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2024 年中考第三次模拟考试（全国通用卷）
数学·参考答案
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题
目
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A D B D B D A B D
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11． 9×10-3
1
12．
3
2π
13．
3
14．16
15． (8,4)
16．√3-1或√3+1
三、解答题：(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每
小题9分,第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
( 1 ) x
17．解： x-1+ ÷
x+1 x2+2x+1
(x2-1 1 ) x
= + ÷
x+1 x+1 (x+1) 2
x2 (x+1) 2
= ⋅
x+1 x
=x(x+1)，
∵x≠0，x≠-1，
∴取x=√2，
当x=√2时，原式=√2(√2+1)=2+√2．
18．解：过点D作DH⊥EF，垂足为H，过点B作BG⊥DH，垂足为G，则四边形BGHF为矩形，
∴FH=BG，
在Rt△ABC中，∵ AB=40cm，∠A=30°，
1
∴∠ABC=60°，BC= AB=20cm，
2
∴∠DBG=30°，
∵CD=90cm，
∴BD=BC+CD=110cm，
∴BG=110×cos30°=55√3cm，
∴ FH=BG=55√3cm，
在Rt△DEH中，∠BDG=90°-30°=60°，∠EDH=75°-60°=15°，
∴∠EDH=sin15°×DE=80cm，
∴ EH=80×sin15°≈20.8cm，
∴ EF=EH+FH=55√3+20.8≈116cm，
答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是116cm．
19．（1）解：由题意可得，
Δ=[-(2k-1)] 2 -4×1×(k2-2)=-4k+9≥0，
9
∴k≤ ；
4
9
（2）解：∵k≤ ，k是符合条件的最大整数，
4
∴k=2，
∴方程x2-(2k-1)x+k2-2=0为x2-3x+2=0，
解得x =1，x =2，
1 2∵一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-(2k-1)x+k2-2=0有一个相同的根，
当x=1时，m-1+1+m-3=0，
3
解得m= ；
2
当x=2时，4(m-1)+2+m-3=0，
解得m=1，
∵m-1≠0，
∴m≠1，
∴m=1舍去；
3
∴m= ．
2
20．（1）解：∵菱形ABCD，∠ABC=45°，
∴AC⊥BD，AC=2OC，AB=BC=CD=DA，
∵∠DCO=∠ACB=67.5°，BD为菱形的对称轴，且∠OBC=22.5°，
∴∠ACB+∠MAC=90°=∠OBC+∠ACB，
∴∠MAC=∠OBC=22.5°，
∵∠ABM=45°，AM⊥BC，
∴∠BAM=45°=∠ABM，
∴BM=AM，∠BMN=∠AMC=90°，
∴△BMN≌△AMC，
1
∴BN=AC=2OC，即OC= BN.
2
（2）解：过N作NH⊥AB于H，
∵菱形ABCD，
∴BD平分∠ABC，
又∵NH⊥AB，AM⊥BC，
∴NM=NH，
设NM=NH=x，∵∠ABC=45°，
∴△ABM与△AHN均为等腰直角三角形，
∵NM=NH=x=AH，AH2+H N2=AN2，AB2=AM2+BM2，
∴AN=√2x，
∴BM=AM=x+√2x=2√2，
得x=4-2√2，
∴AN=4√2-4．
21．（1）解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8，
∴甲得分的中位数为9，
由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8，
1
∴丙得分的平均数为 [2×10+3×8]=8.8，
5
故答案为：9，8.8；
（2）解：选甲更合适．
因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以
选甲；
1 26
（3）解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为 (9+9+8)= ，
3 3
1[( 26) 2 ( 26) 2 ( 26) 2] 2
甲的方差s2为 9- + 9- + 8- = =0.2˙，
3 3 3 3 9
∴s2<0.56，
故答案为：<．
22．（1）设y 与x之间的函数关系式是y =kx，
乙 乙
∵点(5,100)在该函数图象上，
∴100=5k，
解得k=20，
即y 与x之间的函数关系式是y =20x(0≤x≤5)．
乙 乙
（2）由图象可得，
乙每小时植树：100÷5=20（棵），
则第1个小时甲植树：35-20=15（棵），
∴n=15，m=220-100=120，即m的值是120，n的值是15．
（3）设甲、乙两个小组经过a小时共植树165棵，
甲2小时之后每小时植树：(120-15)÷(5-2)=35（棵），
∴20a+15+35(a-2)=165，
解得a=4．
答：甲、乙两个小组经过4小时共植树165棵．
23．（1）解：所作图形如图：
（2）证明：作DG⊥OA，垂足为G，
∵B(1,√3)，
∴OG=1，BG=√3，
BG
∴tan∠BOG= =√3，
OG
∴∠BOG=60°，
∵A(4,0)，
∴AG=OA-OG=3，
BG √3
∴tan∠BAG= = ，
AG 3
∴∠BAG=30°，
∴∠OBA=180°-60°-30°=90°，
∵CD∥OB，EF⊥CE，
∴∠BOA=∠ECF=60°，∠OBA=∠CEF=60°，
又CE=OB，
∴△CEF≌△OBA(ASA)．
24．（1）解：∵OB=3，
∴B(3，0)，
把B(3，0)代入y=-(x-1) 2+c中得：-(3-1) 2+c=0，∴c=4，
∴抛物线解析式为y=-(x-1) 2+4=-x2+2x+3，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴A(-1，0)；
（2）解：由题意得点M坐标为(m,-m2+2m+3)，
∴ME=-m2+2m+3
∵A(-1,0)，
∴AE=m+1，
∵∠MAB=60°，
ME
∴tan∠MAE= =√3，
AE
∴ME=√3AE，
∴√3(m+1)=-m2+2m+3，
∴m=-1（舍去）或m=3-√3，
∴E(3-√3,0)；
（3）解：由题意得点M坐标为(m,-m2+2m+3)
设直线BM的表达式为y=sx+t，
则¿，解得¿
∴直线BM的表达式为y=(-m-1)x+3m+3，当x=0时，y=3m+3，
∴点N坐标为(0,3m+3)，
∴ON=3m+3,AE=m+1
1 1
∵S = AE⋅y = (m+1)(-m2+2m+3)，
1 2 M 2
1 1 1
S = ON⋅x = ×(3m+3)×m=S = (m+1)(-m2+2m+3)，
2 2 M 2 1 2
∴3m(m+1)=(m+1)(-m2+2m+3)，
∴m+1=0或3m=-m2+2m+3，
±√13-1
解得m=-1（舍去）或m= （负值舍去）
2(√13-1 )
∴E ,0 ．
2
25．（1）解：如图1，设半圆O与AB交于H，过点O作ON⊥AB于N，
∵AO=2，∠BAC=30°，ON⊥AB，
∴ON=1，AN=√3ON=√3，∠AON=60°，
∵OA=OH，ON⊥AB，
∴AN=NH=√3，∠AOH=2∠AON=120°，
120°⋅π⋅4 1 4
∴半圆O被AB边所截得的弓形的面积= - ×2√3×1= π-√3；
360° 2 3
（2）解：如图2，过点B作BP⊥AC于P，
∵BC=AD=4，∠BAC=30°，
∴AB=√3BC=4√3，AC=2BC=8，
∵BF⊥AC，∠BAC=30°，
1
∴BP= AB=2√3，
2
∵M为E´F的中点，
∴OM⊥AC，OM=2，
∴点M在平行于AC且与AC的距离为2的直线上，
∴当点M在BF上时，BM有最小值，即最小值=2√3-2；
（3）解：如图，当半圆O与AB相切于点G，连接OG，∴OG⊥AB，OG=2，
∵∠CAB=30°，
∴AO=2OG=4，
∴AE=AO-OE=4-2=2；
当半圆O'与BC相切于点M，连接O'M，
∴O'M⊥BC，
∴O'M∥AB，
∴∠CO'M=∠CAB=30°，
2 4√3
∴O'C=2× = ，
√3 3
4√3 4√3
∴AE'=8-2- =6- ，
3 3
4√3
综上所述：AE的长为2或6- ．
3
