元法和代入消元法。本题可用加减消元法，也可将②化 为x=9－3 y代入①，消元求解。 x7<4x+2 （2）（2012江苏常州5分）解不等式组： 。 52x<154x x7<4x+2① 【答案】解： ， 52x<154x② 解①，得x＞－3， 解②，得x＜5。 ∴不等式组的解为－3＜x＜5。 【考点】解一元一次不等式组。 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大 取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。 四、解答题（本大题共2小题，共15分） 20. （2012江苏常州7分）为了迎接党的十八大的召开，某校组织了以“党在我心中”为主题的征文比赛，每位学生只能参加一次比赛，比赛成绩分A、B、C、D四个等级，随机抽取该校部分学生的征文比赛成绩进行分析，并绘制了如 下的统计图表： 成绩等级 A B C D 人数 60 x y 10 占抽查学生总数的百分比 30% 50% 15% m 根据表中的信息，解决下列问题： （1）本次抽查的学生共有 ▲ 名； （2）表中x、y和m所表示的数分别为x= ▲ ，y= ▲ ，m= ▲ ； （3）补全条形统计图。 【答案】解：（1）200。 （2）100；30；5%。 （3）补全条形统计图如下： 【考点】统计表，条形统计图，频数、频率和总量的关系。 【分析】（1）由A等级人数60，占30%得本次抽查的学生共有60÷30%=200（名）。 （2）x=200×50%=100；y=200×15%=30；m=1－30%―50%―15%=5%。 （3）由（2）的数据可补全条形统计图。 21.（ 2012江苏常州8分）在一个不透明的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球2只，红球1只，黑球1只，它们除了颜色之外没有其它区别。从袋中随机地摸出1只球，记录下颜色后放回搅匀，再第二个球并记录颜色。求两 次都摸出白球的概率。 【答案】解：画树状图如下： ∵共有16种等可能情况，两次都摸出白球的情况有4种， 4 1 ∴两次都摸出白球的概率为 = 。 16 4 【考点】画树状图法或列表法，概率。 【分析】根据概率的求法，用画树状图法或列表法等找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二 者的比值就是其发生的概率。 五、解答题（本大题共2小题，共12分） 22. （2012江苏常州5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC， 求证：∠DBC=∠DCB。 【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。 又∵AB=AC，AD=AD，∴△BAD≌△CAD（SAS）。 ∴BD=CD。∴∠DBC=∠DCB。 【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。 【分析】由已知，根据SAS可证△BAD≌△CAD，从而根据全等三角形对应边相等的性质可得BD=CD，根据等腰三角 形等边对等角的性质可得∠DBC=∠DCB。 23.（ 2012江苏常州7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分 别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。 求证：AE=AF。【答案】证明：连接CE。 ∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。 又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。 ∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。 又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。 ∴AE=AF。 【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的 判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形 AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。 六、解答题（本大题共2小题，共12分） 24.（ 2012江苏常州6分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C （2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得 △ABC的位似图形△AB C ，并解决下列问题： 1 1 1 （1）顶点A 的坐标为 ▲ ，B 的坐标为 ▲ ，C 的坐标为 ▲ ； 1 1 1 （2）请你利用旋转、平移两种变换，使△AB C 通过变换后得到△AB C ，且△AB C 恰与△DEF拼接成一个平行四 1 1 1 2 2 2 2 2 2 边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。 【答案】解：作图如下：（1）（－2，0），（－6，0），（－4，－2）。 （2）符合要求的变换有两种情况： 情况1：如图1，变换过程如下： 将△AB C 向右平移12个单位，再向上平移5个单位；再以B 为中心顺时针旋转900。 2 2 2 1 情况2：如图2，变换过程如下： 将△AB C 向右平移8个单位，再向上平移5个单位；再以A 为中心顺时针旋转900。 2 2 2 1 【考点】作图（位似、平移和旋转）网格问题，位似的性质，平移的性质，旋转的性质。 【分析】（1）作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：①先确定图形的位似中心；②利用相似图形的比 例关系作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意有两种情况，图形在位似中心的同侧或在 位似中心的两侧。 （2）作平移变换时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离， 先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按 原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形。 作旋转变换时，找准旋转中心和旋转角度。 25.（ 2012江苏常州7分）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。 根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降 价x元（x为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？ （注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）【答案】解：根据题意，商场每天的销售毛利润Z=（60－40－x）（20＋3x）=－3x2＋40x+400 b 40 2 ∴当x= = =6 时，函数Z取得最大值。 2a 3 3 2 2 ∵x为正整数，且76 <6 6， 3 3 ∴当x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为－3·72＋40·7+400=533。 答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价7元，每天最大销售毛利润为533元。 【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。 【分析】求出二次函数的最值，找出x最接近最值点的整数值即可。 七、解答题（本大题共3小题，共26分） 26.（ 2012江苏常州7分）平面上两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=150（0 如图），现按如下要求规定此平面上 点的“距离坐标”： （1）点O的“距离坐标”为（0，0）； （2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距 离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）； （3）到直线AB、CD的距离分别为p、q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）。 设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题： （1）画出图形（保留画图痕迹）： ①满足m=1且n=0的点的集合； ②满足m=n的点的集合； （2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式。 （说明：图中OI长为一个单位长） 【答案】解：（1）①如图1中，F，F 即为所求； 1 2 ②如图2中，两条角平分线即为所求。（2）如图3，过点M作MH⊥AB于点H。则 根据定义，MH=m，MO=n。 ∵∠BOD=1500，∠DOM=900（∵l⊥CD）， ∴ ∠HOM=600。 MH 在Rt△MHO中，sinHOM ， MO m 3 m ∴ sin600  ，即  ，即2m 3n。 n 2 n ∴ m与n所满足的关系式为2m 3n。 【考点】新定义，作图（复杂作图），含300角直角三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角 函数值。 【分析】（1）①以点I为圆心，OI为半径画圆交AB于点E；以点O为圆心，OE为半径画圆交CD于点F，F，则F，F 1 2 1 2 即为所求。 由作法知，OF =2OI=2，由∠BOD=1500知∠EOF =300，根据含300角直角三角形中300角所对边是斜边 1 1 一半的性质，得点F 到AB的距离m =1，同时点F 在CD上，即n=0。同理，F 的证明。 1 1 2 ②分别作∠BOD和∠BOC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，两角平分线 上的点满足m=n，故两条角平分线即为所求。 （2）由已知和锐角三角函数定义即可得出m与n所满足的关系式。 27.（ 2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P 异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。 （1）写出y与x之间的函数关系式 ▲ ； （2）若点E与点A重合，则x的值为 ▲ ； （3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）y=－x2＋4x。 （2）2+ 2 或2 2。 （3）存在。 过点P作PH⊥AB于点H。则 ∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上， ∴P D′=PD=4－x，E D′=ED= y=－x2＋4x，EA=AD－ED= x2－4x＋2，∠P D′E=∠D=900。 在Rt△D′P H中，PH=2， D′P =DP=4－x，D′H= 4x2 22  x2 8x+12。 ∵∠ E D′A=1800－900－∠P D′H=900－∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′ =900， E D EA x2＋4x x2 4x+2 ∴△E D′A∽△D′P H。∴  ，即  ， DP DH 4x x2 8x+12 x2 4x+2 2 2 即x ，两边平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得x 。 x2 8x+12 2 2 2+ 2 2+ 2 2+ 2 5+2 2 ∵当x 时，y=  +4 = >2，   2  2  2 2 ∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。 2 2 2 2 2 2 2 5+2 2 ∵当x 时，y=  +4 = <2，   2  2  2 2 ∴此时，点E在边AD上，符合题意。 2 2 ∴当x 时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。 2 【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。 【分析】（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE， DE DP y 4x ∴  ，即  。∴y=－x2＋4x。 CP CM x 1 （2）当点E与点A重合时，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。 解得x2 2。（3）过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△E D′A与△D′P H相 似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。 28.（ 2012江苏常州10分）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m ＞0）。以点P为圆心， 5m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（D点在点C的 上方）。点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）。 （1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）； （2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是 否相等？为什么？ （3）连接BC，求∠DBC－∠DBE的度数。 【答案】解：（1）B（3m，0），E（m，4m）。 （2）线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下： 由（1）知B（3m，0），E（m，4m）， ∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称， ∴D（0，3m）。 ∴BD2 3m2 +3m2 =18m2，DE2 2m2， BE2 3mm2 +4m2 =20m2。 ∴BD2+DE2 BE2。∴△BDE是直角三角形。 ∴BE是△BDE的外接圆的直径。 设△BDE的外接圆的圆心为点G，则由B（3m，0），E（m，4m）得G（2m，2m）。 过点G作GI⊥DG于点I，则I（0，2m）。 根据垂径定理，得DI=IQ ，∴Q（0，m）。 ∴BQ 3m2 +m2=10m, EQ m2+4mm2 =10m。 ∴BQ=EQ。（3）延长EP交x轴于点H，则EP⊥AB，BH=2m。 根据垂径定理，得AH=BH=2m，AO= m。 根据圆的对称性，OC=OA= m。 又∵OB=3m，DE 2m，DB3 2m， OC m 1 OB 3m 1 OC OB ∴  = ,  = 。  。 DE 2m 2 DB 3 2m 2 DE DB 又∵∠COB=∠EDB=900，∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。 ∴∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO。 又∵OB=OC，∴∠DBO=450。∴∠DBC－∠DBE=450。 【考点】直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理，圆的对称性，平行四边形的性质，中点坐标，圆周角定理， 垂径定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）过点P 作PH⊥x轴于点H，PF⊥y轴于点F，连接OE，BP。 ∵点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0）， ∴ P（m，m），H（m，0），F（0，m），OH=OF=HP= m。  2 ∵PB= 5m，∴HB PB2 HP2  5m m2 2m。 ∴OB=3 m。∴B（3m，0）。 ∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，∴D（0，3m）。 ∵四边形DOPE是平行四边形，∴PE=OD=3m，HE=4m。∴E（m，4 m）。