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2024 年中考第三次模拟考试（全国通用卷）
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题
目
1．鲁班锁也叫八卦锁、孔明锁，是中国古代传统的土木建筑固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智
力玩具．如图1是拼装后的三通鲁班锁，如图2是拆解后的三通鲁班锁中的一块，则图2中木块的主视图
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查判断简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形，即可得答案，掌握主视图
是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形是解题关键．
【详解】观察可知，图2中木块的主视图如下：，
故选：A．
2．下列四个数中，最小的是（ ）
A．-3 B．0 C．-(-3) D．|-1.5|
【答案】A
【分析】本题主要考查的是比较有理数的大小，掌握比较有理数的大小的方法是解题的关键．根据正数大
于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小判断即可．
【详解】解：-(-3)=3，|-1.5|=1.5，
∵-3<0<|-1.5|<-(-3)，
∴最小的数是-3，
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A．3a+3a=3a2 B．a3 ⋅a2=a6
C．(-3a3 ) 2=-9a6 D．a6÷a3=a3
【答案】D
【分析】
本题考查了合并同类项及幂的运算，正确理解合并同类项法则及幂的运算法则是解题的关键．根据合并同
类项法则及幂的运算法则即可判断答案．
【详解】选项A，3a+3a=6a，所以A选项错误，不合题意；
选项B，a3 ⋅a2=a5，所以B选项错误，不合题意；
选项C，(-3a3
)
2=9a6，所以C选项错误，不合题意；
选项D，计算正确，符合题意．
故选D．
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放跳水比赛
B．一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，至
少有一个是红球
C．抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6
D．一个多边形的内角和为600°【答案】B
【分析】本题考查事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件
下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，由此
对每一项进行分析即可．
【详解】A，打开电视，可能播放跳水比赛，也可能不播放，因此该事件是随机事件；
B，一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，可
能是2个红球，也可能是1个红球和1个白球，因此至少有一个是红球，该事件是必然事件；
C，抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为可能是6，也可能不是6，因此该事件是随机事件；
16
D，设一个n边形的内角和为600°，则(n-2)⋅180°=600°，解得n= ，不是整数，因此这种情况不存
3
在，该事件是不可能事件；
故选B．
5．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠2=16°，则∠1的度数为
（ ）
A．30° B．45° C．60° D．44°
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质、多边形外角性质以及三角形内角和定理，构造三角形AGH是解决问题
的关键．
根据正六边形得到∠AFG=∠FAH=60°，利用三角形内角和求出∠G的度数，根据平行线的性质得出
∠1．
【详解】如图，延长BA交EG于点H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AFG=∠FAH=60°，
又∵∠GAH=∠2=16°，
∴∠GAF=∠FAH+∠GAH=76°，
∴∠G=180°-∠AFG-∠GAF=180°-60°-76°=44°，
又∵AG∥MF，∴∠1=∠G=44°；
故选：D．
6．如图，若x是整数，且满足¿，则x落在（ ）
A．段④ B．段③ C．段② D．段①
【答案】B
【分析】本题考查的是求一元一次不等式组的整数解，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然
后求出整数x的值，进而得到在数轴上的位置即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大
小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】¿
1
解不等式①得，x>
2
解不等式②得，x<2
1
∴不等式组的解集为： <x<2
2
∵x是整数，∴x=1.∴x落在段③．故选：B．
7．如图，△ABC中，若∠BAC=80°,∠ACB=70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是
（ ）
1
A．∠BAQ=40° B．DE= BD C．AF=AC D．∠EQF=25°
2【答案】D
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等
知识，解题的关键是读懂图象信息．
根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
【详解】解：A．由作图可知，AQ平分∠BAC，
1
∴∠BAP=∠CAP= ∠BAC=40°，故选项A正确，不符合题意；
2
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB=90°，
1
∵∠B=180°-80°-70°=30°，∴DE= BD，
2
故选项B正确，不符合题意；
C．∵∠B=30°,∠BAP=40°，∴∠AFC=70°，
∵∠C=70°，∴AF=AC，
故选项C正确，不符合题意；
D．∵∠EFQ=∠AFC=70°,∠QEF=90°，∴∠EQF=20°；
故选项D错误，符合题意．故选：D．
8．观察如图所标记的数据，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙两个四边形既是轴对称图形也是中心对称图形
B．甲只是中心对称图形，乙只是轴对称图形
C．甲只是轴对称图形，乙只是中心对称图形
D．甲是轴对称图形也是中心对称图形，乙只是中心对称图形
【答案】A
【分析】此题主要考查了菱形与矩形的判定，中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转
180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断
即可．
【详解】解：观察图形可得，图甲是菱形，图乙是矩形，
∴甲、乙两个四边形既是轴对称图形也是中心对称图形
故选：A．
9．如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中小正方形的顶点A、B、C在坐标轴上，点D为小正方形与y
k
轴的交点，顶点E在反比例函数y= (k≠0)的图像上，若S =1，则k的值为（ ）
x △ADF
94 96 98
A． B． C． D．24
5 5 5
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．作MN⊥x轴于点N，过点C作CM⊥MN于点M，先求
得每个小正方形的边长，再求得△ADF∽△ACG，△ECM∽△CAG，利用相似三角形的性质结合勾股定
理求得点E的坐标，据此求解即可．
【详解】解：作MN⊥x轴于点N，过点C作CM⊥MN于点M，如图所示：
∵DF∥CG，∴△ADF∽△ACG，∴ S △ADF = ( AF) 2 = (1) 2 = 1 ，
S AG 2 4
△ACG
∵S =1，
△ADF∴S =4，
△ACG
设“L”型模具中小正方形的边长为m，
1
则 m⋅2m=4，
2
解得：m=2负值舍去，
∴AC=√22+42=2√5，CE=2×2=4，BE=2×3=6，
∵∠ACM=∠CME=∠AGC=90°，
∴∠ECM+∠ACG=∠ACG+∠CAG=90°，
∴△ECM∽△CAG，
CM CE CM 4 8√5
∴ = ，即 = ，解得：CM= ，
AG AC 4 2√5 5
同理得：△CEM∽△EBN，
EN 6
EN EB = 12√5
∴ = ，即8√5 4，解得：EN= ，
CM CE 5
5
(8√5 12√5)
∴E , ，
5 5
8√5 12√5 96
∴k= × = ．故选：B．
5 5 5
10．如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地ABCD，墙角两边DC和DA足够长，用
总长28m的篱笆围成另外两边AB和BC．有下列结论：
①当AB的长是10m时，劳动基地ABCD的面积是180m2；
②AB的长有两个不同的值满足劳动基地ABCD的面积为192m2；
③点P处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙DC的距离是12m，到墙DA的距离是8m，如果这棵树
需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是196m2，最小值是160m2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，①求出BC的长，可直接计算面积；②设AB的长
是xm时，则BC=(28-x)m，根据题意列方程求解即可；③设AB的长是xm，ABCD的面积为ym2，根据
题意得到x的取值范围，再得到关于x的函数，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：①当AB的长是10m时，BC=28m-10m=18m，
劳动基地ABCD的面积是10×18=180m2，说法正确；
②设AB的长是xm时，则BC=(28-x)m，
若ABCD的面积为192m2，
则x(28-x)=192
x=12或x=16，说法正确；
③设AB的长是xm，ABCD的面积为ym2
由题意可得¿，解得：8≤x≤16，
∵y=x(28-x)=-(x-14) 2+196，
当x<14时，y随x的增大而增大，
∴当x=14时，面积有最大值196m2，
∵x=8时，面积为160m2，x=16时，面积为192m2，
∴面积的最小值为160m2，说法正确，
综上，3个说法都正确，故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．一本200页的书的厚度约为1.8cm，用科学记数法表示每一页纸的厚度，约为 cm．
【答案】9×10-3
【分析】200页的书，有200张纸组成，可以根据200张纸的总厚度，除以200，求出一页纸的厚度.求得
相应数值后进而表示为a×10-n即可．
【详解】解：1.8÷200=0.009=9×10-3 (cm)，故答案为：9×10-3．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数．
12．如图，若随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，则只能让一个灯泡发光的概率为 ．
1 2 31
【答案】
3
【分析】考查用树状图或列表法求等可能事件的概率，利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中
找到符合条件的结果数，进而求出概率．
【详解】用树状图表示所有可能出现的结果有：
由图可知一共有6种等可能性的结果数，其中只能让一个灯泡发光的结果数有2种，
2 1
∴只能让一个灯泡发光的概率为 = ．
6 3
1
故答案为： ．
3
13．如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与A´B交于点C，若OA=2，
则O´C的长为 ．
2 2π
【答案】 π/
3 3
【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，连接AC，CO，根据折叠性质可
得AD=DO，CD⊥AO，先证明△AOC为等边三角形，得到∠CAO=60°，再利用弧长公式即可求解．【详解】解：如图，连接AC，CO，
∵扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，
∴AD=DO，CD⊥AO，
又∵CA=CO，
又∵AO=CO，
∴AC=CO=AO=2，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠CAO=60°，
60π×2 2
∴l = = π．
C´O 180 3
2
故答案为： π．
3
14．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷
水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之
竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，
水柱落点距O点6m．现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为 m．
【答案】16
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发
生变化，则当喷头高5m时，可设y=ax2+bx+5，将(5,0)代入解析式得出5a+b+1=0；喷头高8m时，可
设y=ax2+bx+8；将y=ax2+bx+8代入解析式得36a+6b+8=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为1 2
hm时，水柱落点距O点8m，则此时的解析式为y=- x2+ x+h，将(8，0)代入可求出h．
3 3
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，即抛物线的二次项系数和
一次项系数不会发生变化，
当喷头高5m时，可设y=ax2+bx+5，
将(5,0)代入解析式得出25a+5b+5=0，
整理得5a+b+1=0①；
喷头高8m时，可设y=ax2+bx+8；
将(6,0)代入解析式得36a+6b+8=0②，
联立①②可求出¿，
设喷头高为hm时，水柱落点距O点8m，
1 2
∴此时的解析式为y=- x2+ x+h，
3 3
1 2
将(8，0)代入可得- ×82+ ×8+h=0，
3 3
解得h=16，
∴喷头高应调整为16m。故答案为：16．
1
15．如图所示，点A ，A ，A ，…在x轴上，点B ，B ，B ，…在直线y= x上．已知B O=B A ，
1 2 3 1 2 3 2 1 1 2
B A ⊥x轴，A B ∥A B ∥A B ，…，A B ∥A B ∥A B ，OA =1，则B 的坐标为 ．
1 1 2 1 3 2 4 3 1 1 2 2 3 3 1 4
【答案】(8,4)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相
关知识是解题关键．根据题意可知△B OA 为等腰三角形，OA =2OA =2，再证明△B OA 、
1 2 2 1 2 3
△B OA 均为等腰三角形，进而可得OA =8，即点B 的横坐标为8，即可获得答案．
3 4 4 4
【详解】解：∵B O=B A ，B A ⊥x轴，OA =1，
1 1 2 1 1 1
∴∠B OA =∠B A O，OA =2OA =2，
1 2 1 2 2 1
∵A B ∥A B ，
2 1 3 2
∴∠B A O=∠B A O=∠B OA ，
2 3 1 2 1 2∴B O=B A ，即△B OA 为等腰三角形，
2 2 3 2 3
∵A B ∥A B ，B A ⊥x轴，
1 1 2 2 1 1
∴B A ⊥x轴，
2 2
∴OA =2OA =4，
3 2
同理可得△B OA 为等腰三角形，B A ⊥x轴，B A ⊥x轴，
3 4 3 3 4 4
∴OA =2OA =8，即点B 的横坐标为8，
4 3 4
1 1
将x=8代入直线y= x，可得y= ×8=4，
2 2
∴B (8,4)．故答案为：(8,4)．
4
16．如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，D，E分别为边AB和AC的中点，现将△ADE绕点
A自由旋转，如图2，设直线BD与CE相交于点P，当AE⊥EC时，线段PC的长为 ．
【答案】√3-1或√3+1
【分析】由△ADE绕点A自由旋转可知有以下两种情况：①当点E在AC的右侧时，AE⊥CE，先证
△ABD和△ACE全等，进而可证四边形AEPD为正方形，然后求出PE=1，CE=√3，进而可得PC的长；
②当点E在AC的右侧时，AE⊥CE，同理①证△ABD和△ACE全等，四边形AEPD为正方形，进而得
PE=1，CE=√3，据此可求出PC的长，综上所述即可得出答案．
【详解】解：∵△ADE绕点A自由旋转，∴有以下两种情况：
①当点E在AC的右侧时，AE⊥CE，如图：
由旋转的性质得：∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC=2，D，E分别为边AB和AC的中点，∴AD=AE=1，
在△ABD和△ACE中，¿，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEC=90°，
∴四边形AEPD为矩形，
又AD=AE=1，
∴矩形AEPD为正方形，∴PE=AE=1，
在Rt△AEC中，AE=1，AC=2，∠AEC=90°，
由勾股定理得：CE=√AC2-AE2=√3，
∴ PC=CE-PE=√3-1；
②当点E在AC的右侧时，AE⊥CE，如图：
同理可证：△ABD≌△ACE(SAS)，四边形AEPD为正方形，
∴BD=CE，PE=AE=1，
在Rt△ABD中，AD=1，AB=2，∠ADB=90°，
由勾股定理的：BD=√AB2-AD2=√3，
∴ CE=BD=√3，
∴ PC=CE+PE=√3+1．
综上所述：当AE⊥EC时，线段PC的长为√3-1或√3+1．答案为：√3-1或√3+1．
三、解答题：(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每
小题9分,第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
( 1 ) x
17．先化简 x-1+ ÷ ，再从-1，0，√2中选取适合的数字求这个代数式的值．
x+1 x2+2x+1
【答案】x(x+1)，2+√2
【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法
法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x值代入计算即可求出值．( 1 ) x
【详解】解： x-1+ ÷
x+1 x2+2x+1
(x2-1 1 ) x
= + ÷
x+1 x+1 (x+1) 2
x2 (x+1) 2
= ⋅
x+1 x
=x(x+1)，
∵x≠0，x≠-1，
∴取x=√2，
当x=√2时，原式=√2(√2+1)=2+√2．
18．动感单车是一种新型的运动器材，这种运动器材的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B，C，
D在同一条直线上，测得∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=40cm，∠BDE=75°，其中一段支撑杆
CD=90cm，另一段支撑杆DE=80cm，求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（结果保留整数，
参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√3≈1.732）
【答案】支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是116cm
【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点D作DH⊥EF，垂足为H，过点B作BG⊥DH，垂足为G，
在Rt△ABC和Rt△DEH中，解直角三角形即可求解．
【详解】解：过点D作DH⊥EF，垂足为H，过点B作BG⊥DH，垂足为G，则四边形BGHF为矩形，
∴FH=BG，
在Rt△ABC中，∵ AB=40cm，∠A=30°，
1
∴∠ABC=60°，BC= AB=20cm，
2
∴∠DBG=30°，
∵CD=90cm，
∴BD=BC+CD=110cm，
∴BG=110×cos30°=55√3cm，
∴ FH=BG=55√3cm，
在Rt△DEH中，∠BDG=90°-30°=60°，∠EDH=75°-60°=15°，
∴∠EDH=sin15°×DE=80cm，
∴ EH=80×sin15°≈20.8cm，
∴ EF=EH+FH=55√3+20.8≈116cm，
答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是116cm．
19．关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2-2=0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-(2k-1)x+k2-2=0
有一个相同的根，求此时m的值．
9 3
【答案】(1)k≤ ；(2)m=
4 2
【分析】（1）根据Δ≥0，解不等式即可求解；
（2）求出k=2，解方程求出x=1或x=2，代入方程求出m的值即可；
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解和定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，
Δ=[-(2k-1)] 2 -4×1×(k2-2)=-4k+9≥0，
9
∴k≤ ；
4
9
（2）解：∵k≤ ，k是符合条件的最大整数，
4
∴k=2，
∴方程x2-(2k-1)x+k2-2=0为x2-3x+2=0，
解得x =1，x =2，
1 2
∵一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-(2k-1)x+k2-2=0有一个相同的根，
当x=1时，m-1+1+m-3=0，
3
解得m= ；
2
当x=2时，4(m-1)+2+m-3=0，
解得m=1，
∵m-1≠0，
∴m≠1，
∴m=1舍去；
3
∴m= ．
2
20．菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，若∠ABC=45°，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点
N．
1
(1)求证：OC= BN；
2
(2)若AB=4，求AN的长度．
【答案】(1)见解析(2)AN=4√2-4【分析】本题考查菱形性质，全等三角形性质与判定，等腰直角三角形判定及性质，勾股定理等．
（1）根据题意可得AC⊥BD，AC=2OC，AB=BC=CD=DA，继而得到∠MAC=∠OBC=22.5°，
再判定△BMN≌△AMC即可；
（2）过N作NH⊥AB于H，继而得到NM=NH，设NM=NH=x，即可得到△ABM与△AHN均为等
腰直角三角形，再利用勾股定理即可得到．
【详解】（1）解：∵菱形ABCD，∠ABC=45°，
∴AC⊥BD，AC=2OC，AB=BC=CD=DA，
∵∠DCO=∠ACB=67.5°，BD为菱形的对称轴，且∠OBC=22.5°，
∴∠ACB+∠MAC=90°=∠OBC+∠ACB，
∴∠MAC=∠OBC=22.5°，
∵∠ABM=45°，AM⊥BC，
∴∠BAM=45°=∠ABM，
∴BM=AM，∠BMN=∠AMC=90°，
∴△BMN≌△AMC，
1
∴BN=AC=2OC，即OC= BN.
2
（2）解：过N作NH⊥AB于H，
∵菱形ABCD，
∴BD平分∠ABC，
又∵NH⊥AB，AM⊥BC，
∴NM=NH，
设NM=NH=x，
∵∠ABC=45°，
∴△ABM与△AHN均为等腰直角三角形，
∵NM=NH=x=AH，AH2+H N2=AN2，AB2=AM2+BM2，
∴AN=√2x，
∴BM=AM=x+√2x=2√2，得x=4-2√2，
∴AN=4√2-4．21．某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下
列统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)完成表格；
平均数/分 中位数/分 方差/分❑ 2
甲 8.8 ①____________ 0.56
乙 8.8 9 0.96
②___________
丙 8 0.96
_
(2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；
(3)在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平
均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为s2，则s2____________0.56．（填“<”或“>
”或“=”）
【答案】(1)①9；②8.8(2)选甲，方差最小最稳定(3)<
【分析】本题主要考查了中位数，平均数，方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式解题关键．
（1）分别根据中位数、平均数的定义进行计算，即可得到答案；
（2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案；
（3）根据方差公式进行计算，再比较大小即可得到答案．
【详解】（1）解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8，
∴甲得分的中位数为9，
由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8，
1
∴丙得分的平均数为 [2×10+3×8]=8.8，
5
故答案为：9，8.8；
（2）解：选甲更合适．
因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲；
1 26
（3）解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为 (9+9+8)= ，
3 3
1[( 26) 2 ( 26) 2 ( 26) 2] 2
甲的方差s2为 9- + 9- + 8- = =0.2˙，
3 3 3 3 9
∴s2<0.56，
故答案为：<．
22．每年的3月12日是我国的植树节，某市园林局在3月12日当天安排甲、乙两个小组共种植220棵株
体较大的银杏树，要求在5小时内种植完毕．已知第1个小时两个小组共植树35棵，甲组植树过程中由于
起重机出故障，中途停工1个小时进行维修，然后提高工作效率，直到与乙组共同完成任务为止，设甲、
乙两个小组植树的时间为x（小时），甲组植树数量为y （棵），乙组植树数量为y （棵），y 、y
甲 乙 甲 乙
与x之间的函数关系图象如图所示．
(1)求y 与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
乙
(2)求m、n的值；
(3)直接写出甲、乙两个小组经过多长时间共植树165棵？
【答案】(1)y =20x(0≤x≤5)
乙
(2)m的值是120，n的值是15
(3)甲、乙两个小组经过4小时共植树165棵
【分析】本题考查了一次函数的应用等知识点，
（1）根据函数图象中的数据，可以计算出y 与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
乙
（2）根据函数图象中的数据，可以先计算出乙每小时植树的棵数，然后即可计算出n的值和m的值，再
写出n的实际意义即可；
（3）根据图象中的数据，可以计算出甲2小时后每小时植树的棵数，然后即可列出相应的方程，再解方程
即可；利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
【详解】（1）设y 与x之间的函数关系式是y =kx，
乙 乙
∵点(5,100)在该函数图象上，
∴100=5k，
解得k=20，
即y 与x之间的函数关系式是y =20x(0≤x≤5)．
乙 乙
（2）由图象可得，
乙每小时植树：100÷5=20（棵），
则第1个小时甲植树：35-20=15（棵），
∴n=15，m=220-100=120，
即m的值是120，n的值是15．
（3）设甲、乙两个小组经过a小时共植树165棵，
甲2小时之后每小时植树：(120-15)÷(5-2)=35（棵），
∴20a+15+35(a-2)=165，
解得a=4．
答：甲、乙两个小组经过4小时共植树165棵．
23．如图，在平面直角坐标系中，点A(4,0)，点B(1,√3)，点C在线段OA上．
(1)读下面的语句，并完成作图（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
①过点C作CD∥OB交AB于点D，延长CD并截取CE=OB；
②过点E作EF⊥CE，交x轴于点F．
(2)求证：△CEF≌△OBA．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）作DG⊥OA，利用正切函数的定义求得∠BOG=60°，∠BAG=30°，得到∠OBA=90°，再根
据ASA即可证明△CEF≌△OBA．【详解】（1）解：所作图形如图：
（2）证明：作DG⊥OA，垂足为G，
∵B(1,√3)，
∴OG=1，BG=√3，
BG
∴tan∠BOG= =√3，
OG
∴∠BOG=60°，
∵A(4,0)，
∴AG=OA-OG=3，
BG √3
∴tan∠BAG= = ，
AG 3
∴∠BAG=30°，
∴∠OBA=180°-60°-30°=90°，
∵CD∥OB，EF⊥CE，
∴∠BOA=∠ECF=60°，∠OBA=∠CEF=60°，
又CE=OB，
∴△CEF≌△OBA(ASA)．
【点睛】本题考查了尺规作图，正切函数的定义，全等三角形的判定，坐标与图形．解答本题的关键是明
确题意，找出所求问题需要的条件．
24．如图1，抛物线y=-(x-1) 2+c与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），且
OB=3．在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<3)，过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AM，若∠MAB=60°，求此时点E的坐标；
(3)如图3，连接BM并延长交y轴于点N，连接OM，记△AEM的面积为S ,△MON的面积为S ，若
1 2
S =S ，求此时点E的坐标．
1 2
(√13-1 )
【答案】(1)A(-1,0)，y=-x2+2x+3；(2)E(3-√3,0)；(3)E ,0 ．
2
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形：
（1）先求出B(3，0)，接着利用待定系数法求出对应的函数解析式，再根据对称性求出点A的坐标即可；
（2）点M坐标为(m,-m2+2m+3)，则ME=-m2+2m+3，求出AE=m+1，解直角三角形得到
ME=√3AE，则√3(m+1)=-m2+2m+3，解方程即可得到答案；
（3）设直线BM的表达式为y=sx+t，则¿，解得¿，则直线BM的表达式为y=(-m-1)x+3m+3，即可
得到点N坐标为(0,3m+3)，则ON=3m+3,AE=m+1，据此分别求出S ，S ，再由S =S 建立方程求
1 2 1 2
解即可．
【详解】（1）解：∵OB=3，
∴B(3，0)，
把B(3，0)代入y=-(x-1) 2+c中得：-(3-1) 2+c=0，
∴c=4，
∴抛物线解析式为y=-(x-1) 2+4=-x2+2x+3，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴A(-1，0)；
（2）解：由题意得点M坐标为(m,-m2+2m+3)，∴ME=-m2+2m+3
∵A(-1,0)，
∴AE=m+1，
∵∠MAB=60°，
ME
∴tan∠MAE= =√3，
AE
∴ME=√3AE，
∴√3(m+1)=-m2+2m+3，
∴m=-1（舍去）或m=3-√3，
∴E(3-√3,0)；
（3）解：由题意得点M坐标为(m,-m2+2m+3)
设直线BM的表达式为y=sx+t，
则¿，解得¿
∴直线BM的表达式为y=(-m-1)x+3m+3，当x=0时，y=3m+3，
∴点N坐标为(0,3m+3)，
∴ON=3m+3,AE=m+1
1 1
∵S = AE⋅y = (m+1)(-m2+2m+3)，
1 2 M 2
1 1 1
S = ON⋅x = ×(3m+3)×m=S = (m+1)(-m2+2m+3)，
2 2 M 2 1 2
∴3m(m+1)=(m+1)(-m2+2m+3)，
∴m+1=0或3m=-m2+2m+3，
±√13-1
解得m=-1（舍去）或m= （负值舍去）
2
(√13-1 )
∴E ,0 ．
2
25．如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠BAC=30°，点O为对角线AC上的动点（不与A、C重合），
以点O为圆心在AC下方作半径为2的半圆O，交AC于点E、F．(1)当半圆O过点A时，求半圆O被AB边所截得的弓形的面积；
(2)若M为E´F的中点，在半圆O移动的过程中，求BM的最小值；
(3)当半圆O与矩形ABCD的边相切时，求AE的长．
4
【答案】(1)半圆O被AB边所截得的弓形的面积为 π-√3
3
(2)当点M在BF上时，BM有最小值，最小值为2√3-2；
4√3
(3)AE的长为2或6- ．
3
【分析】（1）设半圆O与AB交于H，过点O作ON⊥AB于N，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质
可求AN=NH=2√3，∠AOH=2∠AON=120°，由扇形面积公式和三角形面积公式可求解；
（2）过点B作BP⊥AC于P，由题意可得点M在平行于AC且与AC的距离为1的直线上，则当点M在
BF上时，BM有最小值，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：如图1，设半圆O与AB交于H，过点O作ON⊥AB于N，
∵AO=2，∠BAC=30°，ON⊥AB，
∴ON=1，AN=√3ON=√3，∠AON=60°，
∵OA=OH，ON⊥AB，
∴AN=NH=√3，∠AOH=2∠AON=120°，
120°⋅π⋅4 1 4
∴半圆O被AB边所截得的弓形的面积= - ×2√3×1= π-√3；
360° 2 3
（2）解：如图2，过点B作BP⊥AC于P，∵BC=AD=4，∠BAC=30°，
∴AB=√3BC=4√3，AC=2BC=8，
∵BF⊥AC，∠BAC=30°，
1
∴BP= AB=2√3，
2
∵M为E´F的中点，
∴OM⊥AC，OM=2，
∴点M在平行于AC且与AC的距离为2的直线上，
∴当点M在BF上时，BM有最小值，即最小值=2√3-2；
（3）解：如图，当半圆O与AB相切于点G，连接OG，
∴OG⊥AB，OG=2，
∵∠CAB=30°，
∴AO=2OG=4，
∴AE=AO-OE=4-2=2；
当半圆O'与BC相切于点M，连接O'M，
∴O'M⊥BC，
∴O'M∥AB，
∴∠CO'M=∠CAB=30°，
2 4√3
∴O'C=2× = ，
√3 3
4√3 4√3
∴AE'=8-2- =6- ，
3 3
4√3
综上所述：AE的长为2或6- ．
3【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的性质，扇形面积公式，利用分类讨论思想解决
问题是本题的关键．
