文档内容
2013年沈阳中考数学试卷
考试时间：120分钟，试卷满分150分，
参考公式：参考公式：抛物线 的顶点坐标是 ．
对称轴是直线 ，
注意事项2
1．答题前，考生须用0. 5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准
考证号；
2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效；
3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回；．
4．本试题卷包括八道大题，25道小题，共6页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则
后果自负．
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共24分）
1．2013年第一季度，沈阳市公共财政预算收入完成196亿元（数据来源：4月16日《沈
阳日报》），讲196亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．右图是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（ ）
A．圆柱体 B．三棱锥 C．球体 D．圆锥体
3．下面计算一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如果 ，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．买一张电影票，座位号是奇数 B．射击运动员射击一次，命中9环．
C．明天会下雨 D．度量三角形的内角和，结果是360°
6． 计算 的结果是( )
A． B． C． D．7、在同一平面直角坐标系中，函数 与函数 的图象可能是（ ）
8．如图， 中，AE交BC于点D， ，AD=4，BC=8，BD:DC=5：3，则DE的长
等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共32分）
9．分解因式: _________．
10．一组数据2,4，x，-1的平均数为3，则x的值是 =_________．
11．在平面直角坐标系中，点M（-3,2）关于原点的对称点的坐标是 _________.
12．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a
的取值方位是 _________．
13.如果x=1时，代数式 的值是5，那么x= -1时，代数式
的值 _________．
14.如图，点A、B、C、D都在⊙O上， =90°，AD=3，CD=2，则⊙O
的直径的长是_________．
15. 有 一 组 等 式 ：
请观察它
们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为_________
16．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的
距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是 _________
三、解答题（第17、18小题各8分，第19小题10分．共26分）
17．计算：
18．一家食品公司将一种新研发的食品免费送给一些人品尝，并让每个人按 A（不喜欢）、
B（一般）、C（比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该食品进行评价， 图①和图②是
该公司采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图。请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题；
（1） 本次调查的人数为___________人；
（2） 图①中，a=_________，C等级所占的圆心角的度数为__________度；
（3） 请直接在答题卡中不全条形统计图。
19．如图， 中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D， ,AD与BE交
于点F，连接CE，
（1）求证：BF=2AE
（2）若 ，求AD的长。
四、（每小题10分，共20分）
20．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有意个实数，分别为3， ，
。（卡片除了实数不同外，其余均相同）
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接 写出卡片上的实数是3的概率；
（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽
取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请
你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率。
21．身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上，在如图所示的平面图
形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G
处（点G在FE的延长线上），经测量，兵兵与建筑物的距离 BC=5米，建筑物底部宽FC=7
米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A据地面的
高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°。（1）求风筝据地面的告诉GF；
（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距离3米处固定摆放，通过计算说明；若
兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？
（参考数据:sin37○≈0.60, cos37○≈0.80,tan37○≈0.75）
五、（本趣1O分）
22．如图，OC平分 ，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切
于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E。
（1）求证：ON是⊙A的切线；
（2）若 =60°，求图中阴影部分的面积。（结果保留π）
六、（本题12分）
23．某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增
了自动打印车票的无人售票窗口，某日，从早上8点开始到上午11点，每个普通售票窗口
售出的车票数 （张）与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数 （张）与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象。
（1） 图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给
数据确定抛物线的表达式为________，其中自变量x的取值范围是_________。
（2） 若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于
1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？
（3） 上午10点时，每天普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试
确定图②中图象的后半段一次函数的表达式。
七、（本题l2分）
24.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等，
理解：如图①，在 中，CD是AB边上的中线，那么 和 是“友好三角
形”，并且 。
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF
与BE交于点O，
（1） 求证: 和 是“友好三角形”；
（2） 连接OD，若 和 是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积，
探究：在 中， ，AB=4，点D在线段AB上，连接CD， 和
是“友好三角形”，将 沿CD所在直线翻折，得到 与 重合部分的面积
等于 面积的 ，请直接写出 的面积。八、（本题14分）
25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点A（ ，0）和点B
（1， ），与x轴的另一个交点为C，
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且 ，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE
①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；
②点 F 是 OB 的中点，点 M 是直线 BD 上的一个动点，且点 M 与点 B 不重合，当，请直接写出线段BM的长辽宁省沈阳市 2013 年中考数学试卷参考答案
一、选择题
1～8 CACBD BCB
二、填空题
9． 3 （ a+ 1 ） 2 ．
10． 7 ．
11． （ 3 ，﹣ 2 ） ．
12． a ＞ 或 a ＜ 0 ．
13． 3 ．
14． ．
15． 8 2 + 9 2 +7 2 2 =7 3 2 ．
16． 1 ， 7 ．
三、解答题
17. 解：原式= ﹣6× +1+2 ﹣2=2
18．解：（1）20÷10%=200人；
（2）C的人数为：200﹣20﹣46﹣64=70，
所占的百分比为： ×100%=35%，
所以，a=35，
所占的圆心角的度数为：35%×360°=126°；
故答案为：（1）200；（2）35，126．
（3）补全统计图如图所示．
1 （1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
9 ∴△ABD是等腰直角三角形，
． ∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中， ，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AF，
∴BF=2AE；
（2）解：∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD= ，
在Rt△CDF中，CF= = =2，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=2，
∴AD=AF+DF=2+ ．
四、解答题
2 解：（1）∵在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，
0
分别为3， ， ．
∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是3的概率是： ；
（2）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有2种
情况，
∴两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为： = ．
2 解：（1）过A作AP⊥GF于点P．
1 则AP=BF=12，AB=PF=1.4，∠GAP=37°，
．
在直角△PAG中，tan∠PAG= ，
∴GP=AP•tan37°≈12×0.75=9（米），
∴GF=9+1.4≈10.4（米）；
（2）由题意可知MN=5，MF=3，
∴在直角△MNF中，NF= =4，
∵10.4﹣5﹣1.65=3.75＜4，
∴能触到挂在树上的风筝．五、（本题10分）
2 （1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，
2 ∵⊙A与OM相切与点B，
． ∴AB⊥OM，
∵OC平分∠MON，
∴AF=AB=2，
∴ON是⊙A的切线；
（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，
∴∠OEB=30°，
∴AF⊥ON，
∴∠FAE=60°，
在Rt△AEF中，tan∠FAE= ，
∴AF=AF•tan60°=2 ，
∴S阴影=S
△AEF
﹣S扇形ADF = AF•EF﹣ ×π×AF2=2 ﹣ π．
六、（本题12分）
2 解：（1）设函数的解析式为y=ax2，
3 把点（1，60）代入解析式得：a=60，
则函数解析式为：y=60x2（0≤x≤ ）；
（2）设需要开放x个普通售票窗口，
由题意得，80x+60×5≥1450，
解得：x≥14 ，
∵x为整数，
∴x=15，
即至少需要开放15个普通售票窗口；（3）设普通售票的函数解析式为y=kx，
把点（1，80）代入得：k=80，
则y=80x，
∵10点是x=2，
∴当x=2时，y=160，
即上午10点普通窗口售票为160张，
由（1）得，当x= 时，y=135，
∴图②中的一次函数过点（ ，135），（2，160），
设一次函数的解析式为：y=mx+n，
把点的坐标代入得： ，
解得： ，
则一次函数的解析式为y=50x+60．
七、（本题12分）
2 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
4 ∴AD∥BC，
． ∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．
（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S =S ，AE=ED= AD=3，
△AOE △DOE
∵△AOB与△AOE是友好三角形，
∴S =S ．
△AOB △AOE
∵△AOE≌△FOB，
∴S =S ，
△AOE △FOB
∴S =S ，
△AOD △ABF
∴S四边形CDOF =S矩形ABCD ﹣2S
△ABF
=4×6﹣2× ×4×3=12．
探究：
解：分为两种情况：①如图1，
∵S =S ．
△ACD △BCD∴AD=BD= AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D= AB= 4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，
∴S = S = S = S = S ，
△DOC △ABC △BDC △ADC △A′DC
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC=A′D=2，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=4，∠BAC=30°，
∴BM= AB=2=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC= =2 ，
∴△ABC的面积是 ×BC×AC= ×2×2 =2 ；
②如图2，
∵S =S ．
△ACD △BCD
∴AD=BD= AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D= AB= 4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，
∴S = S = S = S = S ，
△DOC △ABC △BDC △ADC △A′DC
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BD=A′C=2，
过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ= A′C=1，
∴S =2S =2S =2× ×A′D×CQ=2× ×2×1=2；
△ABC △ADC △A′DC
即△ABC的面积是2或2 ．
八、（本题14分）
2
5
解：（1）将A（ ，0）、B（1， ）代入抛物线解析式y= x2+bx+c，
．
得：
，
解得： ．
∴y= x2 x+ ．
（2）当∠BDA=∠DAC时，BD∥x轴．
∵B（1， ），
当y= 时， = x2 x+ ，
解得：x=1或x=4，
∴D（4， ）．
（3）①四边形OAEB是平行四边形．
理由如下：抛物线的对称轴是x= ，
∴BE= ﹣1= ．
∵A（ ，0），
∴OA=BE= ．
又∵BE∥OA，
∴四边形OAEB是平行四边形．
②∵O（0，0），B（1， ），F为OB的中点，∴F（ ， ）．过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN= ﹣ = ，BN=1﹣ = ．
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF= = ．
∵∠BMF= ∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，
∴∠FBM=2∠BMF．
（I）当点M位于点B右侧时．
在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF= ，连接FG，则GN=BG﹣
BN=1，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG= = ．
∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，
∴△GFB∽△GMF，
∴ ，即 ，
∴BM= ；
（II）当点M位于点B左侧时．
设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，
∴KF= OB=FB= ，
∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，
∴∠BMF=∠MFK，
∴MK=KF= ，
∴BM=MK+BK= +1= ．
综上所述，线段BM的长为 或 ．
