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2024 年中考第一次模拟考试（苏州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反
数是解题的关键．
【详解】解： 的绝对值是2，即 ．
故选：A．
2．若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】B
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能
为0求解即可得．
【详解】解：∵分式 有意义，
，
解得 ，
故选：B．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法是解题的关键．根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及
同底数幂的除法可进行排除选项．
【详解】A． ，原计算错误，故不符合题意；
B． ，原计算正确，故符合题意；
C． ，原计算错误，故不符合题意；
D． ，原计算错误，故不符合题意；
故选：B．
4．某轮滑队所有队员的年龄只有 ， ， ， ， （岁）五种情况，其中部分数据如图所示，若队员
年龄的唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，熟悉条形统计图，掌握中位数，众数的相关概念是解答
本题的关键．根据题目，利用众数和中位数的定义，得到这组数据的中位数为： ，众数是 ，由此得到
答案．
【详解】解：由题图中数据可知：
小于 的人有 人，大于 的人也有 人，
这组数据的中位数为： ，
队员年龄的唯一的众数与中位数相等，
众数是 ，即年龄为 的人最多，
岁的队员最少有 人，
故选： ．
5．如图，在 中，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ，再分别以 、为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 内部交于点 ，过点 作射线 交 于点 ，
过点 作 ，交 于点 ，若 ， ，则 （）
A．85° B．75° C．60° D．55°
【答案】D
【分析】本题考查作图-基本作图、平行线的性质，㠇练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
由题意可得 为 的角平分线， ，则 可得
根据三角形外角性质可得 ，平角性质可得
再结合三角形内角和定理可列出方程，进而可得出答案．
【详解】由题意可得 为 的角平分线， ，
，
， ，
，
故选：D．
6．一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求圆锥侧面积；
利用圆锥侧面展开图的弧长 底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积 底
面周长 母线长 ．
【详解】解：底面半径为3，则底面周长 ，侧面展开图是半圆，则母线长 ，圆锥的侧面积是
故选：B．
7．如图在平面直角坐标系中， ，且 ， 则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．过点B作 轴于点C，过点A作 轴于点
D， 、 相交于点E，证明 ，据此求解即可．
【详解】解：过点B作 轴于点C，过点A作 轴于点D， 、 相交于点E．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点B的坐标是 ，
故选：B．
8．如图，四边形 是菱形，边长为 ， ．点 从点 出发，沿 方向以每秒
个单位长度的速度运动，同时点 沿射线 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点 运动到达
点 时，点 也立刻停止运动，连接 ． 的面积为 ，点 运动的时间为 秒，则能大
致反映 与 之间的函数关系的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数的图象与解析之间的联系，解决问题的关键在于弄清图形的变化情况，结合勾股定理，给出面积的表达式，即可解题．
【详解】解：①当 在 上时，作 ，如图所示：
由题知 ， ，
，
，
，则 ，解得 ，
故 ，
②当 在 上时，即 时， ，
③当 在 上不与 重合，且Q在 上时，作 ，如图所示：
， ，
，
，
则 ，
④当Q在 延长线上时，
．
故选：B．
第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．稀土是制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关数据表明，我国已探明稀土储量约 万吨，
居世界第一位，将数 万用科学记数法可表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定 的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为 ，其中 ， 的值为整数位数少1．
【详解】解： 万即 大于1，用科学记数法表示为 ，其中 ， ，
∴ 万用科学记数法表示为 ，
故答案为： ．
10．比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】此题主要考查了有理数大小，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数
大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解： ， ，
，
．
故答案为： ．
11．分解因式 ．
【答案】
【分析】题目主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式及完全平方公式分解因式是解题关键．
【详解】解：
故答案为： ．
12．如图，一次函数 与 的图象交于点 ，则关于x的方程 的解是
．【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图象的交点的横坐标就是方程 的解即可
求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：由图象得：
方程 的解是 ，
故答案为： ．
13．中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面
绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念
和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长
为 ，“直边长”为 ，“下圆弧”的长为 ，则 （用含 ， 的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查弧长公式，根据题意，作出图形，数形结合，利用弧长公式表示出 ， ，找到两者之
间的关系即可得到答案，熟记弧长公式是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示：，
； ，
，
故答案为： ．
14．如图，已知 ， ， 与 的面积和为10，则 的长为
．
【答案】
【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造全等三角形解决问题．
如图，过点A作 于点H，过点D作 于点K．证明 ，推出
，设 ， ，构建方程组求出 ，可得结论．
【详解】解：如图，过点A作 于点H，过点D作 于点K．
， ，， ， ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
设 ，
与 的面积和为10，
即 ， ，
在 中， ,即 ，
则有 ，
，
．
故答案为： ．
15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点 、 、 、 都在这些小正方形的顶点上， 与 相交
于点 ，则 的值为 ．
【答案】 /【分析】本题考查了求余弦，连接 ，根据勾股定理和勾股定理逆定理，推出 ，再证明
四边形 是平行四边形，则 ，即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ， 点为该图象在
第一象限内的一点，过点 作直线 的平行线，交 轴于点 ．若点 从点 出发，沿着抛物线运动到
点 ，则点 经过的路程为 ．
【答案】
【分析】根据题意，可以先求出点 的坐标，从而可以得到直线 的解析式，再根据 ，
点 在抛物线上，可以写出点 的坐标和对应的直线 的解析式，再根据题意，可以得到点 横坐标的
最大值，从而可以得到点 经过的路程．【详解】解：∵二次函数 ，
∴当 时 ，当 时， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
设直线 的函数解析式为 ，
，
即直线 的函数解析式为 ，
∵ ，点 在抛物线上且在第一象限，
∴设点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
令 且 ，
解得 ，
此时直线 的解析式为 ，当 时 ，
∴点 横坐标最大值是 ，
∴点 经过的路程为： ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（4分）17．计算： ．
【详解】原式（4分）18．解方程： ．
【详解】解： ，
去分母，化为整式方程得： ，
即 ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解．
（8分）19．解方程组和不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：
(1)
(2)解不等式组
【详解】（1）解： ，
得： ③，
得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为： ；
（2）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为 ．
（8分）20．某校为了解本校七年级学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查
结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的
统计图，根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查中样本容量为_______；在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为_______；
(2)补全条形统计图；
(3)该校七年级共有学生400人，请估计该校七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数．
【详解】（1）解：由题知， （人）， ，
故答案为：80， ．
（2）解： （人），（3）解： （人），
答：七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数约为180人．
（8分）21．北京时间2023年12月27日14时50分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，
成功将天目一号气象星座19-22星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．小明和小
亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英
雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定从“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞
船”四个模块中各自随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为 、 、 、 ．
(1)小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为_____；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选择不同模块的概率．
【详解】（1）解：小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为 ，
故答案为： ；
（2）树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选择不同模块的结果有12种，
小明和小亮选择不同模块的概率 ．（8分）22．如图，矩形 的顶点 ， 分别在菱形 的边 ， 上，顶点 ， 在菱形
的对角线 上．
(1)求证： ；
(2)若 为 中点， ，求 的长．
【详解】（1） 四边形 是矩形，
， ，
．
， ，
．
四边形 是菱形，
，
，
，
；
（2）连接 ，
四边形 是菱形，
， ．
为 中点，
．
，
， ，
四边形 是平行四边形，．
四边形 是矩形，
， ，
．
（8分）23．如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分
别为1， ，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数 ，当 时，写出x的取值范围；
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S ＝ S ，请求出点P的坐标．
BDP ODA
△ △
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点A、B，点A、B的横坐标
分别为1，﹣2；
∴A ，B ；
把A、B的坐标代入 得 ；
解得 ；
∴一次函数的解析式为 ．
（2）∵ ；
由图象可知，当 时， ．
（3）∵一次函数为 ；∴D ；
∵A ，
∴ ；
∴ ，
设点P的坐标为： ， ；
∴ ， ；
当P在直线下方时，如图1，则；
；
解得 ；
∴点P ．
当P在直线AB的上方时，如图2，则；
；
解得 ；
∴点P ；
综上可得：点P的坐标为： 或 ．（8分）24．如图， 是 的直径，点 在 上，点 在 外，连接 ，若 ；
(1)求证： 是 的切线；
(2)已知，点 是 的中点，过点 作 ，交 于点 ，若 的半径为10， ，求
的长.
【详解】（）证明：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：设 与 相交于点F，过点E作 于点G，如图所示：
∵ ， ，点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由 可设 ，根据勾股定理可知 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（8分）25．杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，作为今年我国举办的最为盛大的赛事，是向世界展示中国形象、传播中国文化的重要窗口．宁夏枸杞作为几千年来备受推崇、药食同源的滋补上品，
小小的红果凝聚和传承着宁夏这片土地上，珍贵的历史记忆和宝贵的精神财富，已然成为宁夏独特的地域
符号、主导产业和文化象征，不但为宁夏社会经济发展作出了积极贡献，也为助力“健康中国”跑出了
“加速度”．在宁夏一特产专卖店销售某种枸杞，其进价为每千克 元，按每千克 元出售，平均每天
可售出 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 元，则平均每天的销售可增加 千克，若该专卖
店销售这种枸杞要想平均每天获利 元，请回答：
(1)为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克枸杞应降价多少元？
(2)根据市场需求，该店将售价定为多少出售，每天可获取最大利润，最大利润是多少？
【详解】（1）解：设每千克枸杞应降价 元，
根据题意，得 ，
化简，得 ，
解得 ．
为尽可能让利于顾客，赢得市场，
，
答：每千克枸杞应降价 元；
（2）设每千克枸杞应降价 元，每天获得利润为 元，
根据题意得： ，
，
当 时， 有最大值，最大值为 ，
此时售价为 元 ，
该店将售价定为 元出售，每天可获取最大利润，最大利润是 元．
（8分）26．已知抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，直
线 经过点 与点 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)点 在线段 下方的抛物线上，过点 作 的平行线交线段 于点 ，交 轴于点 ．
①如果 两点关于抛物线的对称轴对称，联结 ，当 时，求 的正切值；
②如果 ，求点 的坐标．
【详解】（1）解：∵直线 经过点 与点
则当 ；
∴
∴
解得
；
（2）解：①如图：
∵ ，且 两点关于抛物线 的对称轴对称，
∴ ，
则∵
∴ 轴
则
∵过点 作 的平行线交线段 于点 ，交 轴于点 ．
∴
则
∵ 轴交于 两点（点 在点 的左侧），
∴
∴ ，
∴
∵
则 的正切值等于 ；
②设 ， 的解析式为
∴把 代入
得
解得
∵过点 作 的平行线交线段 于点 ，交 轴于点∴设 的解析式为
把 代入
得
∴
令 ，
即
当
解得
则把 代入
得
∴
∵过点 作 轴，过点 作 轴，
∴
∴
∵
∴∵ ， ，
∴ ，
∴
解得
∵点 在线段 下方的抛物线上，
∴ （舍去）
∴ ．
把 代入
∴
∴点 的坐标
（10分）27．【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在 中， ， 为 上的动点，当
时，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，且 在边 的右侧，连接 ，
你能得到哪些结论呢？
①小明说：“在点 的运动过程中，只要保证 在边 的右侧， 的度数是固定的，我能求出
的度数”；小强说：“在点 的运动过程中，只要保证 在边 的右侧，我能得到从点 发出
的三条线段 的数量关系”．
②小涛说：“我利用 ，如图2，在 上截取 ，连接 ，再利用旋转的性质，就可以
得到小明和小强的结论”．
请你根据小涛的思路，求 的度数，并探究线段 的数量关系．【类比分析】
（2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，
李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答．
如图3，在 中， 为 上的动点，当 时，连接 ，将线段 绕点 逆时针
旋转 得到线段 ，且 在边 的左侧，连接 ，过 作 于点 ，求证： ．
【学以致用】
（3）如图4，在 中， 为 上的动点，当 时，连接 ，将线段 绕点
逆时针旋转 得到线段 ，且 在边 的右侧，连接 ，过 作 于 ，线段 的中
点为 ，连接 ，若 ，求四边形 的面积．
【详解】解：（1）在 上截取 ，连接 ．如图1，．
是等边三角形，
．
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
，
，
，即 ．
在 和 中， ，
．
，
．
．
，
．
（2）证明：在 上截取 ，连接 ．如图2，
．
是等边三角形，．
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
．
，即
在 和 中，
，
．
又 为等边三角形 ，
．
，
．
（3）解：连接 ，如图3．
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ．
，
是等边三角形．
，
为 中点，
．
在 中， ，
， 于 ．
，．
又 ，
，即 ，
，
，
，
．
在 上截取 ，由（1）得 是等边三角形， ．
，
．
过 作 于 ，
．
．
， ，
．
四边形 的面积 ．
