文档内容
2012年辽宁省阜新市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共18分．6，7，8三选一，只做一个，多答时，只按首答评分）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5 B． C．5 D．﹣
2．（3分）如图的几何体是由5个完全相同的正方体组成的，这个几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a5+a5＝a10 C．a6÷a2＝a3 D．（a3）2＝a6
4．（3分）下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）每年的4月23日是“世界读书日”．某中学为了了解八年级学生的读书情况，随机
调查了50名学生的册数，统计数据如表所示：
册数 0 1 2 3 4
人数 3 13 16 17 1
则这50名学生读书册数的众数、中位数是（ ）
A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．2，2
6．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的
解集是（ ）
第1页（共21页）A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1
7．如图，反比例函数y ＝ 的图象与正比例函数y ＝k x的图象交于点（2，1），则使y ＞y
1 2 2 1 2
的x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．x＞2
C．x＞2或﹣2＜x＜0 D．x＜﹣2或0＜x＜2
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若
使EF＝ AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（ ）
A．∠ABC＝60° B．AB：BC＝1：4 C．AB：BC＝5：2 D．AB：BC＝5：8
二、填空题（每小题3分，共18分．14，15，16三选一，只做一个，多答时，只按首答评分）
9．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是 ．
10．（3分）如图，一块直角三角板的两个顶点分别在直尺的对边上．若∠1＝30°，那么∠2＝
度．
第2页（共21页）11．（3分）我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年平均增长率为
．
12．（3分） 如图，△ABC与△A B C 为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已
1 1 1
知△ABC的面积为3，那么△A B C 的面积是 ．
1 1 1
13．（3分）一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．若每次将
球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红
球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是 ．
14．（3分） 如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2
个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n个三角形的周长为 ．
15．如图，在△ABC中，BC＝3cm，∠BAC＝60°，那么△ABC能被半径至少为 cm的圆
形纸片所覆盖．
16．如图（1），在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分
剪拼成一个长方形，如图（2）．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图（2）中Ⅱ部分的
面积是 ．
第3页（共21页）三、解答题（17，18，19，20每小题10分，21，22每小题10分，共64分）
17．（10分）（1）计算： + ．
（2）先化简，再求值：（a+ ）÷ ，其中a＝1﹣ ．
18．（10分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A B C ．在网格中画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；（结果保留 ）
（3）求∠BCC 1 的正切值． π
19．（10分）自开展“学生每天锻炼1小时”活动后，我市某中学根据学校实际情况，决定开
设A：毽子，B：篮球，C：跑步，D：跳绳四种运动项目．为了了解学生最喜欢哪一种项目，随
机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图统计图．请结合图中信息解答下列
问题：
第4页（共21页）（1）该校本次调查中，共调查了多少名学生？
（2）请将两个统计图补充完整；
（3）在本次调查的学生中随机抽取1人，他喜欢“跑步”的概率有多大？
20．（10分）某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A、B两种共50辆货车运往外
地．已知一辆A种货车的运费需0.5万元，一辆B种货车的运费需0.8万元．
（1）设A种货车为x辆，运输这批货物的总运费为y万元，试写出y与x的关系表达式；
（2）若一辆A种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B种货车能装载甲种货物
6吨和乙种货物8吨．按此要求安排A，B两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请
设计出来；
（3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？
21．（12分）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你
①猜想的结论；
将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转 角（0°＜ ＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样
②的数量关系和位置关系？请说明理由． α α
（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位
置关系仍然成立？不必说明理由．
甲：AB：AC＝AD：AE＝1，∠BAC＝∠DAE≠90°；
乙：AB：AC＝AD：AE≠1，∠BAC＝∠DAE＝90°；
丙：AB：AC＝AD：AE≠1，∠BAC＝∠DAE≠90°．
第5页（共21页）22．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，
0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存
在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时
只按作答的首题评分，切记啊！
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若
存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存
在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；
若不存在，说明理由；
（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
第6页（共21页）2012年辽宁省阜新市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共18分．6，7，8三选一，只做一个，多答时，只按首答评分）
1．【分析】根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】解：﹣5的相反数是5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是
0．
2．【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定
则可．
【解答】解：从左边看去，左边是两个正方形，右边是一个正方形，即可得出答案，
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，关键是掌握几何体的三
视图及空间想象能力．
3．【分析】根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，逐一检验．
【解答】解：A、a2•a3＝a2+3＝a5，本选项错误；
B、a5+a5＝2a5，本选项错误；
C、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，本选项错误；
D、（a3）2＝a6，本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则．关键是熟练
掌握每个法则．
4．【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故正确；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
第7页（共21页）对称轴折叠后可重合．
5．【分析】在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数，将这组样本数据按从小
到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2；
【解答】解：∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是3．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有 ＝2，
∴这组数据的中位数为2；
故选：B．
【点评】本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数以及中位数的知识，解题的关键是牢
记概念及公式．
6．【分析】直接根据函数的图象与y轴的交点为（0，1）进行解答即可．
【解答】解：由一次函数的图象可知，此函数是减函数，
∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（0，1），
∴当x＜0时，关于x的不等式kx+b＞1．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是
解答此题的关键．
7．【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，由函数图象即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵A（2，1），
∴B（﹣2，﹣1），
∵由函数图象可知，当0＜x＜2或x＜﹣2时函数y 的图象在y 的上方，
1 2
∴使y ＞y 的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．
1 2
故选：D．
第8页（共21页）【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y ＞y 时
1 2
x的取值范围是解答此题的关键．
8．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然
后根据两直线平行内错角相等，得到∠AEB＝∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE＝
∠EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB＝AE，同理可得DC＝DF，再由AB＝DC得到
AE＝DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF＝DE，当EF＝ AD时，设
EF＝x，则AD＝BC＝4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB＝AF+EF用含x的
式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
又BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
同理可得：DC＝DF，
∴AE＝DF，
∴AE﹣EF＝DF﹣EF，
即AF＝DE，
当EF＝ AD时，设EF＝x，则AD＝BC＝4x，
∴AF＝DE＝ （AD﹣EF）＝1.5x，
∴AE＝AB＝AF+EF＝2.5x，
∴AB：BC＝2.5：4＝5：8．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分性的定义以及等式的
基本性质，利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用．
二、填空题（每小题3分，共18分．14，15，16三选一，只做一个，多答时，只按首答评分）
9．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
第9页（共21页）【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是
非负数．
10．【分析】由题意得：a∥b，∠ACB＝90°，根据平角的定义，可求得∠3的度数，又由两直线
平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
【解答】解：如图，由题意得：a∥b，∠ACB＝90°，
∵∠1＝30°，
∴∠3＝180°﹣∠ACB﹣∠1＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠2＝∠3＝60°．
故答案为：60．
【点评】此题考查了平行线的性质与平角的定义．此题难度不大，注意掌握两直线平行，同
位角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
11．【分析】设公司缴税的年平均增长率为x，根据增长后的纳税额＝增长前的纳税额×（1+增
长率），即可得到去年的纳税额是40（1+x）万元，今年的纳税额是40（1+x）2万元，据此即
可列出方程求解．
【解答】解：设该公司缴税的年平均增长率为x，依题意得40（1+x）2＝48.4
解方程得x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（舍去）
1 2
所以该公司缴税的年平均增长率为10%．
【点评】本题运用增长率（下降率）的模型解题．读懂题意，找到等量关系准确的列出式子
是解题的关键．
12．【分析】由△ABC与△A B C 为位似图形，位似比是1：2，即可得△ABC与△A B C 为相
1 1 1 1 1 1
似三角形，且相似比为1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC与△A B C 为位似图形，
1 1 1
∴△ABC∽△A B C ，
1 1 1
∵位似比是1：2，
∴相似比是1：2，
第10页（共21页）∴△ABC与△A B C 的面积比为：1：4，
1 1 1
∵△ABC的面积为3，
∴△A B C 的面积是：3×4＝12．
1 1 1
故答案为：12．
【点评】此题考查了位似图形的性质．注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三
角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．
13．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以
从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得， ×100%＝20%，
解得，a＝15个．
故答案为15．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率
得到相应的等量关系．
14．【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解．
【解答】解：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的
一半，
那么第二个三角形的周长＝△ABC的周长× ＝32× ，
第三个三角形的周长为＝△ABC的周长× × ＝32×（ ）2，
…
第n个三角形的周长＝32×（ ）n﹣1＝26﹣n，
故答案为：26﹣n．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得
到第n个三角形的周长与第一个三角形的周长的关系．
15．【分析】作圆O的直径CD，连接BD，根据圆周角定理求出∠D＝60°，根据锐角三角函数
的定义得出sin∠D＝ ，代入求出CD即可．
【解答】解：作圆O的直径CD，连接BD，
∵弧BC对的圆周角有∠A、∠D，
第11页（共21页）∴∠D＝∠A＝60°，
∵直径CD，
∴∠DBC＝90°，
∴sin∠D＝ ，
即sin60°＝ ，
解得：CD＝2 ，
∴圆O的半径是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，锐角三角函数的定义的应用，关
键是得出sin∠D＝ ，题目比较典型，是一道比较好的题目．
16．【分析】根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，以及长方形的长为
30，宽为20，得出a+b＝30，a﹣b＝20，进而得出AB，BC的长，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得出：
，
解得： ，
故图（2）中Ⅱ部分的面积是：AB•BC＝5×20＝100，
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及二元一次方程组的应用，根据已知得出a+b＝
第12页（共21页）30，a﹣b＝20是解题关键．
三、解答题（17，18，19，20每小题10分，21，22每小题10分，共64分）
17．【分析】（1）根据平方根、0指数幂、特殊角的三角函数值的相关知识解答；
（2）先将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法进行化简，然后代入求值．
【解答】（1）解： +
＝3+1﹣ …3分
＝3…1分
（2）解：（a+ ）÷
＝（ ）× …2分
＝ …1分
＝1﹣a…1分
当a＝1﹣ 时，原式＝1﹣1+ ＝ …2分
【点评】（1）本题考查了实数的运算，包括0指数幂、特殊角的三角函数值，是一道常见的
杂烩题；
（2）本题综合考查了分式的化简与方程解的定义．解这类题的关键是利用分解因式的方法
化简分式，将已知量与未知量联系起来．
18．【分析】（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可；
（2）先根据勾股定理求出OA的长，再根据线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为
半径，∠AOA 为圆心角的扇形，利用扇形的面积公式得出结论即可；
1
（3）直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：（1）如图．
△A B C 即为所求三角形；
1 1 1
（2）由勾股定理可知OA＝ ＝2 ，
线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，∠AOA 为圆心角的扇形，
1
第13页（共21页）则S扇形OAA1 ＝ ＝2 ．
π
答：扫过的图形面积为2 ．
π
（3）在Rt△BCC 中，tan∠BCC ＝ ＝ ＝ ．
1 1
答：∠BCC 的正切值是 ．
1
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换、扇形的面积公式及锐角三角函数定义，熟知图形
旋转后所得图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．
19．【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，利用A组频数42除以A组频率42%，即可得
到该校本次调查中，共调查了多少名学生；
（2）利用（1）中所求人数，减去A、B、D组的频数即可；C组频数除以100即可得到C组频
率；
（3）根据概率公式直接解答．
【解答】解：（1）该校本次一共调查了42÷42%＝100名学生…3分，
（2）喜欢跑步的人数＝100﹣42﹣12﹣26＝20人…2分，
喜欢跑步的人数占被调查学生数的百分比＝ 100%＝20%…2分，
补全统计图，如图：
第14页（共21页）（3）在本次调查中随机抽取一名学生他喜欢跑步的概率＝ …3分．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、概率公式，读懂统计图，从统计图中得到必
要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20．【分析】（1）设A种货车为x辆，则B种货车为（50﹣x）辆，则表示出两种车的费用的和就
是总费用，据此即可求解；
（2）仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，两种车的运载量必须不超过360吨，290吨，
据此即可得到一个关于x的不等式组，再根据x是整数，即可求得x的值，从而确定运输
方案；
（3）运费可以表示为x的函数，根据函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）设A种货车为x辆，则B种货车为（50﹣x）辆．
根据题意，得y＝0.5x+0.8（50﹣x），即y＝﹣0.3x+40
（2）根据题意，得
解这个不等式组，得
20≤x≤22
∵x是整数
∴x可取20、21、22
即共有三种方案，
A（辆） B（辆）
一 20 30
二 21 29
第15页（共21页）三 22 28
（3）由（1）可知，总运费y＝﹣0.3x+40，
∵k＝﹣0.3＜0，
∴一次函数y＝﹣0.3x+40的函数值随x的增大而减小．
所以x＝22时，y有最小值，即y＝﹣0.3×22+40＝33.4（万元）
选择方案三：A种货车为22辆，B种货车为28辆，总运费最少是33.4万元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事
件与数学思想联系起来，读懂题列出方程组和不等式组即可求解．
21．【分析】（1） BD＝CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理 SAS 推知
△ABD≌△ACE，然①后由全等三角形的对应边相等证得BD＝CE、对应角相等∠ABF＝
∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD＝90°，即
BD⊥CF；
BD＝CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等
②三角形的对应边相等证得BD＝CE、对应角相等∠ABF＝∠ECA；作辅助线（延长BD交
AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF＝∠HCF，再根据三角形内角和定理证得
∠BHC＝90°；
（2）根据结论 、 的证明过程知，∠BAC＝∠DFC（或∠FHC＝90°）时，该结论成立了，
所以本条件中①的∠②BAC＝∠DAE≠90°不合适．
【解答】解：（1） 结论：BD＝CE，BD⊥CE；
结论：BD＝CE，①BD⊥CE…1分
②理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE…1分
在△ABD与△ACE中，
∵
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE…1分
延长BD交AC于F，交CE于H．
在△ABF与△HCF中，
∵∠ABF＝∠HCF，∠AFB＝∠HFC
∴∠CHF＝∠BAF＝90°
第16页（共21页）∴BD⊥CE…3分
（2）结论：乙．AB：AC＝AD：AE，∠BAC＝∠DAE＝90°…2分
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作为判定三角
形全等的定理． 注意：在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA（边边角）（特例：直角
三角形为HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于
SSS），因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分
别对应相等的两个三角形也全等．
22．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）关键是求出△ACP面积的表达式，然后利用二次函数求极值的方法，求出△ACP面积
的最大值；
（3）如图（3）所示，以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均
可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求；
（4）如图（4）所示，若以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似，有两种情况，需要分类
讨论，不要漏解；
（5）以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，有四种情况，分别如图（5）a、图（5）b所
示，注意不要漏解．
【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），则
解这个方程组，得a＝﹣ ，b＝﹣ ．
∴二次函数的关系解析式为y＝﹣ x2﹣ x+2．
第17页（共21页）（2）设点P坐标为（m，n），则n＝﹣ m2﹣ m+2．
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
PM＝﹣ m2﹣ m+2，PN＝﹣m，AO＝3．
当x＝0时，y＝﹣ ×0﹣ ×0+2＝2，所以OC＝2
S△PAC ＝S△PAO +S△PCO ﹣S△ACO
＝ AO•PM+ CO•PN﹣ AO•CO
＝ ×3•（﹣ m2﹣ m+2）+ ×2•（﹣m）﹣ ×3×2
＝﹣m2﹣3m
∵a＝﹣1＜0
∴函数S△PAC ＝﹣m2﹣3m有最大值
当m＝﹣ ＝﹣ 时，S△PAC 有最大值．
此时n＝﹣ m2﹣ m+2＝﹣ ﹣ +2＝
∴存在点P（﹣ ， ），使△PAC的面积最大．
（3）如图（3）所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ Q 、正方形BCQ Q ，则点Q ，Q ，Q ，
1 2 4 3 1 2 3
Q 为符合题意要求的点．
4
过Q 点作Q D⊥y轴于点D，
1 1
∵∠BCQ ＝90°，
1
∴∠Q CD+∠OCB＝90°，
1
又∵在直角△OBC中，∠OCB+∠CBO＝90°，
∴∠Q CD＝∠OCB，
1
又∵Q C＝BC，∠Q DC＝∠BOC，
1 1
∴△Q CD≌△CBO，
1
∴Q D＝OC＝2，CD＝OB＝1，∴OD＝OC+CD＝3，∴Q （2，3）；
1 1
同理求得Q （3，1），Q （﹣1，﹣1），Q （﹣2，1）．
2 3 4
第18页（共21页）∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q（2，3），Q（3，1），
1 2
Q （﹣1，﹣1），Q （﹣2，1）．
3 4
（4）如图（4）所示，设E（n，0），则BE＝1﹣n，QE＝﹣ n2﹣ n+2．
假设以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似，则有两种情况：
若△AOC∽△BEQ，则有： ，
①
即 ，化简得：n2+n﹣2＝0，
解得n ＝﹣2，n ＝1（与B重合，舍去），∴n＝﹣2，QE＝﹣ n2﹣ n+2＝2．
1 2
∴Q（﹣2，2）；
若△AOC∽△BQE，则有： ，
②
即 ，化简得：4n2﹣n﹣3＝0，
解得n ＝﹣ ，n ＝1（与B重合，舍去），∴n＝﹣ ，QE＝﹣ n2﹣ n+2＝ ．
1 2
∴Q（﹣ ， ）．
综上所述，存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．
Q点坐标为（﹣2，2）或（﹣ ， ）．
（5）假设存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．
若CM平行于x轴，如图（5）a所示，有符合要求的两个点Q ，Q ，此时Q A＝Q A＝
1 2 1 2
①CM．
∵CM∥x轴，∴点M、点C（0，2）关于对称轴x＝﹣1对称，
∴M（﹣2，2），∴CM＝2．
由Q A＝Q A＝CM＝2，得到Q （﹣5，0），Q （﹣1，0）；
1 2 1 2
若CM不平行于x轴，如图（5）b所示．过点M作MG⊥x轴于G，
②
第19页（共21页）易证△MGQ≌△COA，得QG＝OA＝3，MG＝OC＝2，即y ＝﹣2．
M
设M（x，﹣2），则有﹣ x2﹣ x+2＝﹣2，解得x＝﹣1± ．
又QG＝3，∴x ＝x +3＝2± ，
Q G
∴Q （2+ ，0），Q （2﹣ ，0）．
3 4
综上所述，存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为：Q（﹣
1
5，0），Q （﹣1，0），Q （2+ ，0），Q （2﹣ ，0）．
2 3 4
注：解答中给出（3）（4）（5）问解题过程，只是为了同学们易于理解，原题并未要求．
第20页（共21页）【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函
数极值、全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形等重要知识点，难度较大，对
考生能力要求较高．本题核心是存在性问题，第（3）（4）（5）问均涉及点的存在性，注意认
真分析，在多种情况时需要分类讨论；另外注意求点坐标的方法，全等三角形与相似三角
形在其中发挥重要作用，需要认真体会．
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