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2012 年江苏省苏州市中考数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2C．﹣ D．
2．（3分）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x≤2D．x≥2
3．（3分）一组数据2，4，5，5，6的众数是（ ）
A．2B．4C．5D．6
4．（3分）如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转
盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， = ，∠AOB=60°，则
∠BDC的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
6．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若
AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
第1页（共34页）A．4B．6C．8D．10
7．（3分）若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（ ）
A．2B．﹣2 C．1D．﹣1
8．（3分）若3×9m×27m=321，则m的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（3分）如图，将△AOB绕点 O按逆时针方向旋转 45°后得到△A′OB′，若
∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
10．（3分）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示）
点B 在y轴上，点C 、E 、E 、C 、E 、E 、C 在x轴上．若正方形A B C D 的边长为1，
1 1 1 2 2 3 4 3 1 1 1 1
∠B C O=60°，B C ∥B C ∥B C ，则点A 到x轴的距离是（ ）
1 1 1 1 2 2 3 3 3
A． B． C． D．
第2页（共34页）二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）化简： = ．
12．（3分）若a=2，a+b=3，则a2+ab= ．
13．（3分）已知太阳的半径约为696000000m，696000000这个数用科学记数法表
示为 ．
14．（3分）已知扇形的圆心角为45°，弧长等于 ，则该扇形的半径为 ．
15．（3分）某初中学校共有学生720人，该校有关部门从全体学生中随机抽取了
50人，对其到校方式进行调查，并将调查的结果制成了如图所示的条形统计图，
由此可以估计全校坐公交车到校的学生有 人．
16．（3分）已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x ＞
1 1 2 2 1
x ＞1，则y y （填“＞”、“＜”或“=”）．
2 1 2
17．（3分）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数y= 图象的一个分支，第二
象限内的图象是反比例函数y=﹣ 图象的一个分支，在x轴的上方有一条平行于
x轴的直线l与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．
若四边形ABCD的周长为8且AB＜AC，则点A的坐标为 ．
第3页（共34页）18．（3分）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以
1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已
知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则
点P从开始移动到停止移动一共用了 秒（结果保留根号）．
三、解答题（本大题共11小题，共76分）
19．（5分）计算：（ ﹣1）0+|﹣2|﹣ ．
20．（5分）解不等式组 ．
21．（5分）先化简，再求值： ，其中，a= +1．
22．（6分）解分式方程： ．
23．（6分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使
BE=AD，连接AE、AC．
第4页（共34页）（1）求证：△ABE≌△CDA；
（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数．
24．（6分）我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水
资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的 ，中、美两国人均淡水资源占有量
之和为13800m3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m3）？
25．（8分）在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形
的顶点上．
（1）从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，
则所画三角形是等腰三角形的概率是 ；
（2）从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为
顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率是 （用树状图或列表
法求解）．
26．（8分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在
斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE
和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：
≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为
米；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物
顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在
同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
第5页（共34页）27．（8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半
圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，
设PC的长为x（2＜x＜4）．
（1）当x= 时，求弦PA、PB的长度；
（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？
28．（9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD
以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边
AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接
PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，
3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；
（2）记△DGP的面积为S ，△CDG的面积为S ．试说明S ﹣S 是常数；
1 2 1 2
（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．
第6页（共34页）29．（10分）如图，已知抛物线y= x2﹣ （b+1）x+ （b是实数且b＞2）与x轴的正
半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且
△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如
果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB
中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q
的坐标；如果不存在，请说明理由．
第7页（共34页）2012 年江苏省苏州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2016•钦州）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2C．﹣ D．
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【解答】解：2的相反数等于﹣2．
故选A．
【点评】本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是关
键．
2．（3分）（2014•淮安）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（
）
A．x＜2B．x＞2C．x≤2D．x≥2
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．（3分）（2013•鞍山）一组数据2，4，5，5，6的众数是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【分析】根据众数的定义解答即可．
【解答】解：在2，4，5，5，6中，5出现了两次，次数最多，
故众数为5．
故选C．
【点评】此题考查了众数的概念﹣﹣﹣﹣一组数据中，出现次数最多的数位众数，
众数可以有多个．
第8页（共34页）4．（3分）（2012•苏州）如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任
意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转
盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．
【解答】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时
指针指向阴影部分的概率是 = ；
故选B．
【点评】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
5．（3分）（2012•苏州）如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， = ，
∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】由BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， = ，∠AOB=60°，利用在同圆或
等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得
∠BDC的度数．
【解答】解：∵ = ，∠AOB=60°，
第9页（共34页）∴∠BDC= ∠AOB=30°．
故选C．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理
的应用．
6．（3分）（2012•苏州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，
DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形
ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，
继而求得答案．
【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC= AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故选C．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得
四边形CODE是菱形是解此题的关键．
7．（3分）（2012•苏州）若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（
第10页（共34页））
A．2B．﹣2 C．1D．﹣1
【分析】将点（m，n）代入函数y=2x+1，得到m和n的关系式，再代入2m﹣n即可
解答．
【解答】解：将点（m，n）代入函数y=2x+1得，
n=2m+1，
整理得，2m﹣n=﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要明确，一次函数图象上的点
的坐标符合函数解析式．
8．（3分）（2012•苏州）若3×9m×27m=321，则m的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先逆用幂的乘方的性质转化为以3为底数的幂相乘，再利用同底数幂的
乘法的性质计算后根据指数相等列出方程求解即可．
【解答】解：3•9m•27m=3•32m•33m=31+2m+3m=321，
∴1+2m+3m=21，
解得m=4．
故选B．
【点评】本题考查了幂的乘方的性质的逆用，同底数幂的乘法，转化为同底数幂的
乘法，理清指数的变化是解题的关键．
9．（3分）（2012•苏州）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到
△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ）
第11页（共34页）A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而
得出答案即可．
【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB′=45°﹣15°=30°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA=45°，
∠AOB=∠A′OB′=15°是解题关键．
10．（3分）（2012•苏州）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形
（用阴影表示），点B 在y轴上，点C 、E 、E 、C 、E 、E 、C 在x轴上．若正方形
1 1 1 2 2 3 4 3
A B C D 的边长为1，∠B C O=60°，B C ∥B C ∥B C ，则点A 到x轴的距离是（
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3
）
A． B． C． D．
【分析】利用正方形的性质以及平行线的性质分别得出D E =B E = ，B C = ，进
1 1 2 2 2 2
而得出B C = ，求出WQ= × = ，FW=WA •cos30°= × = ，即可得出答案
3 3 3
【解答】解：过小正方形的一个顶点W作FQ⊥x轴于点Q，过点A F⊥FQ于点F，
3
∵正方形A B C D 的边长为1，∠B C O=60°，B C ∥B C ∥B C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3
∴∠B C E =60°，∠D C E =30°，∠E B C =30°，
3 3 4 1 1 1 2 2 2
第12页（共34页）∴D E = D C = ，
1 1 1 1
∴D E =B E = ，
1 1 2 2
∴cos30°= = ，
解得：B C = ，
2 2
∴B E = ，
3 4
cos30°= ，
解得：B C = ，
3 3
则WC = ，
3
根据题意得出：∠WC Q=30°，∠C WQ=60°，∠A WF=30°，
3 3 3
∴WQ= × = ，
FW=WA •cos30°= × = ，
3
则点A 到x轴的距离是：FW+WQ= + = ，
3
故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数的应用等知识，根据已
知得出B C 的长是解题关键．
3 3
第13页（共34页）二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2012•苏州）化简： = ．
【分析】根据最简二次根式的方法求解即可．
【解答】解： = = ，故填 ．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简方法．
12．（3分）（2012•苏州）若a=2，a+b=3，则a2+ab= 6 ．
【分析】利用提公因式法进行因式分解，然后把a=2，a+b=3代入即可．
【解答】解：∵a=2，a+b=3，
∴a2+ab=a（a+b）=2×3=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法把a2+ab进行因式分解是解
题的关键．
13．（3分）（2012•苏州）已知太阳的半径约为696000000m，696000000这个数用
科学记数法表示为 6.96 × 1 0 8 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：696000000=6.96×108，
故答案为：6.96×108．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n
的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）（2012•苏州）已知扇形的圆心角为45°，弧长等于 ，则该扇形的半径
为 2 ．
第14页（共34页）【分析】根据弧长公式l= 可以求得该扇形的半径的长度．
【解答】解：根据弧长的公式l= ，知
r= = =2，即该扇形的半径为2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径r的
方程，通过解方程即可求得r的值．
15．（3分）（2012•苏州）某初中学校共有学生720人，该校有关部门从全体学生
中随机抽取了50人，对其到校方式进行调查，并将调查的结果制成了如图所示的
条形统计图，由此可以估计全校坐公交车到校的学生有 21 6 人．
【分析】先求出50个人里面坐公交车的人数所占的比例，然后即可估算出全校坐
公交车到校的学生．
【解答】解：由题意得，50个人里面坐公交车的人数所占的比例为： =30%，
故全校坐公交车到校的学生有：720×30%=216人．
即全校坐公交车到校的学生有216人．
故答案为：216．
【点评】此题考查了用样本估计总体的知识，解答本题的关键是根据所求项占样
本的比例，属于基础题，难度一般．
16．（3分）（2012•苏州）已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图
1 1 2 2
第15页（共34页）象上，若x ＞x ＞1，则y ＞ y （填“＞”、“＜”或“=”）．
1 2 1 2
【分析】先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置
及函数的增减性，进而可得出结论．
【解答】解：∵a=1＞0，
∴二次函数的图象开口向上，
由二次函数y=（x﹣1）2+1可知，其对称轴为x=1，
∵x ＞x ＞1，
1 2
∴两点均在对称轴的右侧，
∵此函数图象开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵x ＞x ＞1，
1 2
∴y ＞y ．
1 2
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点
的位置是解答此题的关键．
17．（3分）（2012•苏州）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数y= 图象的
一个分支，第二象限内的图象是反比例函数y=﹣ 图象的一个分支，在x轴的上
方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂
足分别为C、D．若四边形ABCD的周长为8且AB＜AC，则点A的坐标为 （ ， 3 ）
．
第16页（共34页）【分析】设A点坐标为（a， ），利用AB平行于x轴，点B的纵坐标为 ，而点B在
反比例函数y=﹣ 图象上，易得B点坐标为（﹣2a， ），则AB=a﹣（﹣2a）=3a，
AC= ，然后根据矩形的性质得到
AB+AC=4，即3a+ =4，则3a2﹣4a+1=0，用因式分解法解得a = ，a =1，而AB＜
1 2
AC，则a= ，即可写出A点坐标．
【解答】解：点A在反比例函数y= 图象上，设A点坐标为（a， ），
∵AB平行于x轴，
∴点B的纵坐标为 ，
而点B在反比例函数y=﹣ 图象上，
∴B点的横坐标=﹣2×a=﹣2a，即B点坐标为（﹣2a， ），
∴AB=a﹣（﹣2a）=3a，AC= ，
∵四边形ABCD的周长为8，而四边形ABCD为矩形，
∴AB+AC=4，即3a+ =4，
整理得，3a2﹣4a+1=0，（3a﹣1）（a﹣1）=0，
第17页（共34页）∴a = ，a =1，
1 2
而AB＜AC，
∴a= ，
∴A点坐标为（ ，3）．
故答案为：（ ，3）．
【点评】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满
足其解析式；利用矩形对边相等的性质建立方程以及用因式分解法解一元二次方
程．
18．（3分）（2012•苏州）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A
点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后
才停止．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图
②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了 （ 4 + 2 ） 秒（结果保留根号）．
【分析】根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形
ABCD的高BE，再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点
F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD
的和，再根据时间=路程÷速度计算即可得解．
【解答】解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，
∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4﹣2=2秒，
∵动点P的运动速度是1cm/s，
第18页（共34页）∴AB=2cm，BC=2cm，
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则四边形BCFE是矩形，
∴BE=CF，BC=EF=2cm，
∵∠A=60°，
∴BE=ABsin60°=2× = ，
AE=ABcos60°=2× =1，
∴ ×AD×BE=3 ，
即 ×AD× =3 ，
解得AD=6cm，
∴DF=AD﹣AE﹣EF=6﹣1﹣2=3，
在Rt△CDF中，CD= = =2 ，
所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2 =4+2 ，
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2 ）÷1=4+2 （秒）．
故答案为：（4+2 ）．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况
判断出AB、BC的长度是解题的关键，根据梯形的问题中，经常作过梯形的上底边
的两个顶点的高线作出辅助线也很关键．
三、解答题（本大题共11小题，共76分）
19．（5分）（2012•苏州）计算：（ ﹣1）0+|﹣2|﹣ ．
【分析】分别计算零指数幂、绝对值及二次根式的化简，然后合并即可得出答案．
第19页（共34页）【解答】解：原式=1+2﹣2
=1．
【点评】此题考查了实数的运算及零指数幂的知识，属于基础运算题，解答此题的
关键是熟练掌握各部分的运算法则．
20．（5分）（2012•苏州）解不等式组 ．
【分析】首先分别解出两个不等式，再根据求不等式组的解集的规律：同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定解集即可．
【解答】解： ，
由不等式①得，x＜2，
由不等式②得，x≥﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确求出两个不等式的解
集．
21．（5分）（2012•苏州）先化简，再求值： ，其中，a= +1．
【分析】将原式第二项第一个因式的分子利用完全公式分解因式，分母利用平方
差公式分解因式，约分后再利用同分母分式的加法法则计算，得到最简结果，然
后将a的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
【解答】解： + •
= + •
= +
= ，
第20页（共34页）当a= +1时，原式= = ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是
找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分
式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分，此外化简求值题要
先将原式化为最简时再代值．
22．（6分）（2012•苏州）解分式方程： ．
【分析】两边同乘分式方程的最简公分母，将分式方程转化为整式方程，再解答，
然后检验．
【解答】解：去分母得：3x+x+2=4，
解得：x= ，
经检验，x= 是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，找到最简公分母将分式方程转化为整式方程是
解题的关键．
23．（6分）（2012•苏州）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段
CB到E，使BE=AD，连接AE、AC．
（1）求证：△ABE≌△CDA；
（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数．
【分析】（1）先根据题意得出∠ABE=∠CDA，然后结合题意条件利用SAS可判断三
角形的全等；
（2）根据题意可分别求出∠AEC及∠ACE的度数，在△AEC中利用三角形的内角
和定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，
第21页（共34页）∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA，
∴∠ABE=∠CDA
在△ABE和△CDA中， ，
∴△ABE≌△CDA（SAS）．
（2）解：由（1）得：∠AEB=∠CAD，AE=AC，
∴∠AEB=∠ACE，
∵∠DAC=40°，
∴∠AEB=∠ACE=40°，
∴∠EAC=180°﹣40°﹣40°=100°．
【点评】此题考查了梯形、全等三角形的判定及性质，解答本题的关键是根据梯形
及题意条件得出一些线段之间的关系，注意所学知识的融会贯通．
24．（6分）（2012•苏州）我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中
国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的 ，中、美两国人均淡水
资源占有量之和为13800m3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：
m3）？
【分析】设中国人均淡水资源占有量为xm3，美国人均淡水资源占有量为ym3，根
据题意所述等量关系得出方程组，解出即可得出答案．
【解答】解：设中国人均淡水资源占有量为xm3，美国人均淡水资源占有量为ym3．
根据题意得： ，
解得： ．
答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2300m3，11500m3．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，根据
题意所述等量关系得出方程组，难度一般．
第22页（共34页）25．（8分）（2012•苏州）在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所
示的小正方形的顶点上．
（1）从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，
则所画三角形是等腰三角形的概率是 ；
（2）从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为
顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率是 （用树状图或列表法
求解）．
【分析】（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D
点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案；
（2）利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12
种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平
行四边形，即可求出概率．
【解答】解：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选
取D点时，所画三角形是等腰三角形，
故P（所画三角形是等腰三角形）= ；
（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：
∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴所画的四边形是平行四边形的概率P= = ．
第23页（共34页）故答案为：（1） ，（2） ．
【点评】此题主要考查了利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而
得出概率是解题关键．
26．（8分）（2012•苏州）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，
BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水
平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，
参考数据： ≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为
米；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物
顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在
同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
【分析】（1）根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED
最长，进而得出EF的长，即可得出答案；
（2）利用在Rt△DPA中，DP= AD，以及PA=AD•cos30°进而得出DM的长，利用
HM=DM•tan30°得出即可．
【解答】解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，
∴∠BEF最大为45°，
当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，
∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，
∴BF=EF= BD=15，
DF=15 ，
第24页（共34页）故：DE=DF﹣EF=15（ ﹣1）=11.0（米）；
若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为11.0m；
（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．
在Rt△DPA中，DP= AD= ×30=15，
PA=AD•cos30°= ×30=15 ．
在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15 +27，
在Rt△DMH中，
HM=DM•tan30°= ×（15 +27）=15+9 ．
GH=HM+MG=15+15+9 ≈45.6．
答：建筑物GH高约为45.6米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进
而利用锐角三角函数得出是解题关键．
27．（8分）（2012•苏州）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直
径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，
连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．
（1）当x= 时，求弦PA、PB的长度；
（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？
第25页（共34页）【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB
垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB
与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相
等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得
比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在直角三角形PAB中，由AB及PA
的长，利用勾股定理即可求出PB的长；
（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由
三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出
EC=OA=2，用PC﹣EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC﹣PD表示出
CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范
围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值．
【解答】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，
∴AB⊥l，又∵PC⊥l，
∴AB∥PC，
∴∠CPA=∠PAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°，又PC⊥l，
∴∠PCA=∠APB=90°，
∴△PCA∽△APB，
∴ = ，即PA2=PC•AB，
∵PC= ，AB=4，
第26页（共34页）∴PA= = ，
∴Rt△APB中，AB=4，PA= ，
由勾股定理得：PB= = ；
（2）过O作OE⊥PD，垂足为E，
∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，
∴PE=ED，
又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，
∴四边形OACE为矩形，
∴CE=OA=2，又PC=x，
∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，
∴PD=2（x﹣2），
∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=x﹣2x+4=4﹣x，
∴PD•CD=2（x﹣2）•（4﹣x）=﹣2x2+12x﹣16=﹣2（x﹣3）2+2，
∵2＜x＜4，
∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2．
【点评】此题考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾
股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理
是解本题的关键．
28．（9分）（2012•苏州）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，
将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在
第27页（共34页）移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH
于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分
别为4cm，3cm，设正方形移动时间为 x（s），线段GP的长为y（cm），其中
0≤x≤2.5．
（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；
（2）记△DGP的面积为S ，△CDG的面积为S ．试说明S ﹣S 是常数；
1 2 1 2
（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．
【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由△GCD∽△APG，利用对应边成
比例可解出x的值．
（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S 、S ，然后作差即可．
1 2
（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围
得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度．
【解答】解：（1）∵CG∥AP，
∴∠CGD=∠GAP，
又∵∠CDG=∠AGP，
∴△GCD∽△APG，
∴ = ，
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，
∴GD=3﹣x，AG=4﹣x，
∴ = ，即y= ，
第28页（共34页）∴y关于x的函数关系式为y= ，
当y=3时， =3，解得x=2.5，
经检验的x=2.5是分式方程的根．
故x的值为2.5；
（2）∵S = GP•GD= • •（3﹣x）= （cm2），
1
S = GD•CD= （3﹣x）×1= （cm2），
2
∴S ﹣S = ﹣ = （cm2），即为常数；
1 2
（3）延长PD交AC于点Q．
∵正方形ABCD中，AC为对角线，
∴∠CAD=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠ADQ=45°，
∴∠GDP=∠ADQ=45°．
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，
∴3﹣x= ，
化简得：x2﹣5x+5=0．
解得：x= ，
∵0≤x≤2.5，
∴x= ，
在Rt△DGP中，PD= = （3﹣x）= （cm）．
第29页（共34页）【点评】此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解
答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求
解．
29．（10分）（2012•苏州）如图，已知抛物线y= x2﹣ （b+1）x+ （b是实数且b＞
2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于
点C．
（1）点B的坐标为 （ b ， 0 ） ，点C的坐标为 （ 0 ， ） （用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且
△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如
果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB
中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q
的坐标；如果不存在，请说明理由．
第30页（共34页）【分析】（1）令y=0，即y= x2﹣ （b+1）x+ =0，解关于x的一元二次方程即可求
出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标；
（2）存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是
以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP，过P作
PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明△PEC≌△PDB，进而求
出x和y的值，从而求出P的坐标；
（3）存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角
形均相似，有条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即
QA⊥x轴；要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分别讨论
求出满足题意Q的坐标即可．
【解答】解：（1）令y=0，即y= x2﹣ （b+1）x+ =0，
解得：x=1或b，
∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，
∴点B的坐标为（b，0），
令x=0，
解得：y= ，
∴点C的坐标为（0， ），
故答案为：（b，0），（0， ）；
（2）存在，
假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角
顶点的等腰直角三角形．
设点P的坐标为（x，y），连接OP．
则S =S +S = • •x+ •b•y=2b，
四边形PCOB △PCO △POB
∴x+4y=16．
过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，
第31页（共34页）∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．
∴四边形PEOD是矩形．
∴∠EPD=90°．
∴∠EPC=∠DPB．
∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．
由 解得
由△PEC≌△PDB得EC=DB，即 ﹣ =b﹣ ，
解得b= ＞2符合题意．
∴P的坐标为（ ， ）；
（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均
相似．
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，
∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．
∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．
∵b＞2，
∴AB＞OA，
∴∠Q0A＞∠ABQ．
∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，
由QA⊥x轴知QA∥y轴．
∴∠COQ=∠OQA．
∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．
（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．
∴AQ=CO= ．
由AQ2=OA•AB得：（ ）2=b﹣1．
第32页（共34页）解得：b=8±4 ．
∵b＞2，
∴b=8+4 ．
∴点Q的坐标是（1，2+ ）．
（II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA，
∴ = ，即OQ2=OC•AQ．
又OQ2=OA•OB，
∴OC•AQ=OA•OB．即 •AQ=1×b．
解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，
∴点Q的坐标是（1，4）．
∴综上可知，存在点Q（1，2+ ）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的
任意两个三角形均相似．
【点评】此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，全等三角形的
判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，还考查等腰三角形的性质及勾股定
理，同时还让学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想．
第33页（共34页）参与本试卷答题和审题的老师有：cair。；zhjh；lantin；zcx；CJX；wd1899；gbl210；
sd2011；ln_86；蓝月梦；dbz1018；caicl；gsls；星期八；sks（排名不分先后）
菁优网
2017年7月12日
第34页（共34页）
