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2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学文科
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分
150分。
一选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的。
3. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）
A．若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
4. 某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ C ）
6. 已知双曲线 的焦距为10，点 在的渐近线上，则 的方程为（
）
第1页 | 共5页A． B. C. D.
[来源:学+科+网]
7. 设 ， ，给出下列三个结论：
① ；② ；③ .
[来源:Z|xx|k.Com]
其中所有的正确结论的序号是（ D ）
A.① B. ①② C. ②③ D.①②③
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答
题卡中对应题号的横线上。
一、选做题（请考生在第10、11二题中任选一题作答，如果全做，则按第一题记分）
二、必做题（12~16题）
12．不等式 的解集为 。
第2页 | 共5页三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
[来源:Z|xx|k.Com]
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市
第3页 | 共5页购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件以上
顾客数（人） 30 25 10
[来源:Zxxk.Com]
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
19. (本小题满分12分)
如图6，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是等腰梯形，
// ， .
(1)证明： ；
（2）若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求四棱锥
的体积.
第4页 | 共5页(1)用 表示 ，并写出 与 的关系式；
（2）若公司希望经过 年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每
年上交资金 的值（用 表示）.
21.(本小题满分13分）在直角坐标系 中，已知中心在原点，离心率为 的椭圆
的一个焦点为圆 的圆心.
(1)求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 上一点，过 作两条斜率之积为 的直线 .当直线 都与圆
相切时，求 的坐标.
[来源:学*科*网]
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