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2024 年中考第一次模拟考试
数学·参考答案
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．
1 2 3 4 5 6 7 8
B A D A B C C A
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．
10．
11．
12．6
13．3
14．3
15．5
16．86；38
三、解答题（共68分，17~20题，每题5分，21题6分，22~23题，每题5分，24~26题，每题6分，
27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）【详解】解：原式 ....................（3分）
．....................（5分）
18．（5分）【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，....................（3分）∴不等式组的解集为 ．....................（5分）
19．（5分）【详解】原式
，....................（3分）
∵ ，
∴ ，
原式 ．....................（5分）
20．（5分）【详解】（1）∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，....................（1分）
解得： ，
∴ 的取值范围是 ；....................（3分）
（2）设 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，
则 ，....................（4分）
解得： ．....................（5分）
21．（6分）【详解】（1）解： 是等腰直角三角形，
，....................（1分）
由旋转的性质可得： ， ，
，即 ，
，....................（2分）
，
，
；....................（3分）
（2）解：由（1）可知， ，，....................（4分）
，
，
，....................（5分）
在 中，根据勾股定理 ．....................（6分）
22．（5分）【详解】解：（1）甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩
由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和81.5
∴中位数为： ....................（1分）
∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分
∵B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分
故A的排名更靠前；
故答案为：A；....................（2分）
（2）乙校，理由如下：甲校的优秀率为： ，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙校
的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高，
故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；....................（3分）
（3）根据题意，90-100分的人数为为： 人，不够120人，要从80-90分之间补充，设需要
补充x个人，
根据题意，得 ，解得x=3，....................（4分）
而这个3个数依次为89，89，88.5，至少要88.5分，
故答案为：88.5．....................（5分）
23．（5分）【详解】（1）解：将点 代入直线 得： ，....................（1分）
故点 ，
将点 代入双曲线 得： ，故双曲线为
联立直线 与双曲线 得： 或2，
故点 的坐标为 ，
故答案为： ， ；....................（2分）
（2）解：如图，当直线 在点P上方时， ，
此时， ，即 ；....................（3分）
如图，当直线 在点Q上方x轴下方时， ，
此时， ，即 ；....................（4分）
综上， 或 ；....................（5分）
24．（6分）【详解】（1）证明： 为 的直径， ，， ，....................（1分）
在 与 中，
，
，
；....................（2分）
（2）解： ，
，
，
，
，....................（3分）
， ，
，
，
是 的平分线，
，
，
，....................（4分）
，
，
，即 ，
．....................（6分）
25．（6分）【详解】（1）解：由题意，作图如下．；....................（1分）
（2）解：由题意，场景A的图象是抛物线的一部分， 与x之间近似满足函数关系 .
又点 在函数图象上，
∴ ．
解得： ．
∴场景A函数关系式为 ．....................（2分）
对于场景B的图象是直线的一部分， 与x之间近似满足函数关系
又 在函数图象上，
∴ ．
解得： ．
∴场景B函数关系式为 ．....................（3分）
（3）解：由题意，当 时，
场景A中， ....................（4分）
场景B中， ，解得： ，....................（5分）
∴ ．....................（6分）
26．（6分）【详解】（1）解：∵ ， 为抛物线上的对称点，
∴ ，
抛物线的对称轴 ；....................（1分）
（2）解：∵ 过 ， ，
∴ ， ， ，
∴对称轴 ．
①当 时，
∵ 时，y随x的增大而增大，
∴ ， ，
∴ ．....................（2分）
②当 时，
∵ 时，y随x的增大而增大，
∴ ， ，
∴ ，
综上：a的取值范围是 或 ；....................（3分）
（3）解：∵点 在抛物线 上，
，
∵点 ， 在抛物线 上，
∴对称轴为直线 ，....................（4分）
①如图所示：，
且 ，
；....................（5分）
②如图所示：
，
，
，
综上所述，m的取值范围为 或 ．....................（6分）
27．（7分）【详解】（1）如图，取 的中点 ，连接 ，
在 中，
，
，
，是等边三角形，....................（1分）
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
，
即 是等边三角形，
， ，
即 ，....................（2分）
，
；....................（3分）
（2）如图，过点 作 交 于 点，
由（1）可知： ，
，
，
，....................（4分）
，
，
，
，
，
是 的中点，
，....................（5分）
，
，
， ，
．....................（7分）
28．（7分）【详解】（1）解：由一次“ 对称旋转”定义，将 先绕点 顺时针旋转 ，再绕点逆时针旋转 ，如图所示：
不是由点 经过一次“ 对称旋转”后得到的点；
同理可得 是由点 经过一次“ 对称旋转”后得到的点； 是由点 经过一次
“ 对称旋转”后得到的点； 不是由点 经过一次“ 对称旋转”后得到的点；
故答案为： 、 ；....................（2分）
（2）解∶①令点P绕点 顺时针旋转 得到点 ，连接 ，
∵ 经过一次“ 对称旋转”得到 时，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2；....................（3分）② 经过一次“ 对称旋转”得到 时，由题意作图，如图所示：
则
轴，
，则 ，
，
， ，
，则 ， ，
，
，则 ；....................（4分）
（3）解：设点 经过一次“ 对称旋转”后得到的点为点 ，
∵点M先绕点 顺时针旋转 ，再绕点 逆时针旋转 得到点 ，
∴点 先绕点 顺时针旋转 ，再绕点S逆时针旋转 得到点M，
∵点 在x轴上，
∴将x轴先绕点 顺时针旋转 得到 ，再绕点S逆时针旋转 得到 ，①当 时，
令 和 相交于G，连接 ，过点S作 的垂线，垂足为点H，
由旋转的性质可得： ，
∵ 为 直径，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ， ， 绕点S逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∵点M再 上，
∴ 与 有公共点，
∴ ，
即 ，
，
∴ ；....................（5分）
②当 时，
∵x轴先绕点 顺时针旋转 得到 ，再绕点S逆时针旋转 得到 ，
∴ ，则 ，
同理可得： ，
则 ，∴ ，
整理得： ，
综上： 或 ．....................（7分）
