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2024 年中考第二次模拟考试
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6
B B A C C A
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7． ．
8． ．
9． .
10． ．
11． ．
12． 或 /3或2
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（6分）
【详解】（1） ，
(x-2)(x+1)=0，（1分）
x-2=0或x+1=0，（2分）
∴x=2，x=-1；（3分）
1 2
（2）原式= （5分）
= ．（6分）
14．（6分）【详解】证明： ，
，即 ，（2分）
在 与 中，
，（4分）
，（5分）
．（6分）
15．（6分）
【详解】（1）解：如图1， 即为所求
（3分）
（2）解：如图2， 即为所求．
（6分）
16．（6分）
【详解】（1）解：∵一共有红、白、黄三种颜色的球衣，A队选择每一种颜色的球衣的概率相同，
∴A队选择红色球衣的概率为 ；（2分）
（2）解：A队选择红色，B队选择黄色；A队选择红色，B队选择白色；A队选择黄色，B队选择红色；A队选择黄色，B队选择白色；
A队选择白色，B队选择红色；A队选择白色，B队选择黄色；（4分）
∴一共有六种等可能性的结果数，其中两队球衣颜色为一红一白的结果数有2种，（5分）
∴两队球衣颜色为一红一白的概率为 ．（6分）
17．（6分）
【详解】（1）解：∵点A(1，a)在y＝2x上，
∴a＝2，
∴A(1，2)，
把A(1，2)代入 得k＝2（1分）
∴反比例函数的解析式为 ，（2分）
∵A、B两点关于原点成中心对称，
∴B(﹣1，﹣2)；（3分）
（2）解:如图所示，作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，
∵AB⊥BC．
∴∠ABC＝90°，∠BHC＝90°，
∴∠C＝∠ABH，
∵BH∥x轴，
∴∠AOD＝∠ABH，
∴∠AOD＝∠C，
∴ ，（4分）
∵A(1，2)，B(﹣1，﹣2)，
∴AH＝4，BH＝2，OD=1，AD=2，
∴ ，S AOD＝ =1，
△
∵∠AOD＝∠C，∠ADO＝∠ABC＝90°，
∴△ADO～ ABC，（5分）
△
∴有 ，即 ，解得S ABC＝5．（6分）
△
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（8分）
【详解】（1）解： 七年级学生的竞赛成绩从小到大排列第 和 个数为 和 ，
，（1分）
八年级中 组人数为 ， 组人数为 ， 组人数为 ， 组中得分为
的人数为 ，
，（2分）
七年级学生的优秀率为 ，（3分）
故答案为： ， ， ；
（2）解：由于八年级竞赛成绩的中位数为 为大于七年级竞赛成绩的中位数 ，
八年级对“防灾减灾”的了解情况更好；（5分）
（3）解： （人），
两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为 人．（8分）
19．（8分）
【详解】（1）解：∵ ，
∴ （1分）
∵
即
∴ （2分）
即∴ ；（4分）
（2）如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，（5分）
在 中，
∴ ， （6分）
∴
∴ （7分）
在 中， ，
∴
（米）．（8分）
答：雕塑的高约为 米．
20．（8分）
【详解】（1）解：设我校初一年级订购《西游记》的单价是x元，则订购《朝花夕拾》的单价是 元，
根据题意得： ，（1分）
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，（2分）
∴ ．
答：我校初一年级订购《西游记》的单价是10元，订购《朝花夕拾》的单价是14元；（3分）
（2）解：设这个班订购m本《朝花夕拾》，则订购 本《西游记》，根据题意得： ，（4分）
解得： ，（5分）
又∵m为正整数，
∴m可以为3，4，5，6，
∴这个班共有4种订购方案，（6分）
方案1：订购3本《朝花夕拾》，7本《西游记》，所需总费用为 （元）；
方案2：订购4本《朝花夕拾》，6本《西游记》，所需总费用为 （元）；
方案3：订购5本《朝花夕拾》，5本《西游记》，所需总费用为 （元）；
方案4：订购6本《朝花夕拾》，4本《西游记》，所需总费用为 （元）．（7分）
∵ ，
∴按照这些方案订购最低总费用为112元．（8分）
答：这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（9分）
【详解】（1）连接 ，
∵ 是 直径，
∴ ，
∴ ，（1分）
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，（2分）
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；（3分）（2）∵点 是 中点，
∴ ，
∴ ，（4分）
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，（5分）
∴ ，
∴ ，（6分）
∵ ，
∴ ，
∴ ．（7分）
（3）如图：设 交于点H，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 为 ，
根据勾股定理，得 ，
解得： ，
∴ ，∵ 是 的中位线，
∴ ．
故答案为： ．（9分）
22．（9分）
【详解】（1）解：将点 ，点 代入抛物线解析式，由对称轴 ，
得 （1分）
解得，
抛物线解析式为： ．（2分）
（2）将 代入抛物线解析式得： ，
顶点
，
，
设直线 解析式为： ，
将点 ，点 代入，
得
解得，
直线 的解析式为： （3分）如图，设直线 与对称轴的交点为 ，将 代入
点 ，
，
，
设 中 边上的高为 ，则 ，
（4分）
如图，设在直线 下方的 轴上有一点 到 的距离为 ，且 ，
， ，
是等腰直角三角形
，
点 在过点 与直线 平行的直线上，
即将直线 向下平移 个单位长度即可得到直线 ，
直线 的解析式为：
联立 ，
解得： 或
点 的坐标为 ， ．（5分）（3） 点 与点 关于对称轴 对称，点 ，
点 ，
（6分）
①如图，连接 ，以点 为圆心， 的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点 ，此时 ，
为等腰三角形．
由图知：点 位于点 上方时， 、 、 三点共线，所以此点舍去；
点 位于点 下方时，点 与点 重合，此时点 的坐标为 ．
②如图，以点 为圆心， 的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点 ，此时 ，
为等腰三角形．
在 中， ， ，此时点 的坐标为 或 ．（7分）
③如图，作线段 的垂直平分线，与 交于点 ，与 轴交于点 ，与对称轴的交点即为所求点 ，
此时 ， 为等腰三角形．
连接 ， 为线段 的垂直平分线，
，点 为 中点，
， ， 由中点坐标公式得点
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
点 （8分）
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入解析式，
得 ，
解得 ，直线 解析式为：
将 代入直线 解析式得： ，
此时点 ．
综上所述：点Ｍ的坐标为 或 或 或 ．（9分）
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．（12分）
【详解】解：(1)连接GC，
∵AE=AF，AD=AB，
∴DF=BE，
∵ ，
∴DG = BE，
∵∠GDC=∠B=90°，DC=BC，
∴△CDG≌△CBE，
∴CE=CG，∠GCD=∠ECB，
∵∠ECB+∠DCE=90°，
∴∠GCE=∠GCD+∠DCE=90°，
∴ = ；
故答案为： = ；（2分）(2) 存在，连接GC，（3分）
∵AE=AF，AD=AB，∠FAE=∠DAB=90°，
∴∠FAD=∠EAB，（4分）
∴△FAD≌△EAB，
∴FD=EB=GD，∠FDA=∠EBA，（5分）
∵∠GDC+∠FDA=90°，∠EBC+∠EBA=90°，
∴∠GDC=∠EBC，（6分）
∵DC=BD，
∴△CDG≌△CBE，（7分）
与（1）同理， = ；（8分）
(3)当∠FEG=90°时，如图1，因为∠FEA=∠GEC=45°，
所以，A、E、C在一条直线上，
∵AB=5，
∴AC=5 ,CE=5 -3 =2 ,
GE= EC=4；
如图2，E在CA延长线上，同理可得，EC=8 ，
GE= EC=16；
当∠EFG=90°时，如图3，∠AFD=∠EFG+∠AFE=135°，
由（2）得，∠AFD=∠AEB=135°，DF=BE，
所以，B、E、F在一条直线上，作AM⊥EF，垂足为M，
∵ ，
∴EF=6，AM=ME=MF=3，
，
BE=DF=1,FG=2，；
如图4，同图3，BE=DF=7，FG=14，EF=6，
，
综上， 的长为 或 或16或4．（12分）
