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2024 年中考第三次模拟考试（扬州卷）
数学·参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8
D D C B A A D D
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
9． 10． 11．2 12．84.5 13． 或0
14. 15. 或 16. 17. 18.
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）【详解】解：（1）
……………………4分
（2）
解①得：
解②得：
则不等式的解集为： ………………………………8分
20．（8分）【详解】解：
………………………………4分∵x是方程 的根，
∴解得： ， ，………………………………6分
∵x不能取 ，
∴当 时，原式 ．………………………………8分
21．（8分）【详解】（1）解：七年级竞赛成绩为7分的人数为： （人），
七年级竞赛成绩为8分的人数为： （人），
七年级竞赛成绩为9分的人数为： （人），
七年级竞赛成绩为10分的人数为： （人），
∵七所级竞赛成绩为8分出现的次数最多，
∴七所级竞赛成绩的众数为8分，
故答案为： ．………………………………4分
（2）解：∵八年级20名学生成绩的中位数为 分，
∴成绩由低到高排列第10位的成绩为8分，第11位的成绩为9分，
∴ ， ，
故答案为： ．………………………………6分
（3）解：七年级平均成绩：
，
八年级平均成绩：
，
七年级优秀率：
，
八年级优秀率：
，
综上可看出优秀率高的八年级，平均成绩低于七年级．………………………………8分
22．（8分）【详解】（1）解：画树状图如图：∴ 可能出现的结果 ．…………………6分
（2）由（1）可知，小亮、小丽两名同学选择观看不是同一电影的情况有6种，
．
答：小亮、小丽两名同学恰好选择观看不是同一部电影的概率为 ．………………………………8分
23．（10分）【详解】（1）解：设乙型充电桩的单价是 元，则甲型充电桩的单价是 元，
由题意得， ，………………………………3分
解得 ， ………………………………4分
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，………………………………5分
答：甲型充电桩的单价为 元，乙型充电桩的单价为 元；………………………………6分
（2）解：设购买甲型充电桩的数量为 个，则购买乙型充电桩的数量为 个，
由题意得， ，
解得 ，………………………………7分
设所需费用为 元，由题意得， ，………………………………8分
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 取得最小值，………………………………9分
此时， ，
答：购买甲型充电桩 个，乙型充电桩 个，所需费用最少．………………………………10分
24．（10分）【详解】（1）∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，………………………………2分∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∴ ，………………………………3分
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．………………………………6分
（2）过点 作 于点 ，
∵ 是 的角平分线， ，
∴ ，………………………………7分
∵平行四边形 的周长为 ，
∴ ，………………………………8分
∵ ，………………………………9分
∴ ．
………………………………10分
25．（10分）【详解】（1）证明： 、 、 在圆 上
………………………………1分
，
，………………………………2分
为 的切线
，………………………………3分在 和 中， ，
，
，
为 的切线．………………………………6分
（2）解：四边形 为菱形，证明如下：………………………………7分
在 中， ，
，
为 边上的中线，
，………………………………8分
同理，在 中， ，………………………………9分
，
，
四边形 为菱形．………………………………10分
26.（10分）
【详解】解：分别过点 作直线 的平行线 ，则 ,再过点 作直线 的垂线，分别交
于点 ，如图，………………………………1分
………………………………2分
由题意得 ， ，………………………………3分
∴ ， ， ， ，………………………………6分∴ ， ，………………………………8分
∴调节杆端点 到操作直线 的距离为 ．………………………………10分
27.（12分）
【详解】（1）根据前面的结论，得到 且 ， ，得到 ，
∵ ，
∴
∴ ，………………………………2分
∵ ， ，
∴ ， ，………………………………3分
∴ ，
故答案： ， ．………………………………4分
（2）延长 到点F，使 ，连接 ，
∵ ，
∵
∴ ，………………………………5分
∴ ， ，过点B作 ，交 于点M，N,
∴ ， ，
∴ ，
设 的交点为Q，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，………………………………7分
∴ ， ，
∵ , ，
∴ ,
∴ ,
∴ 且 ．
故结论仍然成立．………………………………8分
（3）如图，当 共线时，
∵ ， ， ，∴四边形 是矩形，………………………………9分
∴ ，此时旋转角等于 的度数即 ；………………………………10分
当 共线时，且共线在 的延长线上时，根据(2)得到四边形 是平行四边形，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，………………………………11分
∴ ，此时旋转角等于 的度数即 ；
故答案为： 或 ．………………………………12分
28.（12分）
【详解】（1）解： 抛物线 过点 ， ，对称轴 ，，解得 ，
抛物线的解析式为 ；………………………………2分
（2）由（1）知 ， ， ， ，
设直线 为 ，
，
，
，………………………………3分
设直线 为 ，
，
，
，………………………………4分
设 ，
如图1，过 作 轴平行线交直线 于 ，过 作 轴平行线交直线 于 ，， ，
，
，
，
,
，
，………………………………5分
当 时 有最大值 ，
此时 ，
；………………………………6分
（3）设 平移到 点，则 ，作 轴于 ，
如图2则 ，
，
即 ，
， 即将抛物线向左平移 个单位，向上平移 个单位，………………………………7分
又 ，
则新抛物线顶点为 ，
新抛物线为 ，………………………………8分
如图3作 于 ， 于 ，直线 交直线 于 ，
，
，
，………………………………9分
分类讨论：当 在线段 上，过点 作 轴于点 ，
，
，，
，
， ，
，
，………………………………10分
设直线 为 ，
，解得 ，
，联立 ，
，
，
，
，………………………………11分
当 在线段 的延长线上时，如图4过点 作 轴于 ，
，
，，
，
，
，
， ，
，
设直线 为 ，
，解得 ，
，联立 ，
，
，
，
，
，
综上 点横坐标为 或 ．………………………………12分
