文档内容
2011年高考理科数学试题（天津卷）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分，考试用时
120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用
条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试
卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 如果事件A，B相互独立，那么
棱柱的体积公式 圆锥的体积公式
其中S表示棱柱的底面面积 其中S表示圆锥的底面面积
h表示棱柱的高 h表示圆锥的高
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1． 是虚数单位，复数 =
A． B．
C． D．
2．设 则“ 且 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为
A．3 B．4
C．5 D．6
4．已知 为等差数列，其公差为-2，且 是 与 的等比中项， 为
的前 项和， ，则 的值为
A．-110 B．-90
C．90 D．110
第1页 | 共6页5．在 的二项展开式中， 的系数为
A． B． C． D．
6．如图，在△ 中， 是边 上的点，且 ，
则 的值为
A． B．
C． D．
7．已知 则
A． B． C． D．
8 ． 对 实 数 和 ， 定 义 运 算 “ ” ： 设 函 数
若函数 的图像与 轴恰有两个公共点，
则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
第II卷
第2页 | 共6页二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法
从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人
数为___________
10．一个几何体的三视图如右图所示（单位： ），则该几何体的体积
为__________
11 ． 已 知 抛 物 线 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ） 若 斜 率 为 1 的
直线经过抛物线 的焦点，且与圆 相切，
则 =________.
12．如图，已知圆中两条弦 与 相交于点 ， 是 延长线上一
点，且 若 与圆相切，则
线段 的长为__________.
13．已知集合 ，则
集合 =________.
14．已知直角梯形 中， // , , , 是腰 上
的动点，则 的最小值为____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
第3页 | 共6页已知函数
（Ⅰ）求 的定义域与最小正周期；
（II）设 ，若 求 的大小．
16．（本小题满分13分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3个白球、2个黑球，乙箱子
里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各
随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原
箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中，
（i）摸出3个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数 的分布列及数学期望 .
17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱 中，
是正方形 的中心， ， 平面 ，且
（Ⅰ）求异面直线AC与AB 所成角的余弦值；
1 1
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）设 为棱 的中点，点 在平面 内，且 平面 ，求线
段 的
长．
第4页 | 共6页18．（本小题满分 13分）在平面直角坐标系 中，点 为动点，
分别为椭圆 的左右焦点．已知△ 为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率 ；
（Ⅱ）设直线 与椭圆相交于 两点， 是直线 上的点，满足
，求点 的轨迹方程．
19．（本小题满分14分）
已知 ，函数 （ 的图像连续不断）
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，证明：存在 ，使 ；
（Ⅲ）若存在均属于区间 的 ，且 ，使 ，证明
．
20．（本小题满分14分）
已知数列 与 满足： ， ，且
．
第5页 | 共6页（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 ，证明： 是等比数列；
（III）设 证明： ．
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