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2013 年宁夏中考数学试卷（教师版）
一、选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）计算（a2）3的结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．3a2
【微点】幂的乘方与积的乘方．
【思路】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案．
【解析】解：（a2）3＝a6．
故选：B．
【点拨】本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2．（3分）一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）
A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2
【微点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【思路】先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，然后利用提公因式因式分解，最后转化
为两个一元一次方程，解方程即可．
【解析】解：x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x ＝2，x ＝﹣1．
1 2
故选：D．
【点拨】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元
二次方程化为两个一元一次方程．
3．（3分）如图是某水库大坝横断面示意图．其中 AB、CD分别表示水库上下底面的水平
线，∠ABC＝120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（ ）
A．25 m B．25m C．25 m D． m
第 1 页 / 共 22 页【微点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【思路】首先过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，易得∠CBE＝60°，在 Rt△CBE 中，BC＝
50m，利用正弦函数，即可求得答案．
【解析】解：过点C作CE⊥AB于点E，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝60°，
在Rt△CBE中，BC＝50m，
∴CE＝BC•sin60°＝25 （m）．
故选：A．
【点拨】此题考查了坡度坡角问题．注意能构造直角三角形，并利用解直角三角形的知
识求解是解此题的关键．
4．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上
的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于（ ）
A．44° B．60° C．67° D．77°
【微点】翻折变换（折叠问题）．
【思路】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：
∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数，继
而求得答案．
【解析】解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，
由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠CED﹣∠A＝46°，
∴∠BDC 67°．
第 2 页 / 共 22 页故选：C．
【点拨】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度
不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
5．（3分）雅安地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种型号
的帐篷共1500顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置8000
人．设该企业捐助甲种帐篷x顶、乙种帐篷y顶，那么下面列出的方程组中正确的是（
）
A． B．
C． D．
【微点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【思路】等量关系有： 甲种帐篷的顶数+乙种帐篷的顶数＝1500顶； 甲种帐篷安置
的总人数+乙种帐篷安置①的总人数＝8000人，进而得出答案． ②
【解析】解：根据甲、乙两种型号的帐篷共 1500顶，得方程x+y＝1500；根据共安置
8000人，得方程6x+4y＝8000．
列方程组为： ．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组解应用题的关键
是找准等量关系，此题中要能够分别根据帐篷数和人数列出方程．
6．（3分）函数 （a≠0）与y＝a（x﹣1）（a≠0）在同一坐标系中的大致图象是（
）
A． B．
第 3 页 / 共 22 页C． D．
【微点】一次函数的图象；反比例函数的图象．
【思路】首先把一次函数化为y＝ax﹣a，再分情况进行讨论，a＞0时；a＜0时，分别
讨论出两函数所在象限，即可选出答案．
【解析】解：y＝a（x﹣1）＝ax﹣a，
当a＞0时，反比例函数在第一、三象限，一次函数在第一、三、四象限，
当a＜0时，反比例函数在第二、四象限，一次函数在第一、二、四象限，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了反比例函数与一次函数图象，关键是掌握一次函数图象与系数
的关系．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而
①增大；
当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而
②增大；
当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大
③而减小；
当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大
④而减小．
7．（3分）如图是某几何体的三视图，其侧面积（ ）
A．6 B．4 C．6 D．12
π π π
第 4 页 / 共 22 页【微点】由三视图判断几何体．
【思路】先判断出该几何体为圆柱，然后计算其侧面积即可．
【解析】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为3cm，底面直径为2cm，
侧面积为： dh＝2 ×3＝6 ．
故选：C． π π π
【点拨】本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几
何体．
8．（3分）如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆， A与 B恰好外切，
若AC＝2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）⊙ ⊙
A． B． C． D．
【微点】相切两圆的性质；扇形面积的计算．
【思路】根据直角三角形的两锐角互余，即可得到∠A+∠B＝90°，再由 A与 B恰好
外切且是等圆，根据扇形的面积公式即可求解． ⊙ ⊙
【解析】解：∵AC＝2，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝2 ，
∵ A与 B恰好外切且是等圆，
∴⊙ 两 ⊙个 扇 形 （ 即 阴 影 部 分 ） 的 面 积 之 和
R2 ．
π
故选：B．
【点拨】本题考查了扇形的面积计算及相切两圆的性质，解答本题的关键是得出两扇形
面积之和的表达式，难度一般．
二、填空题（每小题3分，共24分）
第 5 页 / 共 22 页9．（3分）分解因式：2a2﹣4a+2＝ 2 （ a ﹣ 1 ） 2 ．
【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解析】解：原式＝2（a2﹣2a+1）
＝2（a﹣1）2．
故答案为：2（a﹣1）2．
【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本
题的关键．
10．（3分）点P（a，a﹣3）在第四象限，则a的取值范围是 0 ＜ a ＜ 3 ．
【微点】解一元一次不等式组；点的坐标．
【思路】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．
【解析】解：∵点P（a，a﹣3）在第四象限，
∴ ，
解得0＜a＜3．
故答案为：0＜a＜3．
【点拨】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐
标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限
（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
11．（3分）如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三
角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 3 种．
【微点】轴对称图形；概率公式．
【思路】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互
相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【解析】解：选择小正三角形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，
第 6 页 / 共 22 页选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，选择的位置共有3处．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴
对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
12．（3分）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的
长为 2 cm．
【微点】勾股定理；垂径定理．
【思路】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA＝
2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．
【解析】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，
∵OA＝2OD＝2cm，
∴AD cm，
∵OD⊥AB，
∴AB＝2AD cm．
故答案为：2 ．
【点拨】本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用．
13．（3分）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的
第 7 页 / 共 22 页长分别是6和4，反比例函数y （x＜0）的图象经过点C，则k的值为 ﹣ 6 ．
【微点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
【思路】先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可
得出k的值．
【解析】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，
∴C（﹣3，2），
∵点C在反比例函数y 的图象上，
∴2 ，
解得k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐
标一定满足此函数的解析式．
14．（3分）△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC＝4，下面四个结论： DE
＝2； △ADE∽△ABC； △ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4； △A①DE的
周长与②△ABC的周长之比为③ 1：4；其中正确的有 ．（只填序号④）
【微点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性①质②．③
【思路】根据题意做出图形，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE∥BC，DE
BC＝2，则可证得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得
△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得
△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2，选出正确的结论即可．
【解析】解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
第 8 页 / 共 22 页∴DE∥BC，DE BC＝2，
∴△ADE∽△ABC，
故 正确；
①②
∵△ADE∽△ABC， ，
∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4，
△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2，
故 正确， 错误．
故③答案为：④ ．
①②③
【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注
意掌握数形结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积
比等于相似比的平方．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝ ，将△ABC绕点C按顺时针方向
旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的α大小为 2 a ．
【微点】旋转的性质．
【思路】由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝ ，可求得：∠B＝90°﹣ ，由旋转的
性质可得：CB＝CD，根据等边对等角的性质可得α∠CDB＝∠B＝90°﹣ ，然α后由三角形
内角和定理，求得答案． α
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝ ，
∴∠B＝90°﹣ ， α
α
第 9 页 / 共 22 页由旋转的性质可得：CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝90°﹣ ，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣α∠CDB＝2 ．
即旋转角的大小为2 ． α
故答案为：2 ． α
【点拨】此题α考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度
不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
16．（3分）若不等式组 有解，则a的取值范围是 a ＞﹣ 1 ．
【微点】不等式的解集．
【思路】先解出不等式组的解集，根据已知不等式组 有解，即可求出a的
取值范围．
【解析】解：∵由 得x≥﹣a，
由 得x＜1， ①
故②其解集为﹣a≤x＜1，
∴﹣a＜1，即a＞﹣1，
∴a的取值范围是a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
【点拨】考查了不等式组的解集，求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作
已知数处理，求出不等式组的解集并与已知解集比较，进而求得另一个未知数的取值范
围．
三、解答题（共24分）
17．（6分）计算： ．
【微点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【思路】分别进行负整数指数幂、二次根式的化简及绝对值的运算，代入特殊角的三角
函数值合并即可．
第 10 页 / 共 22 页【解析】解：原式
．
【点拨】本题考查了实数的运算，涉及了绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，
属于基础题．
18．（6分）解方程： ．
【微点】解分式方程．
【思路】观察可得最简公分母是（x﹣2）（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分
式方程转化为整式方程求解．
【解析】解：方程两边同乘以（x﹣2）（x+3），
得6（x+3）＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）（x+3），
6x+18＝x2﹣2x﹣x2﹣x+6，
化简得，9x＝﹣12，
解得x ．
经检验，x 是原方程的解．
【点拨】本题考查了分式方程的解法，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思
想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定要验根．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，
2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A B C
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，画出将△A B C 三条边放大为原来的2倍后的△A B C ．
1 1 1 2 2 2
第 11 页 / 共 22 页【微点】作图﹣旋转变换；作图﹣位似变换．
【思路】（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋
转的性质，即可画出△A B C ；
1 1 1
（2）由位似三角形的性质，即可画出△A B C ．
2 2 2
【解析】解：如图：（1）△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）△A B C 即为所求．
2 2 2
【点拨】此题考查了位似变换的性质与旋转的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合
思想的应用．
20．（6分）某校要从九年级（一）班和（二）班中各选取10名女同学组成礼仪队，选取
的两班女生的身高如下：（单位：厘米）
（一）班：168 167 170 165 168 166 171 168 167 170
（二）班：165 167 169 170 165 168 170 171 168 167
（1）补充完成下面的统计分析表
班级 平均数 方差 中位数 极差
一班 168 168 6
第 12 页 / 共 22 页二班 168 3.8
（2）请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取．
【微点】加权平均数；中位数；极差；方差；统计量的选择．
【思路】（1）根据方差、中位数及极差的定义进行计算，得出结果后补全表格即可；
（2）应选择方差为标准，哪班方差小，选择哪班．
【解析】解：（1）一班的方差 [（168﹣168）2+（167﹣168）2+（170﹣168）
2+…+（170﹣168）2]＝3.2；
二班的极差为171﹣165＝6；
二班的中位数为168；
补全表格如下：
班级 平均数 方差 中位数 极差
一班 168 3.2 168 6
二班 168 3.8 168 6
（2）选择方差做标准，
∵一班方差＜二班方差，
∴一班可能被选取．
【点拨】本题考查了方差、极差及中位数的知识，方差是反映一组数据的波动大小的一
个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的
离散程度越小，稳定性越好．
四、解答题（共48分）
21．（6分）小明对自己所在班级的50名学生平均每周参加课外活动的时间进行了调查，
由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：
（1）求m的值；
（2）从参加课外活动时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，请你用列表或画树
状图的方法，求其中至少有1人课外活动时间在8～10小时的概率．
第 13 页 / 共 22 页【微点】频数（率）分布直方图；列表法与树状图法．
【思路】（1）根据班级总人数有50名学生以及利用条形图得出m的值即可；
（2）根据在6～10小时的5名学生中随机选取2人，利用树形图求出概率即可．
【解析】解：（1）m＝50﹣6﹣25﹣3﹣2＝14；
（2）记6～8小时的3名学生为 ，8～10小时的两名学生为 ，
P（至少1人时间在8～10小时） ．
【点拨】此题主要考查了频数分布表以及树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键．
22．（6分）在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F；求证：
DF＝DC．
【微点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【思路】根据矩形的性质和DF⊥AE于F，可以得到∠DEC＝∠AED，∠DFE＝∠C＝
90，进而依据AAS可以证明△DFE≌△DCE．然后利用全等三角形的性质解决问题．
【解析】证明：连接DE．（1分）
∵AD＝AE，
第 14 页 / 共 22 页∴∠AED＝∠ADE．（1分）
∵有矩形ABCD，
∴AD∥BC，∠C＝90°．（1分）
∴∠ADE＝∠DEC，（1分）
∴∠DEC＝∠AED．
又∵DF⊥AE，
∴∠DFE＝∠C＝90°．
∵DE＝DE，（1分）
∴△DFE≌△DCE．
∴DF＝DC．（1分）
【点拨】此题比较简单，主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，综合利用
它们解题．
23．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作 O交
AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．且BD＝BF． ⊙
（1）求证：AC与 O相切．
（2）若BC＝6，A⊙B＝12，求 O的面积．
⊙
【微点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【思路】（1）连接OE，求出∠ODE＝∠F＝∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，
根据切线的判定推出即可；
（2）证△AEO∽△ACB，得出关于r的方程，求出r即可．
第 15 页 / 共 22 页【解析】证明：（1）连接OE，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵BD＝BF，
∴∠ODE＝∠F，
∴∠OED＝∠F，
∴OE∥BF，
∴∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴AC与 O相切；
⊙
（2）解：由（1）知∠AEO＝∠ACB，又∠A＝∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴ ，
设 O的半径为r，则 ，
⊙
解得：r＝4，
∴ O的面积 ×42＝16 ．
【⊙点拨】本题考π 查了等腰π 三角形的性质，切线的判定，平行线的性质和判定，相似三角
形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力，用了方程思想．
24．（8分）如图，抛物线与 x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，
0），点C的坐标为（0，3），它的对称轴是直线x ．
（1）求抛物线的解析式；
第 16 页 / 共 22 页（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．
【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式，然后代入已知的两点理由待
定系数法求解即可；
（2）首先求得点B的坐标，然后分CM＝BM时和BC＝BM时两种情况根据等腰三角形
的性质求得点M的坐标即可．
【解析】解：（1）设抛物线的解析式
把A（2，0）、C（0，3）代入得：
解得：
∴
即
（2）由y＝0得
∴x ＝2，x ＝﹣3
1 2
第 17 页 / 共 22 页∴B（﹣3，0）
CM＝BM时
①∵BO＝CO＝3 即△BOC是等腰直角三角形
∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形
∴M点坐标（0，0）
如图所示：当BC＝BM时
②在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，
由勾股定理得BC
∴BC ，
∴BM
∴M点坐标（ ，
综上所述：M点坐标为：M （ ，M （0，0）．
1 2
【点拨】本题考查了二次函数的综合知识，第一问考查了待定系数法确定二次函数的解
析式，较为简单．第二问结合二次函数的图象考查了等腰三角形的性质，综合性较强．
25．（10分）如图1，在一直角边长为4米的等腰直角三角形地块的每一个正方形网格的
格点（纵横直线的交点及三角形顶点） 上都种植同种农作物，根据以往种植实验发现，
每株农作物的产量y（单位：千克） 受到与它周围直线距离不超过1米的同种农作物的
株数x（单位：株） 的影响情况统计如下表：
第 18 页 / 共 22 页x（株） 1 2 3 4
y（千克） 21 18 15 12
（1）通过观察上表，猜测y与x之间之间存在哪种函数关系，求出函数关系式并加以验
证；
（2）根据种植示意图1填写下表，并求出这块地平均每平方米的产量为多少千克？
y（千克） 21 18 15 12
频数
（3）有人为提高总产量，将上述地块拓展为斜边长为 6米的等腰直角三角形，采用如
图2所示的方式，在每个正方形网格的格点上都种植了与前面相同的农作物，共种植了
16株，请你通过计算平均每平方米的产量，来比较那种种植方式更合理？
【微点】一次函数的应用．
【思路】（1）设y＝kx+b，然后根据表格数据，取两组数 x＝1，y＝21和x＝2，y＝
18，利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）根据图1查出与它周围距离为1米的农作物分别是1株、2株、3株、4株棵树即
为相应的频数，然后利用加权平均数的计算方法列式进行计算即可得解；
（3）先求出图2的面积，根据图形查出与它周围距离为1米的农作物分别是1株、2株、
3株、4株棵树即为相应的频数，然后利用加权平均数的计算方法列式进行计算求出平
均每平方米的产量，然后与（2）的计算进行比较即可得解．
【解析】解（1）设y＝kx+b，
把x＝1，y＝21和x＝2，y＝18代入y＝kx+b得，
，
解得 ，
第 19 页 / 共 22 页则y＝﹣3x+24，
当x＝3时 y＝﹣3×3+24＝15，
当x＝4时 y＝﹣3×4+24＝12，
故y＝﹣3x+24是符合条件的函数关系；
（2）由图可知，y（千克）21、18、15、12的频数分别为2、4、6、3，
图1地块的面积： 4×4＝8（m2），
所以，平均每平方米的产量：（21×2+18×4+15×6+12×3）÷8＝30（千克 ）；
（3）图2地块的面积： 6×3＝9，
y（千克）21、18、15、12的频数分别为3、4、5、4，
所以，平均每平方米产量：（21×3+18×4+15×5+12×4）÷9＝258÷9≈28.67（千克），
∵30＞28.67，
∴按图（1）的种植方式更合理．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，
（2）（3）两个小题，理解“频数”的含义并根据图形求出相应的频数是解题的关键．
26．（10分）在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连
结CE，CP．已知∠A＝60°；
（1）若BC＝8，AB＝6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大
值．
（2）试探究当△CPE≌△CPB时，▱ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？
【微点】四边形综合题．
【思路】（1）延长PE交CD的延长线于F，设AP＝x，△CPE的面积为y，由四边形
ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到AB＝DC，AD＝BC，在直角三角
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直角边等于斜边的一半表示出AE与PE，由AD﹣AE表示出DE，再利用对顶角相等得
到∠DEF为30度，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出 DF，由两直线平行
内错角相等得到∠F为直角，表示出三角形CPE的面积，得出y与x的函数解析式，利
用二次函数的性质即可得到三角形CPE面积的最大值，以及此时AP的长；
（2）由△CPE≌△CPB，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到 BC＝CE，
∠B＝∠PEC＝120°，进而得出∠ECD＝∠CED，利用等角对等边得到ED＝CD，即三
角形ECD为等腰三角形，过D作DM垂直于CE，∠ECD＝30°，利用锐角三角形函数
定义表示出cos30°，得出CM与CD的关系，进而得出CE与CD的关系，即可确定出
AB与BC满足的关系．
【解析】解：（1）延长PE交CD的延长线于F，
设AP＝x，△CPE的面积为y，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝8，
∵Rt△APE，∠A＝60°，
∴∠PEA＝30°，
∴AE＝2x，PE x，
在Rt△DEF中，∠DEF＝∠PEA＝30°，DE＝AD﹣AE＝8﹣2x，
∴DF DE＝4﹣x，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴S PE•CF，
△CPE
即y x×（10﹣x） x2+5 x，
配方得：y （x﹣5）2 （0≤x≤4），
当x＝4时，y有最大值为12 ，
第 21 页 / 共 22 页即AP的长为4时，△CPE的面积最大，最大面积是12 ；
（2）当△CPE≌△CPB时，有BC＝CE，∠B＝∠PEC＝120°，
∴∠CED＝180°﹣∠AEP﹣∠PEC＝30°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴DE＝CD，即△EDC是等腰三角形，
过D作DM⊥CE于M，则CM CE，
在Rt△CMD中，∠ECD＝30°，
∴cos30° ，
∴CM CD，
∴CE CD，
∵BC＝CE，AB＝CD，
∴BC AB，
则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC AB．
【点拨】此题考查了四边形的综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，含30度直
角三角形的性质，平行线的判定与性质，以及二次函数的性质，是一道多知识点综合的
探究题．
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