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2008 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接
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填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式 的解集是 .
2．若集合 、 满足 ，则实数 = .
3．若复数 满足 （ 是虚数单位），则 = .
4．若函数 的反函数为 ，则 .
5．若向量 、 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则 = .
6．若直线 经过抛物线 的焦点，则实数 .
7．若 是实系数方程 的一个虚根，且 ，则 .
8．在平面直角坐标系中，从五个点： 、 、 、 、
中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__________（结果用分数表示）.
9．若函数 是偶函数，且它的值域为
，
则该函数的解析式 .
第1页 | 共13页10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7， ， ，12，13.7，18.3，20，
且总体的中位数为 . 若要使该总体的方差最小，则 的取值分别是
.
11．在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 、 、
. 如果
是△ 围成的区域（含边界）上的点，那么当 取到最大值时，点
的坐标是 .
二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出
代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论
得 分 评 卷 人
是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，
选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论
是否都写在圆括号内），一律得零分．
12. 设 是椭圆 上的点. 若 、 是椭圆的两个焦点，则 等于
[答] ( )
(A) 4. (B) 5. (C) 8. (D) 10.
13. 给定空间中的直线 及平面 . 条件“直线 与平面 内两条相交直线都垂直”是“直
线 与平面 垂直”的 [答] ( )
(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件.
(C) 充要条件. (D) 既非充分又非必要条件.
14. 若数列 是首项为1，公比为 的无穷等比数列，且 各项的和为 ，则
的值是 [答] ( )
(A) 1. (B) 2. (C) . (D) .
15. 如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 轴的正半轴、 轴的正半轴分别相切于点
、 的定圆所围成的区域（含边界）， 是该
圆的四等分点. 若点 、点 满足 且 ，
则称 优于 . 如果 中的点 满足：不存在 中的其它点优
于 ，那么所有这样的点 组成的集合是劣弧 [答] ( )
(A) A B . (B) B.C (C) . C D (D) . DA
三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
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第2页 | 共13页16.（本题满分12分）
如图，在棱长为2的正方体 中， 的中点. 求直线 与平面
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
[解]
第3页 | 共13页得 分 评 卷 人
17.（本题满分13分）
第4页 | 共13页如图，某住宅小区的平面图呈扇形 . 小区的两个出入口设置在点 及点 处. 小区里
有两条笔直的小路 、 ，且拐弯处的转角为120°. 已知某人从 沿 走到 用了10
分钟，从 沿 走到 用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径
的长（精确到1米）.
[解]
第5页 | 共13页得 分 评 卷 人
18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，
第2
小题满分10分．
第6页 | 共13页已知函数 ，直线 与函数 、
的图像分别交于 两点.
（1）当 时，求 的值；
（2）求 在 时的最大值.
[解]（1）
（2）
第7页 | 共13页得 分 评 卷 人
19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，
第
2小题满分8分．
已知函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 对于 恒成立，求实数 的取值范围.
[解] （1）
（2）
第8页 | 共13页得 分 评 卷 人
20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，
第2小题满分6分，第3小题满分7分．
已知双曲线 .
（1）求双曲线 的渐近线方程；
（2）已知点 的坐标为 . 设 是双曲线 上的点， 是点 关于原点的对称
点. 记 . 求 的取值范围；
（3）已知点 的坐标分别为 ， 为双
曲线 上在第一象限内的点. 记 为经过原点与点 的直线， 为△ 截直线 所得线段的
长. 试将 表示为直线 的斜率 的函数.
[解]（1）
（2）
第9页 | 共13页（3）
第10页 | 共13页得 分 评 卷 人
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，
第2
小题满分6分，第3小题满分8分．
已知数列 ： ， ， ， （ 是正整数），与数列
： ， ， ， ， （ 是正整数）. 记
.
（1）若 ，求 的值；
（2）求证：当 是正整数时， ；
（3）已知 ，且存在正整数 ，使得在 ， 中有4项为
第11页 | 共13页100. 求 的值，并指出哪4项为100.
[解] (1)
[证明]（2）
[解]（3）
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