文档内容
2024 年中考第一次模拟考试(南京卷)
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的）
1．下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，幂的乘方法则，完全平方公式计算即可．
【详解】解：A． 与 不是同类项，不可以合并，故错误；
B． ，故原计算错误；
C． ，原计算正确；
D． ，故原计算错误；
故选：C．
2．下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了算术平方根及立方根．根据算术平方根及立方根进行求解即可．
【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意；B、 ，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项符合题意；
故选：D．
3．若关于x的一元一次不等式 的解为 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
根据不等式的性质可知，两边同时除以 ，不等式的符号发生改变，可知 ，求解即可．
【详解】解： 关于x的一元一次不等式 的解为 ，
，
．
故选：A．
4．若 ， 这两个不同点在y关于x的一次函数 图象上，当（ ）时，
．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质知，当 时，判断出y随x的增大而减小．此题考查了一次函数图象上点
的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理是关键．
【详解】解：∵ ， 是一次函数 图象上的两个不同点，且 ，
∴ 与 是异号，
∴该函数y随x的增大而减小，
∴ ，
解得 ．
故选：C．5．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次
游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影
的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．减少 米 B．增加 米 C．减少 米 D．增加 米
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图，点 为光源， 表示小明的手， 表示小狗手影，则 ，过点 作
，延长 交 于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵ 米， 米，则 米，
∴ ，
设 ，
∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，
即 ， ， 米，∴ ，
则 ，
∴ 米，
∴光源与小明的距离变化为： 米，
故选：A．
6．如图，在 中， ．分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交
于点D，E，作直线 分别交 于点 ．以G为圆心， 长为半径画弧，交 于点H，连结
．则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据基本作图得到 垂直平分 ， ，再根据线段垂直平分线的性质得到 ，
， ，于是可对 选项进行判断；通过证明 为 的中位线得到 ，所以
，则可计算出 ，则 ，于是可对 选项进行判断；通过证明 ，
利用相似比得到 ，然后利用 ，设 ， ，得 ，解
之得 ，再计算出 ， 可对C、D选项进行判断．
【详解】由作法得 垂直平分 ， ，， ， ，所以 选项正确，不符合题意；
， ，
为 的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，所以 选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
， ，
，
，
，
设 ， ，得 ，
解之得 （负舍），
∴
∴ ，
，故C选项不正确，符合题意；
，
∴ ．
所以D选项正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7．分式 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为 是解题的关键．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
8． 年 月 日 时 分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作
为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超
次，将数据 用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： ，
故答案为： ．
9．因式分解： ．【答案】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【详解】解：
，
故答案为： ．
10．已知 ，代数式 ．
【答案】
【分析】本题考查配方法的应用，解题的关键是掌握 ，把 变形为：
，再代入代数式，即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
11．如图，在 中， 平分 ，交 于点F， 平分 ，交 于点E， ，
，则 长为 .【答案】3
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四
边形的性质，得出 是解题的关键．
根据平行四边形的对边平行且相等可得 ， ， ；根据两直线平行，内错
角相等可得 ；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角
的平分线可得 ；推得 ，根据等角对等边可得 ， ，即
可列出等式，求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
同理可证： ，
∵ ，
即 ，
解得： ；
故答案为：3．
12．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 都在反比例函数 的图象上，延长 交 轴于点 ，
过点 作 轴于点 ，连接 ．若 ， 的面积是2，则 的值为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，过点B作 于E，设，先求出 ，证明 ，得到 ，即 ，由此可得
；由 的面积是2， ，得到 ，求出 ，则
，即可得到 ．
【详解】解：如图所示，过点B作 于E，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ；
∵ 的面积是2， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．13．如图，四边形 是正方形，顶点B在抛物线 的图象上，若正方形 的边长为
，且边 与y轴的负半轴的夹角为 ，则a的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特殊角，应用特
殊三角函数值进行求解是解题的关键．连接 ，过B作 轴于D，则 ，可得
，再由直角三角形的性质可得 的长，进而得到点 ，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，过B作 轴于D， 则 ，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∵正方形 的边长为 ，
∴ ，
∴在 中，
∴ ，∴ ，
∴点 ，
代入 中，得： ，
∴故答案为： ．
14．如图，在 中， ，将 绕点 旋转到 的位置，其中点
与点 对应，点 与点 对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么 的正切值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正切函数的定义，旋转的性质和勾股定理．作 于点 ，利用旋转的性质以及
面积法和勾股定理求得 ， ，解得 ，再利用由旋转的性质求得 ，据
此求解即可．
【详解】解：作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
由旋转的性质得， ， ， ，
由题意得 ，
解得 ，
∴ ，∵ ，
解得 ，
∴ ，
由旋转的性质得， ，则 ，
∴ 的正切值 ，
故答案为： ．
15．如图，在平面直角坐标系中， 与y轴相切于点A，与x轴交于点B、C，连接 并延长交 于点
D，交y轴于点E，连接 并延长交x轴于点F，已知点D的坐标为 ，则点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】作 于点G，连接 ， ，利用切线性质推出 ，推出 得出
为 的中位线，进而推出 ，得到 ， ，根据D的坐标得到
， ，利用圆周角定理的推论，推出 ，得到 ，即可求出B坐标．
【详解】解：如图，作 于点G，连接 ， ，与y轴相切于点A，
，
，
，
，
，
，
即 ，
为 的中位线，
，
， ，
，
， ，
点D的坐标为 ，
， ，
， ，
是直径，
，
，
，，
，
，
，
，
的坐标为 ，
故答案为： ．
16．如图，把 置于平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 是
内切圆的圆心．将 沿 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与 轴重合，第一次滚动后圆
心为 ，第二次滚动后圆心为 ，…，依此规律，第2023次滚动后， 内切圆的圆心 的坐标是
．
【答案】
【分析】作 交 于 ， 交 于 ， 交 于 ，连接 、 、 ，由 、
的坐标得出 ， ，由勾股定理可得 ，再由内切圆的性质可得 ，设
，根据三角形的面积计算出 ，从而得到 ，根据旋转可得出 的坐标为：
，即 ，设 的横坐标为 ，根据切线长定理可得： ，即可得到 的坐标，从
而得到每滚动3次为一个循环，最后根据 ，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作 交 于 ， 交 于 ， 交 于 ，连接 、 、
，，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
，
点 是 内切圆的圆心， ， ， ，
，
设 ，
， ，
，
解得： ，
，
将 沿 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与 轴重合，第一次滚动后圆心为 ，第二
次滚动后圆心为 ，
由图可得 的坐标为： ，即 ，
设 的横坐标为 ，
根据切线长定理可得： ，
解得： ，
，
的坐标为 ，即 ，每滚动3次为一个循环，
，
第2023次滚动后 内切圆的圆心 的横坐标是： ，即 的横坐标是
8093，
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）已知 ，求代数式 的值．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
18．（7分）已知实数x，y满足 ，求 的值．
【详解】解： ，
① ②得： ，解得 ，
将 代入①式，解得 ，
．
19．（8分）2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．帝都南阳与名将岳飞有着一段
传颂至今的历史——公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，
为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”．
某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批
每个挂件的进价是第二批的 倍，且第二批比第一批多购进25个．
(1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为
每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，
求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
【详解】（1）解答：解：(1）设第二批每个挂件进价是每个x元，
根据题意得
解得 ，
经检验， 是原方程的解，也符合题意，
∴ ，
答：第二批每个挂件进价是每个40元；
（2）设每个挂件售价定为m元，每周可获得利润W元，
∵每周最多能卖90个，
∴ ，解得 ，
根据题意得 ，
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴当 时，W取最大，此时 ．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
20．（8分）北京时间 年 月3日，瑞典皇家科学院宣布，将诺贝尔物理学奖授予皮埃尔·阿戈斯蒂尼、
费伦茨·克劳什、安妮·卢利耶．这3位获得者所做的实验，为人类探索原子和分子内部的电子世界提供了
新的工具．在诺贝尔奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别
是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．小轩家刚好有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中
传》《高锟传》四本传记书，小轩阅读完后任选一本写读后感．
(1)小轩选到《朱棣文传》是________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）
(2)小轩的妹妹也从这四本传记书中任选一本写读后感，请用列表或画树状图的方法，求他们恰好选到同一
本书写读后感的概率．
【详解】（1）解：∵小轩家有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书，
∴小轩选到《朱棣文传》是不可能事件，
故答案为：不可能；
（2）解：由题意可得，树状图如图所示，
总共有 种情况，他们恰好选到同一本书的有4种，∴ ．
21．（8分）2023年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书先去实施方案》，某校为落实该
方案，成立了四个主题阅读社团：A．民俗文化，B．节日文化，C．古曲诗词，D．红色经典．学校规定：
每名学生必须参加且只能一个社团．学校随机对部分学生选择社团的情况进了调查．下面是根据调查结果
绘制的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次随机调查的学生有 名，在扇形统计图中“A”部分圆心角的度数为 ；
(2)通过计算补全条形统计图；
(3)若该校共有1800名学生，请根据以上调查结果，估计全校参加“D”社团的人数．
【详解】（1）本次调查的总人数 （名），
扇形统计图中，C所对应的扇形的圆心角度数是 ，
故答案为：60， ；
（2） （人）；
补全条形统计图如答案图所示．
（3） （名）．
答：全校1800名学生中，参加“D”活动小组的学生约有540名．22．（8分）如图，在矩形 中，E是 的中点， ，垂足为F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形四边形 是矩形， ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
23．（8分）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装
了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷 长为4米，与墙面 的夹角 ，靠墙端A
离地高 为3米，当太阳光线 与地面 的夹角为 时，求阴影 的长．（结果精确到 米；参
考数据： ）【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴阴影 的长为 ．
24．（8分）如图， 是 的直径，点 是 的中点，过 作弦 ，连接 ， ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)若点 是 的中点，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，若 的半径为2，求线段 的长．
【详解】（1）证明：如图，连接 、 ,∵ 是 的直径， ，
∴ ,
∴ ,
∵点 是 的中点， ，
∴ 是 的中垂线，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：如图，连接 ，
∵ 的半径为 ，点 是 的中点，
∴ ，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，即 ，
则 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
25．（8分）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启
航阶段和途中阶段龙舟划行总路程 与时间 的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为
；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟
划行总路程 与时间 的函数表达式为 ．
(1)求出启航阶段 关于 的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
①当 时，求出此时龙舟划行的总路程，
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时， 视为达标，请说明该龙舟队能否达标；(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成
训练所需时间（精确到0.01s）．
【详解】（1）把 代入 得 ，
解得 ，
启航阶段总路程 关于时间 的函数表达式为 ；
（2）①设 ，把 代入，得 ，
解得 ，
．
当 时， ．
当 时，龙舟划行的总路程为 ．
② ，
把 代入 ，
得 ．
，
该龙舟队能达标．
（3）加速期：由（1）可知 ，
把 代入 ，
得 ．
函数表达式为 ，
把 代入 ，
解得 ．
，
．
答：该龙舟队完成训练所需时间为 ．
26．（9分）如图，在 中， ， ， ，点D是斜边 的中点，点 是边的中点，连接 ，点P为线段 上一点，作点 关于直线 对称点 ，连接 ，设 长为
．
(1) 的长为 ．
(2)求 长度（用含x的代数式表示）．
(3)当点F落在直线 上时，求x的值．
(4)当直线 与 的边 或 垂直时，直接写出x的值．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵点D是斜边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴由轴对称的性质可得
（3）解：如图，当点F落在直线 上时，
∵点E是边 的中点，∴ ，
∵D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由轴对称的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
解得 ；
（4）解：当 时，延长 交 于点G，
在 中， ，
∴ ，
由轴对称的性质可得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得 ；
当 时，延长 交 于点M，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 中，
∴
∵在 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ．
综上所述，x的值为1或3．27．（9分）如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，点 的坐标为 ，点 是双曲
线第一象限分支上的一点，连接 并延长交 轴于点 ，且 ．
(1)求 的值并直接写出点 的坐标；
(2)点 是 轴上的动点，连接 ， ，求 的最小值；
(3)点 是直线 上一个动点，是否存在点 ，使得 与 相似，若存在，求出此时点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【详解】（1）将 代入直线 中，
得 ，
解得： ，
，
，
∴反比例函数解析式为 ，
由 ，
解得 或 ，
∴点B的坐标为 ；
（2）如图，作 轴于点E， 轴于点F，则 ，，
，
，
，
，
∴ ，
，
，
，
∵点C在反比例函数 图象上，
，
作点B关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于点G，则 即为 的最小值，
， ，
，
的最小值为 ；
（3）根据点 是直线 ： 的上一个动点，则设点 ，
∵ ， ，∴ ， ， ，
在（2）中有： ，
∴ ，即 ，
， ，
， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
当 时，如图，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，结合图象有 ，
∴ ，
∴ ，解得： ，此时点 ；
当 时，如图，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ， ，
当 时，点P在点B右侧，此时 是钝角三角形，不可能与 相似，
故舍去；
当 时，点 ；
综上：满足条件的点P的坐标为： 或者 ．
