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专项训练五 常考相似模型
DE
1.如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=2,DB=4,则 的值为 ( )
BC
2 1 1 1
A. B. C. D.
3 4 3 2
2.如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法,若图中的虚线相互平行,则点P表示的
数是 ( )
10
A.1 B.√2 C. D.5
3
3.(2023·南充)如图,数学活动课上,为测量学校旗杆的高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然
后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一条直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小
菲的眼睛离地面高度为 1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为 2 m,镜子与旗杆的水平距离为
10 m,则旗杆高度为( )
A.6.4 m B.8 m
C.9.6 m D.12.5 m
4.(2024·邯郸广平县一模)如图,正六边形ABCDEF的对角线AD与CF交于点O,G,H分别为OA
AG FH 1
和OF上的点,且 = = ,若AO=6,则GH的长为 ( )
GD CH 3A.2 B.3 C.4 D.5
5.(2024·河南)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点,EF∥AB交BC于点
F.若AB=4,则EF的长为 ( )
1
A. B.1
2
4
C. D.2
3
6.(2024·定州三模)如图,在△ABC中,D,E为边AB的三等分点,EF∥DG∥AC,H为AF与DG的交
点.若AC=6,则DH= ( )
A.2 B.1
C.0.5 D.1.5
7.(2024·邯郸二模)如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图,把一个简易刻度尺与地面AB垂直放
置,其中AB与“0”刻度线重合,O点落在“3”刻度线上,CD与“5”刻度线重合,若测得AB=50 cm,
则CD的长是 ( )
100
A.30 cm B. cm
325
C.20 cm D. cm
4
8.(2023·绥化)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,点A是位似中心,已
知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°,则点C'的坐标为 .(结果用含a,b的式子表示)
9.(2023·泰安)如图,在△ABC中,AC=BC=16,点D在AB上,点E在BC上,点B关于直线DE的对称
点为点B',连接DB',EB',分别与AC相交于点F,G,若AF=8,DF=7,B'F=4,则CG的长度为 .
10.(2024·乐山)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD交于点O,若S =1,则S =
△ABD △AOD
S 3 S
△BCD △BOC
.
1.(2024·沧州一模)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,点E在AB上,DE平分∠ADC,CE平
分∠DCB.给出下面三个结论:
①∠DEC=90°; ②AE=EB; ③AD·BC=AE·EB.
上述结论中,所有正确结论的序号是 ( )
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
√3
2.如图1,矩形ABCD中,BD为对角线,AD=4√3 cm,tan∠ADB= .
3图1 图2 备用图
(1)求AB的长和∠ADB的度数.
(2)如图2,若点E是矩形中AD边的中点,动点F沿BD以2 cm/s的速度从B向D运动,运动时间为
t(s).求t为何值时,以D,E,F为顶点的三角形与△ABD相似?【详解答案】
基础夯实
1.C 解析:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
DE AD 2 1
∴ = = = .故选C.
BC AB 2+4 3
OB OP 1 OP 10 10
2.C 解析:如图,OB=1,OA=3,OC=10.∵PB∥AC,∴ = .∴ = .∴OP= .∴点P表示的数是 .故选
OA OC 3 10 3 3
C.
3.B 解析:如图,
由图可知,AB⊥BD,CD⊥DE,CF⊥BD,∠ABC=∠CDE=90°.根据镜面的反射性质知,∠ACF=∠ECF,∴90°-
AB BC
∠ACF=90°-∠ECF.∴∠ACB=∠ECD.∴△ABC∽△EDC.∴ = .∵小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时
ED DC
1.6 2
量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与旗杆的水平距离为10 m,∴AB=1.6 m,BC=2 m,CD=10 m.∴ =
ED 10
.∴ED=8 m.故选B.
4.B 解析:∵六边形ABCDEF为正六边形,
∴OA=OD=AF=6,
AG FH 1
∵ = = ,
GD CH 3
AG FH 1
∴ = = ,
AD FC 4
AG FH 1
∴ = = ,
AO FO 2
∴G,H分别为OA,OF的中点,
∴GH是△OAF的中位线,
1
∴GH= AF=3.故选B.
25.B 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
1
∴OC= AC,
2
∵点E为OC的中点,
1 1
∴CE= OC= AC,
2 4
∵EF∥AB,
∴△CEF∽△CAB,
EF CE EF 1
∴ = ,即 = ,
AB AC 4 4
∴EF=1.故选B.
6.B 解析:∵D,E为边AB的三等分点,EF∥DG∥AC,
∴BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF,
∴AB=3BE,DH是△AEF的中位线,
1
∴DH= EF,
2
∵EF∥AC,
∴△BEF∽△BAC,
EF BE EF BE
∴ = ,即 = ,解得:EF=2,
AC AB 6 3BE
1 1
∴DH= EF= ×2=1.故选B.
2 2
7.B 解析:根据题意得CD∥AB,
CD 2
∴△COD∽△BOA,∴ = ,
AB 3
∵AB=50 cm,
2 100
∴CD= ×50= (cm).故选B.
3 3
8.(6-2a,-2b) 解析:如图,过点C,C'分别作x轴的垂线CD,C'D',垂足分别为D,D'.
∵ △ ABC 与 △ AB'C' 的 相 似 比 为 1∶ 2, 点 A(2,0) 是 位 似 中 心 ,∴ AD'=2AD.∵ 点
C(a,b),∴AD=a-2,CD=b.∴A'D=2a-4,C'D'=2b.∴点D'(2-2a+4,0).∴点C'(6-2a,-2b).
9.4.5 解析:∵AC=BC=16,∴∠A=∠B.由题意可得∠B=∠B'.
∴∠A=∠B'.又∵∠AFD=∠B'FG,
AF DF 8 7
∴△AFD∽△B'FG.∴ = ,即 = .∴GF=3.5.∴CG=AC-AF-GF=4.5.
B'F GF 4 GF
1
10. 解析:∵AD∥BC,
9
∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离,
∴S
△ABD=
AD
=
1,
S BC 3
△BCD
∵AD∥BC,
∴△AOD∽△COB,
∴S
△AOD=
(AD) 2
=
(1) 2
=
1.
S BC 3 9
△BOC
能力提升
1.D 解析:∵AD∥BC,
∴∠ADC+∠BCD=180°.
∵DE平分∠ADC,CE平分∠DCB,
1 1
∴∠CDE= ∠ADC,∠DCE= ∠BCD.
2 2
1
∴∠CDE+∠DCE= (∠ADC+∠BCD)=90°.
2
∴∠DEC=90°,故①正确;
如图,过点E作EF⊥CD于点F,
∵AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°.
∵∠A=90°,
∴∠B=90°.
∵DE平分∠ADC,CE平分∠DCB,
∴AE=EF,BE=EF,
∴AE=BE,故②正确;∵∠DEC=90°,∠A=90°,
∴∠AED+∠BEC=∠AED+∠ADE=90°.
∴∠BEC=∠ADE.
∵∠A=∠B=90°,
AD AE
∴△ADE∽△BEC.∴ = .
BE BC
∴AD·BC=AE·EB,故③正确.故选D.
2.解:(1)∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=90°,
在Rt△ABD中,
√3
∵tan∠ADB= ,∴∠ADB=30°,
3
AB
∵tan∠ADB= ,
AD
√3
∴AB=AD·tan∠ADB=4√3× =4(cm).
3
(2)①∵点E是矩形AD边的中点,AD=4√3 cm,
1 1
∴DE= AD= ×4√3=2√3(cm),
2 2
AB 1
在Rt△ABD中,BD= =4÷ =8(m),
sin30° 2
由题意可知,BF=2t cm,则DF=(8-2t)cm,
DE DF
当△DEF∽△DAB时, = ,
DA DB
2√3 8-2t
即 = ,解得t=2,
4√3 8
DE DF
当△DFE∽△DAB时, = ,
DB DA
2√3 8-2t 5
即 = ,解得t= ,
8 4√3 2
5
∴当t的值为2或 时,以D,E,F为顶点的三角形与△ABD相似.
2
