文档内容
2024 年中考第三次模拟考试
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A C A C D C D B D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．
12．
13．
14．460
15．12
16．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（8分）【详解】
解：原式 (6分)
．(8分)
18．（8分）
【详解】解： ，
，(4分)或 ，(6分)
， ．(8分)
19．（8分）【详解】（1）解：如图，
(3分)
（2）解： ．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ．
∴ ．(5分)
∵EF为AC的垂直平分线，
∴ ．
∴ ．(7分)
∴ ．(8分)
20．（8分）【详解】
解：【小问1详解】
解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，
168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数 ，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数 ，
∴ ， ；(2分)
【小问2详解】解：甲组身高的平均数为 ，
甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为 ，
乙组身高的方差为
，
∵ (6分)
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
【小问3详解】
解：168，168，172的平均数为
∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 ，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172． (8分)
21．（8分）【详解】
【小问1详解】
证明：连接 ，(1分)
∵点C为 的中点，
∴ ，
∴ ，(2分)
∵ ，
∴
∴ (3分)
∴ ，
∴ ，
∵ 为半径，
∴ 为 切线；(4分)
【小问2详解】
解：连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，(5分)∵D是 的中点，
∴ ，
∴ ，(6分)
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径长为 ．(8分)
22．（10分）【详解】
【小问1详解】
解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件 元，
由题意得， ，(2分)
解得 ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解，∴ ，
∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元；(4分)
【小问2详解】
解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫 件，
由题意得， ，
解得 ，∵a是正整数，
∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280，(6分)
∴一共有六种购买方案；
【小问3详解】
解：设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫 件，
由题意得，
，(8分)
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴W的取值与a的值无关，
∴ ，
∴ ．(10分)
23．（10分）【详解】
【解答】（1）解：对折1次，有21根绳子重叠在一起，剪m刀，左端仍有2根长1cm的细绳，中间有
2(m-1)根长1cm细绳，右端有21-1根长2cm的细绳，原绳长为2(m+1)，
对折2次，有22根绳子重叠在一起，剪m刀，左端仍有2根长1cm的细绳，中间有4(m-1)根长1cm的
细绳，两端有22-1=3根长2cm的细绳，原绳长为4(m+1)，
对折3次，有23根绳子重叠在一起，剪m刀，左端仍有2根长1cm的细绳，中间有8(m-1)根长1cm的
细绳，两端有23-1=7根长2cm的细绳，原绳长为8(m+1)，……
则对折n次，可以看成有2n根绳子重叠在一起，如果剪m刀，左端有2根长1cm的细绳，中间会有
2n (m-1)根长1cm的细绳，两端会有（2n-1）根长2cm的细绳，所以原绳长为2n (m+1)cm
故答案为：2n，2，2n (m-1)，（2n-1），2n (m+1)；(5分)
（2）解：由题意，得2+2n (m-1)=222
∴2n (m-1)=220
220
∴2n=
m-1
又n≥1，220=2×110或220=4×55
∴2n可以为2，4
∴2n=2或4，m-1=110或55
∴n=1或2，m=111或56
∴原绳长为21×（111+1）=224或22×（56+1）=4×57=228
故答案为：1或2，111或56，224或228；(8分)
（3）解：由题意，得2+2n (m-1)=2024
∴2n (m-1)=2022
2022
∴2n=
m-1
又n≥1，2022=2×1011
∴2n为2
∴2n=2，m-1=1011
∴n=1，m=1012
∴原绳长为21×（1012+1）=2×1013=2026
故答案为：2026．(10分)
24．（13分）【详解】
【详解】（1）∵ ， ，∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
将 ， ， 代入 得：
，解得： ，(3分)
∴这条抛物线的解析式为 ；(4分)
（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，(5分)
连接 ，交抛物线对称轴点 ，如图 所示，
∵点 ， 关于直线 对称，
∴ ，
∴
∴当点 ， ， 三点共线时， 取得最小值，即 的周长最小，(7分)
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，∴在这条抛物线的对称轴上存在点 时 的周长最小；(9分)
（3）∵ ， ，
∴直线 的解析式为 ，联立直线 和抛物线的解析式成方程组，得： ，
解得： ， ，
∴点 的坐标为 ，(10分)
过点 作 轴，交直线 于点 ，如图 所示，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
∴ ，(11分)
∴ ，
，
，，(12分)
∵ ，
∴当 时， 的面积取最大值，最大值为 ，
∴当 面积最大时，点 的坐标为 ，面积最大值为 ．(13分)
25．（13分）【详解】
【小问1详解】
解：∵ ，点A位于y轴的正半轴，
∴点A坐标为 ，(1分)
【小问2详解】
∵ ，直线 轴， ，
∴ ， ，(2分)
∵点C为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，(3分)
由折叠可知：
∴ ，
如解（2）图，过点D作 ，∴ ，
，(4分)
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，(6分)
【小问3详解】
解：∵ ， ，
∴ ，(7分)
又∵ 为 的中位线，
∴ ， ， ，
∴ ，
I．如图，将 绕点B在平面内逆时针旋转 ，到如解（3）-1图所示位置时，∴ ，直线 轴，
∴
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴点 、F恰好落在x轴， ，
此时直线EB与x轴交点的坐标为 ，(8分)
II．如图，将 绕点B在平面内逆时针旋转到点O、E、F三点共线时，，如解（3）-2图所示位置时，
延长 交x轴于点K，
∵ ， ， ，
∴
∴ ， ，
∴ ， 在 中， ，即：
，
解得： ，∴ ，
∴ ，
∵直线 轴，
∴直线 轴，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴此时直线EB与x轴交点的坐标为 ，
综上所述：将 绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，直线 与x轴交点的坐
标为 或 ； (10分)
【小问4详解】
直线 轴， 于点D，
∴ ， ，
又∵ 平分 交 于点 ，即： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的一条中线．
∴ ，即： ，∵ ， ，
∴ ，
∴设 ， ， 的周长分别为 ， ， ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， (11分)
延长 交 于H点，如解（4）图，
∵ ， ， ，
∴
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴
解得： （不合题意，舍去）， ，
故 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以点B坐标为 ． (13分)
