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2024 年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各图中， 与 是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，准确识图，熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键，根据对顶
角的定义对各选项中的 与 逐一进行判断即可得出答案．
【详解】解：A．图中的 与 不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意；
B．图中的 与 不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意；
C．图中的 与 符合对顶角的定义，它们是对顶角，故选项符合题意；
D．图中的 与 不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意．
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A． ＝ B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，化简二次根式，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相
关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、 和 不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算正确，符合题意；D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
3．已知点 的坐标为 ，则点 关于 轴对称的点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了关于 轴对称点的性质：关于 轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，
正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．根据关于 轴对称点的性质判断即可得答案．
【详解】解：∵关于 轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，
∴点 关于 轴对称点坐标为 ；
故选：A．
4．如图， 与 相交于点O， ，不添加辅助线，判定 的依据是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 ， ， 正好是两边一夹角，即可得出答案．
【详解】解：∵在△ABO和△DCO中， ，
∴ ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形
全等，是解题的关键．5．若反比例函数 的图象经过点 ，则k的值为（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．把点 代入函数解析式来求k的值即可．
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
解得 ，故选：C．
6．如图， 是 的内接三角形，若 ，则 的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴
故选：C．
7．一个多边形的内角和是 ，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式解答即可．
【详解】设边数为 ，根据题意，得
，
解得 ．
∴这个多边形为六边形，故选：B．
8．水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），
数据为：10，5，6，8，9，9，7，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．9，8 B．9，9 C．8.5，9 D．8，9
【答案】A
【分析】本题考查了众数和中位数的定义，根据众数和中位数的定义解答即可．
【详解】解：数据为：10，5，6，8，9，9，7，从小至大排列为 ，
故这组数据的众数和中位数分别是9，8．
故选：A．
9．如图，在 中， ， ， 是 的角平分线．若 ，则 的长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件可知 ，根据含 角的直角三角形的性质可得 的长，再证明
即可．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，角平分线的定义等知识．熟练掌握这些性质和定义
是解题的关键．
10．我校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．体
育汤老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买
的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是 个，根据
“篮球的单价比足球的单价多20元”列出方程即可，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出
方程．
【详解】设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是 个，
根据题意得： ，
故选：C．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A，B，C在坐标轴上，若点C的坐标为 ，
，则点D的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出 ，根据直角三角形的性质得出 的长，进而利用菱形的性质得出点的坐标即可．
【详解】解：∵菱形 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴
故选：B．
【点睛】此题考查菱形的性质，勾股定理，关键是根据菱形的性质得出 解答．
12．如图，点 P 是正方形 内部的一个动点，且 是以 为底边的等腰三角形，连接 ，
， ，有下列结论：
① ② ;③当 时， ;④当 时，
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等
知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．由正方形的性质和等边三角形的性质可得 ，
，可得 ，①正确，再根据 是等边三角形，即可得出③不正确，④
正确
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
∵ 是等腰三角形，
∴
∴故①正确；
当 三点在同一条直线上时， 故②不正确；
当 时，
∵
∴
∴ 是等边三角形，
，
，
，故③不正确；
当 时，设
∵
∴
∴ 是等边三角形，过点 作 于点 ， 于点 ，
，
，
四边形 是矩形，
，
， ，
∴
∴∴ 故④正确，
综上所述：①④．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分）
13．要使分式 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为 ”是解本题的关键．由分式 有意
义，可得 ，再解不等式即可得到答案．
【详解】解： 分式 有意义，
，
解得： ，
故答案为： ．
14．已知点 ， 在直线 上，且 ，则 ·（填“ ”“ ”或“
”）
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当 时，y随x的增大而减小，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
15．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式 ，计算即可．
【详解】∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
16．如图，点C在线段 上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线
段 的“巧分点”． 已知 ，点C是线段 的“巧分点”，则 .
【答案】2或4或3
【分析】本题考查了线段上两点间的距离，当点C是线段AB的“巧分点”时，可能有 、
和 三种情况，分类讨论计算即可．分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．
【详解】解：当点 是线段 的“巧分点”时，可能有 、 、
三种情况，
① 时， ，
② 时， ，
③ 时， ．
故答案为：2或4或3．
17．如图，在矩形 中，E是边 的中点，连接 交对角线 于点F，若 ，则
的长为 ．【答案】 /
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，先利用勾股定理求出对角线 的
长，再证明 ，根据对应边成比例即可求出 的长．
【详解】解： 四边形 是矩形， ，
， ， ，
，
E是边 的中点，
，
，
， ，
，
，
，
解得 ，故答案为： ．
18．如图，已知 在边长为1的小正方形的格点上， 的外接圆的一部分和 的边 组
成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点 ，则点 为 的外接圆的圆心，
先求出 ，再根据 求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解 ：取格点 ，则点 为 的外接圆的圆心，如图：
由网格可知， ，
，
∵
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（满分6分）计算： ．
【答案】6
【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减．
【详解】解：
．
20．（满分6分）解方程∶
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解法是解决问题的关键．本题中，运用公式法求解即可．
【详解】解： ．
，∴原方程的根为 ．
21．（满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为
，请按下列要求画图：
（1）将 先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长 度，
得到 ，画出 ，并写出点 的坐标；
（2）以点A为位似中心将 放大2倍，得到 ，画出
并写出点B 的坐标．
2
【答案】（1）见解析， ；（2）见解析，
【分析】根据平移的定义“把一个图形整体沿某一直线方向移动， 会得到一个新的图形，新图形与原图
形的大小和形状完全相同”即可得；
根据位似图形的定义“一般得，如果一个图形上的点 ， ，…， 和另一个图形上的点A，B，…，P
分别对应，并且满足①直线 ， ，…， 都经过同一点O；② ”即可得．
【详解】（1）根据题意可得：
∴ ；
（2）如图所示：以点A为端点作射线AC，AB；分别在射线上取 ， ，使 ，连接 ，
， ，即可得 ；
∴ ．【点睛】本题考查了作图—平移变换，作图—位似变换，
解题的关键是掌握平移作图方法和图形位似的作图方法．
22．（满分10分）某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取
了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A.“艺术类”，B.“文学类”，C.“科普类”，D.“体育
类”，E.“其他类”．每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不
完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题；
(1)求此次调查的学生人数；
(2)请直接补全条形统计图；
(3)求扇形统计图中A.“艺术类”所对应的圆心角度数；
(4)根据抽样调查结果，请你估计该校1200名学生中有多少名学生最喜爱C.“科普类”图书．
【答案】(1)100名
(2)见解析
(3)
(4)估计该校1200名学生中，大约有480名学生最喜爱C“科普类”图书
【分析】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解
决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大
小．
（1）用B的人数除以对应百分比可得样本容量；
（2）用样本容量减去其它四类的人数可得D类的人数，进而补全条形统计图；
（3）用 乘A“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；
（4）用总人数乘样本中C类所占百分比即可．
【详解】（1）解：此次被调查的学生人数为： （名）；
（2）
D类的人数为： （名），
补全条形统计图如下：
（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是： ；
（4） （名），
答：估计该校1200名学生中，大约有480名学生最喜爱C“科普类”图书．
23．（满分10分）如图， 是 的外接圆，点 在 边上， 的平分线交 于点 ，连接
、 ，过点 作 的平行线与 的延长线相交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)当 ， 时，求 和 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3) ，
【分析】（1）先判断出 ，进而判断出 ，得出 即可得出结论；（2）先判断出 ，再判断出 ，即可得出结论；
（3）先求出 ，再判断出 ，利用勾股定理求出 ，最后用 得出比例式
求解即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，
是 的直径，
，
平分 ，
，
，
，
∵ ，
，
，
是 半径，
是 的切线；
（2）证明：∵ ，
，
，
，
， ，
，
；
（3）解： 是 的直径，
，
在 中， ，
平分 ，
，
，
，
在 中， ，，
，
，
．
过点 作 于点 ，如图2，
，
，
根据勾股定理可得： ，
．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和
性质，同角的余角相等，判断出 是解本题的关键．
24．（满分10分）如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线 与 相交于点 ，与 相交
于点 ，与 相交于点 ，连接 、 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 长为5
【分析】此题主要考查了菱形的判定，以及勾股定理的应用和矩形的性质．
（1）根据矩形性质求出 ，推出 ， ，证 ，推出
，得出平行四边形 ，推出菱形 ；
（2）根据菱形性质求出 ，在 中，根据勾股定理得出 ，即可列方程
求得．【详解】（1） 四边形 是矩形
∴ ， ，
， ，
在 和 中
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是菱形；
（2） 四边形 是菱形，
，
设 长为 ，则 ，
在 中，
即 ，
解得： ，
答： 长为5．
25．（满分10分）如图，正方形 的边长是4，M是 的中点，动点 在线段 上运动，连接
并延长交射线 于点 ，过点 作 的垂线交射线 于点 ，连接 ， ．(1)求证： 是等腰三角形．
(2)设 ， 的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
(3)在点 运动过程中， 是否可能成为等边三角形？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)不可能，理由见解析
【分析】（1）由四边形 是正方形，正方形的四个边相等且对边平行，四个角都是直角，证明
，从而可得出结论．
（2）设 时， 的面积为 ，有两种情况，当点 与点 重合时，即 时，可求出 的值，
当点 不与点 重合时， ，根据条件可证明 ，根据相似三角形的对应边成比
例，可得出函数式．
（3）不可能，因为 ， 所以 ，所以不可能是等边三角形．
【详解】（1）证明： 四边形 是正方形，
，
在 和 中，
又 ，
故 是等腰三角形；
（2）解：当点 与点 重合时，如图所示，，
当点 不与点 重合时，
在 中 ， ，
过 作 ，垂足为
则 ， ，
即；
（3）解：不可能，
在 中
不可能是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质定理，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质
定理，解题的关键是掌握以上知识点．
26．（满分10分）（1）（教材呈现）如图，在 中，点 、 分别是 与 的中点，结论：
． ．
（2）（结论应用）如图1，四边形 中， ， 、 、 分别是 、 、 的中点，若
＝ ， ＝ ，求 的度数．
（3）如图2，在 外分别作正方形 和 ． 是 的中点， ， 分别是正方形的中心，
， ，则 的面积最大值为多少？
【答案】（1）见解析；（2） ＝ ；（3） 的面积的最大值为
【分析】（1）利用相似三角形的性质证明即可；
（2）由三角形的中位线定理可得 ， ， ，由平行线的性质和等腰
三角形的性质可求解；
（3）由“ ”可证 ，可得 ，由三角形中位线定理可证
是等腰直角三角形，可得 的面积 ，则当 有最大值时， 的面积有最大值，即可求
解．【详解】（1）证明：∵点 分别是 与 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 且 ．
（2）∵ 分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图2，连接 交于点 与 与点 ，连接 ，
在正方形 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 分别是正方形的中心，∴点 在 上，点 在 上，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 的面积 ，
∴当 有最大值时， 的面积有最大值，
∵ ，
∴当 有最大值时， 有最大值，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积的最大值为 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性
质，等腰三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
