文档内容
2024 年中考第一次模拟考试（无锡卷）
数 学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：140分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共 10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的）
1．下列各组数中，互为相反数的组是( )
A． 和 B．2023和
C． 和2023 D． 和
【答案】A
【解析】解：A． 和 互为相反数，故A选项符合题意；
B．2023和 互为倒数，故B选项不符合题意；
C． 和2023不互为相反数，故C选项不符合题意；
D． 和 不互为相反数，故D选项不符合题意；
故选：A．
2．已知 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时，A的值是0 B．当 时，A的最小值为1
C．若A的值等于1，则 D．若A的值等于2，则
【答案】D【解析】解：当 时， ，A选项错误；
当 时， ， ， ， ，即A的最小值小于1，B选项错误；
当 时， ，解得 ，此时分式无意义，故不合题意，C选项错误；
当 时， ，解得 ，D选项正确，
故选：D．
3．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相
同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，
根据题意得： ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
4．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】解：A中 ，正确，故不符合要求；
B中 ，正确，故不符合要求；
C中 ，正确，故不符合要求；
D ，错误，故符合要求；
故选：D．
5．若点 是反比例函数 图象上的点，且 ，则
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：根据题意画出函数图象得，
可知， ．
故选：D．
6．随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60 ，动车提速后行驶480 与提速前行驶360
所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x ，则下列方程正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：根据题意，得 ．
故选：B．
7．将抛物线 通过平移后，得到抛物线的解析式为 ，则平移的方向和距离是
（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】D
【解析】解：抛物线 的顶点坐标为 ，抛物线 的顶点坐标为
，
而点 向左平移2个，再向下平移3个单位可得到 ，
所以抛物线 向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3．
故选：D．
8．如图，正方形 和正方形 ，当正方形 绕点 逆时针旋转 时，如图，连接 、
，并延长 交 于点 若 ， ，时，则线段 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：连结 交 于点 ，连结 ，如图，
正方形 绕点 逆时针旋转 ，
与 互相垂直平分，且 在 上，
，
，
，
在 中， ；
由题意可得： 相当于逆时针旋转90°得到 ，
，
，
，
．
故选：A．
9．如图， 是 的一条弦，点C是 上一动点，且 ，点E，F分别是 的中点，直
线 与 交于G，H两点，若 的半径是r，则 的最大值是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：作直径 ，连接 ，
，
，
，
，
∵E，F分别是 的中点，
是 的中位线，
，
，
∴当 长最大时， 有最大值，
∴当 是圆直径时， 最大．
∴ 最大值是 ．
故选：A．
10．如图，在矩形 中， 为 中点，以 为边向上作正方形 ，边 交 于点 ，在边
上取点 使 ，作 交 于点 ，交 于点 ，记 ， ，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了 ．现以 为直径作半圆 ，恰好经过点 ，交
另一点于 ，记 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，则 的值为( )
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】解：依题意得：四边形 均为为正方形，
四边形 均为矩形，
∵ ，点E为 的中点，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．化学元素钉 是除铁 、钻 和镍 以外，在室温下具有独特磁性的第四个元 素．钉
的原子半径约 ．将 用科学记数法表示为 ．
【答案】
【解析】解： ，
故答案为：12．若 与 互为相反数，则 ．
【答案】
【解析】解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为 ．
13．不等式组 的解集是 ．
【答案】
【解析】解：
解不等式①得：
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
14．写出一个图象是曲线且过点 的函数的解析式： ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】解：设反比例函数解析式为 ，
依题意，
∴一个图象是曲线且过点 的函数的解析式是： ，故答案为： （答案不唯一）．
15．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为
圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是 ．
【答案】
根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．
【解析】解：如图：
∵ 是正三角形，
∴ ，
∴ 的长为： ，
∴“莱洛三角形”的周长= ．
故答案为： ．
16．如图，已知平行四边形 中，E为 边上一点，连接 ，若 ， ，
， ，则 的长为 ．
【答案】6
【解析】解：作 ，如图所示：∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：6
17．我国魏晋时期的数学家刘徽 年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形
无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率 ．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，
依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形， ，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为，圆内接正六边形的周长 ，计算 ；圆内接正十二边形的周长 ，计算
；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率 ．（参考数据：
，
【答案】3.12
【解析】解：圆内接正二十四边形的周长 ，
则 ，
故答案为3.12
18．如图，点A是双曲线y= 在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边
作等腰Rt ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上
运动，则这△个函数的解析式为 ．
【答案】y=﹣ ．
【解析】解：如图，连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y= 的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
∵在△COD和△OAE中， ，
∴△COD≌△OAE（AAS），
设A点坐标为（a， ），则OD=AE= ，CD=OE=a，
∴C点坐标为（﹣ ，a），
∵﹣ =﹣8，
∴点C在反比例函数y=﹣ 图象上．
故答案为：y=﹣ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算： ；（2）用配方法解方程： ．【解析】（1）解：原式
；
（2）解：
，
20．计算：
(1) ； (2)
【解析】（1）解：
；
（2）解：
21．如图，在 中，过A点作 ，交 的平分线于点D，点E在 上， ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)当 ， 时，求 的长．【解析】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
22．现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片A，B，C，卡片除正面
图案不同外，其余均相同，(1)若将三类卡片各10张，共30张，正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的
概率是___________．
(2)现将三类卡片各一张，放入不透明箱子，小明随机抽取一张，看后，放回，再由小充随机抽取一张．请
用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到相同卡片的概率．
【解析】（1）解；∵一共有30张卡片，其中琮琮的卡片有10张，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ，
故答案为： ．
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中恰好摸到相同卡片的结果数有3种，
∴恰好摸到相同卡片的概率为 ．
23．某校初三物理组为激发学生学习物理的热情，组织初三500名学生进行“水火箭”制作和演示飞行活
动．为了解该年级学生自制水火箭的飞行情况，现随机抽取40名学生进行水火箭飞行测试，并将测试成绩
（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组： ，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在 这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，8.8，89，根据以上信
息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)抽取的40名学生成绩的中位数是____________；
(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该年级500名学生中水火箭飞行测试为优秀的学生约有
多少人？
【解析】（1）解：在 这组的人数为： （人），
补全频数分布直方图如下：
（2）中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数，
∵数据处于较小的三组中有 （个）数据，
∴中位数应是 这一组第2，3个数据的平均数，
∴中位数为： （分），
故答案为：82分；
（3）∵样本中优秀的百分比为： ，
∴可以估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有： （人），
答：估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有275人．
24．如图，在四边形 中， ．
(1)经过点A、B、D三点作 ；
(2) 是否经过点C？请说明理由．【解析】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2） 经过点 ，理由如下：
连接 ，
∵ ，点 为 的中点，
∴ ，
∴点 在 上．
25．最佳视点
如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓
观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点．
如图2，当过 三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角 最大，站在此处观赏最理想，
小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线 上任取异于点E的点 ，连接 交 于点F，连
接 ，…任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大；
任务二：若 ，观察者的眼睛距地面的距离为 米，最大视角为 ，求观察者应该站在距离
多远的地方最理想(结果精确到 米，参考数据 )．
【解析】任务一：过点E的水平线 上任取异于点E的点 ，连接 交 于点F，连接 ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
又∵ 与 都是弧 所对的圆周角，
∴ ，
∴ ，
∴在点E时视角最大．
任务二：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形， ．
如图2，连接 ，∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
由题意得， (米)，
在 中， (米)．
答：观察者应该站在距离 米的地方最理想．
26．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．
如图1所示，他在会场的两墙 、 之间悬挂一条近似抛物线 的彩带，如图2所示，已
知墙 与 等高，且 、 之间的水平距离 为8米．(1)如图2，两墙 ， 的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ；
(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点 处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点 到墙
距离为3米，使抛物线 的最低点距墙 的距离为2米，离地面2米，求点 到地面的距离；
(3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将 到地面的距离提升为3米，通过适当调整 的位置，
使抛物线 对应的二次函数的二次项系数始终为 ，若设点 距墙 的距离为 米，抛物线 的最低点
到地面的距离为 米，探究 与 的关系式，当 时，求 的取值范围．
【解析】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为 ，则 ，解得： ；
抛物线的表达式为 ，则点 ，即 （米 ，
当 时， ，即顶点坐标为 ，
故答案为：3， ；
（2）解：设抛物线的表达式为 ，
将点 的坐标代入上式得 ，解得 ，
抛物线的表达式为 ，
当 时， （米 ，
点 到地面的距离为2.25米；
（3）解：由题意知，点 、 纵坐标均为4，则右侧抛物线关于 、 对称，
抛物线的顶点的横坐标为 ，则抛物线的表达式为 ，将点 的坐标代入上式得 ，整理得 ；
当 时，即 ，解得 （不合题意的值已舍去）；
当 时，同理可得 ，
故 的取值范围为： ．
27．定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形
称为镶嵌四边形．
(1)如图1，将 纸片沿中位线 折叠，使点 落在 边上的 处，再将纸片分别沿 ， 折叠，
使点 和点 都与点 重合，得到双层四边形 ，则双层四边形 为______形．
(2) 纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形 为矩形，若 ， ，求 的长．
(3)如图3，四边形 纸片满足 ， ， ， ， ．把该纸片折叠，
得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时 的长．
【解析】（1）双层四边形 为矩形，
理由如下：由折叠的性质可得 ， ，
，
，
，
同理可得 ，
四边形 是矩形，
故答案为：矩；
（2） 四边形 为矩形，
， ， ，
， ，又 为平行四边形，
， ，
由折叠得 ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
由折叠得 ， ，
，
又 ，
，
又 ， ，
．
（3）有以下三种基本折法：
折法1中，如图所示：
由折叠的性质得： ， ， ， ， ，
四边形 是叠合正方形，
，
，
， ；
折法2中，如图所示：由折叠的性质得：四边形 的面积 梯形 的面积， ， ，
， ， ，
，
四边形 是叠合正方形，
，正方形 的面积 ，
，
，
设 ，则 ，
梯形 的面积 ，
，
，
，
，
，
解得： ，
， ．
折法3中，如图所示，作 于 ，则 ， 分别为 ， 的中点，
则 ， ，正方形的边长 ，
， ，
．
综上所述： 或11或 ．
28．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 ，且 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若连接 、 ．动点D从点A出发，在线段 上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动
点E从点B出发，在线段 上以每秒 个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点
随之停止运动，连接 ，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形 的面
积最小，最小值为多少？
(3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形
？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：∵ ， ，则 ， ，∴抛物线解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，由点的运动可知：
，过点 作 轴，垂足为 ，
∴ ，
又∵ ，则 ，
∴
，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
∴ ， ，
∴ ，
当 时，四边形 的面积最小，即为 ；
（3）解：存在， 或 ，
当点 在 的右侧时，如图所示，过点 作 轴的平行线 ，交 轴于点 ，过点 作 ，
∵ 是以 为直角为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
又
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）
∴ ；
当点 在 的右侧时，同理可得 ，
解得： 或 （舍去）
∴ ，
综上所述， 或 ．
