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微专题 15 二次函数综合题
类型一 二次函数与线段有关问题
一阶 设问突破
方法解读
1. 求线段长
(1)与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下)；
(2)与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左).
2. 线段数量关系问题
若两条线段的长均可计算或表示出来，直接根据线段数量关系列方程即可求解，
若两条线段的长无法直接计算或表示出来，可通过x轴或y轴的平行线构造相似
三角形，将线段进行转化，再根据线段数量关系列方程求解.
3. 利用二次函数性质求线段最值
(1)求竖直线段的最值
第一步：设M(t，at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)；
第二步：表示线段MN的长，MN＝at2＋bt＋c－mt－n；
第三步：化简MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函数性质
求最值；
(2)求斜线段的最值
利用锐角三角函数化斜为直得：MP＝MN·sin∠MNP，再根据(1)的步骤解题即可.
4. 利用对称性质求线段和最值及点坐标，即“将军饮马”问题(求PA＋PB的最
小值及点P的坐标)；
第 1 页 共 12 页(1)求点B关于对称轴l对称的点C的坐标；
(2)连接AC交直线l于点P，此时点P满足要求，从而可求出PA＋PB的最小值；
(3)用待定系数法求直线AC的函数表达式；
(4)将l对应的x的值代入AC的函数表达式可得点P的坐标.
例1 如图①，已知二次函数y＝－x2－2x＋3的图象与x轴相交于A，B两点(A
点在B点左侧)，与y轴相交于点 C.点P是直线AC上方的抛物线上的一个动
点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，交直线AC于点Q.设点P的横坐标为m.
例1题图①
一、表示点坐标
(1)点P的坐标为 ，点D的坐标为 ，点Q的坐标为 ；
二、表示线段长
(2)PD的长为 ，QD的长为 ，PQ的长为 ；
(3)点P到对称轴的距离为 ，CQ的长为 ；
三、与线段数量关系有关的计算
(4)如图②，若PQ＝DQ，求点P的坐标；
例1题图②
(5)如图③，若AQ＝2CQ，求点P的坐标；[2020广东25(2)题考查]
第 2 页 共 12 页例1题图③
四、线段最值
(6)如图④，过点P作x轴的平行线，交直线AC于M点，求MQ的最大值；
例1题图④
(7)如图⑤，点G是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△GBC的周长最小时，求
GC
的值.
GB
例1题图⑤
二阶 综合训练
1. (2024佛山二模)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于点
A(0，－4)，B(5，6)，直线AB与x轴相交于点 C.
(1)求抛物线与直线AB的表达式；
(2)点D是抛物线在直线AB下方部分上的一个动点，过点D作DE∥x轴交AB于
点E，过点D作DF∥y轴交AB于点F，求DF－DE的最大值.
第 3 页 共 12 页第1题图
类型二 二次函数与面积有关问题
一阶 设问突破
方法解读
求几何图形面积
方法一：直接公式法
1
一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)，S ＝ AB·h.
△ABC 2
方法二：分割法
三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴).
1 1
S ＝S ＋S ＝ BD·(AE＋CF)＝ BD·(y －y ).
△ABC △ABD △BCD 2 2 C A
方法三：补全法
三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴).
S ＝S －S －S
△ABC △ACD △ABD △BC C.
第 4 页 共 12 页注：对于四边形面积计算，可连接一条对角线将四边形转化为两个三角形面积
之和求解.
例2 如图，抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，
与y轴交于点C，点D是第一象限抛物线上的动点，设点D的横坐标为t.
一、求三角形、四边形面积
(1)如图①，当点D位于抛物线的顶点处时，连接OD，CD，求△OCD的面积；
例2题图①
(2)如图②，若t＝2，连接AC，CD，BD，求四边形ABDC的面积；
例2题图②
二、面积定值及最值
(3)如图③，连接AD，BD，若△ABD的面积为15，求点D的坐标；
例2题图③
方法解读
第 5 页 共 12 页利用二次函数性质求面积最值：用同一未知数表示出动点的坐标，进而表示出
所求图形的面积，利用二次函数性质求解最值.
(4)核心设问 如图④，连接BD，过点C作CP∥BD交x轴于点P，连接PD，求
△BPD面积的最大值及此时点D的坐标；[2022广东23(2)题考查]
例2题图④
三、面积等值、倍分关系
(5)如图⑤，连接BD，CD，OD，若S ＝S ，求点D的坐标.
△BOD △COD
例2题图⑤
二阶 综合训练
1. (2024福建)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x 轴交于A，B两点，
与y 轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2).
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，
△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标.
第1题图
第 6 页 共 12 页类型一 二次函数与线段有关问题
一阶 设问突破
例1 解：(1)(m，－m2－2m＋3)，(m，0)，(m，m＋3)； 【解法提示】令y＝
0，得－x2－2x＋3＝0，解得x ＝－3，x ＝1，∴点A(－3，0)，点B(1，0)；令x
1 2
＝0，得y＝3，∴点C(0，3)；设直线AC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(－
{－3k＋b=0 {k=1
3，0)，点C(0，3)代入y＝kx＋b中，得 ，解得 ，∴直线AC的表
b=3 b=3
达式为y＝x＋3.∵点P的横坐标为m，∴点P纵坐标为－m2－2m＋3，∵PQ⊥x
轴，∴点Q横坐标为m，则纵坐标为m＋3，∵PD⊥x轴，∴点D横坐标为m，
纵坐标为0.
(2)－m2－2m＋3，m＋3，－m2－3m；
(3)｜m＋1｜，－√2m；
(4)由(2)可知QD的长为m＋3，PQ的长为－m2－3m，
∵PQ＝DQ，
∴－m2－3m＝m＋3，
解得m＝－1或m＝－3，
∵点P不与点A重合，
∴m的值为－1，
∴P(－1，4)；
(5)∵PD∥y轴，
AQ AD
∴ ＝ ，
AC AO
∵AQ＝2CQ，
AQ 2
∴ ＝ ，
AC 3
AD 2
∴ ＝ ，
AO 3
∵A(－3，0)，
∴AO＝3，
∴AD＝2，OD＝1，
第 7 页 共 12 页∴m＝－1，此时－m2－2m＋3＝4，
∴P(－1，4)，
(6)∵OA＝OC＝3，PM∥x轴，
∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠ADQ＝∠QPM＝90°，
∴△PMQ为等腰直角三角形，
∴MQ＝√2PQ，
3 9
∵PQ＝－m2－3m＝－(m＋ )2＋ ，－1＜0，－3＜m＜0，
2 4
9
∴PQ的最大值为 .
4
9√2
∴MQ的最大值为 .
4
－2
(7)∵y＝－x2－2x＋3，∴抛物线对称轴为直线x＝－ ＝－1.
－2
如解图，连接AC，交抛物线对称轴l于点G，由抛物线的对称性得GA＝GB，
∴GB＋GC＝AG＋GC≥AC，即当A，G，C三点共线时，GB＋GC取得最小值，
此时△GBC周长最小.
由(1)得直线AC的表达式为y＝x＋3，
当x＝－1时，y＝2，
∴G(－1，2).
∵B(1，0)，C(0，3)，
GC √12＋12 1
∴ ＝ ＝ .
GB √22＋22 2
例1题解图
二阶 综合训练
第 8 页 共 12 页1. 解：(1)由题意，将点A(0，－4)，B(5，6)代入y＝x2＋bx＋c中，
{ c＝－4 {b＝－3
得 ，解得 ，
25+5b＋c=6 c＝－4
∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4.
将点A(0，－4)，B(5，6)代入y＝kx＋m中，
{ m＝－4 {m＝－4
得 ，解得 ，
5k＋m＝6 k=2
∴直线AB的表达式为y＝2x－4；
(2)由题意，设D(a，a2－3a－4)(0＜a＜5)，
1
令2x－4＝ a2－3a－4，得x＝ (a2－3a)，
2
1 3
∴E( a2－ a，a2－3a－4).
2 2
令x＝a，则y＝2a－4，
∴F(a，2a－4).
1 3
∴DF－DE＝2a－4－(a2－3a－4)－[a－( a2－ a)]
2 2
1 5
＝－ a2＋ a
2 2
1 5 25
＝－ (a－ )2＋ .
2 2 8
1
∵－ ＜0，0＜a＜5，
2
5 25
∴当a＝ 时，DF－DE取得最大值，最大值为 .
2 8
类型二 二次函数与面积有关问题
一阶 设问突破
例2 解：(1)令x＝0，得y＝4，
∴C(0，4)，
∴OC＝4，
3 25
∵y＝－x2＋3x＋4＝－(x－ )2＋ ，
2 4
第 9 页 共 12 页3 25
∴D( ， )，
2 4
1 1 3
∴S ＝ OC·｜x ｜＝ ×4× ＝3；
△OCD 2 D 2 2
(2)如解图①，连接BC，过点D作DE⊥x轴交BC于点E，
令－x2＋3x＋4＝0，解得x＝－1或x＝4，
∴A(－1，0)，B(4，0)，
由(1)可知，C(0，4)，
∴AB＝5，OB＝OC＝4，
设BC所在直线的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将B(4，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b中，
{4k＋b=0 {k＝－1
得 ，解得 ，
b=4 b=4
∴BC所在直线的表达式为y＝－x＋4，
∴当t＝2时，－t2＋3t＋4＝6，－t＋4＝2，
∴D(2，6)，E(2，2)，
∴DE＝4，
1 1
∴S ＝S ＋S ＝ ×5×4＋ ×4×4＝18；
四边形ABDC △ABC △BCD 2 2
例2题解图①
(3)由(2)可知，AB＝5，
1 1
∴S ＝ AB·y ＝ ×5×(－t2＋3t＋4)＝15，
△ABD 2 D 2
解得t＝1或t＝2.
当t＝1时，－t2＋3t＋4＝－12＋3×1＋4＝6；
当t＝2时，－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，
第 10 页 共 12 页综上所述，点D的坐标为(1，6)或(2，6)；
(4)如解图②，连接BC，CD，过点D作DQ⊥x轴交BC于点Q，
∵CP∥BD，
1
∴S ＝S ＝S ＋S ＝ DQ·OB，
△BPD △BCD △BDQ △CDQ 2
由(2)可知，BC所在直线的解析式为y＝－x＋4，
∴Q(t，－t＋4)，
∴DQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t，
1
∴S ＝ (－t2＋4t)×4＝－2(t－2)2＋8，
△BPD 2
∵－2＜0，0＜t＜4，
∴当t＝2时，S 有最大值，最大值为8，
△BPD
此时－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，
∴点D的坐标为(2，6)；
例2题解图②
(5)由(2)可知，OB＝OC＝4，
1 1
∵S ＝ OB·y ＝ ×4×(－t2＋3t＋4)，
△BOD 2 D 2
1 1
S ＝ OC·x ＝ ×4t，
△COD 2 D 2
∵S ＝S ，
△BOD △COD
1 1
∴ ×4×(－t2＋3t＋4)＝ ×4t，
2 2
∴－t2＋3t＋4＝t，
解得t＝1＋√5或t＝1－√5，
∵0＜t＜4，∴t＝1＋√5，
此时－t2＋3t＋4＝t＝1＋√5，
第 11 页 共 12 页∴点D的坐标为(1＋√5，1＋√5).
二阶 综合训练
1. 解：(1)将A(－2，0)，C(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c中，
{4－2b＋c=0， { b=1，
得 解得
c＝－2， c＝－2.
∴二次函数的表达式为y＝x2＋x－2；
(2)设P(m，n)，
∵点P在第二象限，
∴m＜0，n＞0.
S
依题意，得 △PDB＝2，
S
△CDB
1
BD·n
2
即 ＝2，
1
BD·CO
2
n
∴ ＝2.
CO
∵C(0，－2)，
∴CO＝2，
∴n＝2CO＝4.
∵P是二次函数图象上的一点，
∴m2＋m－2＝n，即m2＋m－2＝4，
解得m ＝－3，m ＝2(舍去)，
1 2
∴点P的坐标为(－3，4).
第 12 页 共 12 页
