文档内容
难点与新考法 01 数与式中的计算、动点与规律探究（8 大题型）
题型一：几个非负数和为0问题
题型二：数轴动点问题
题型三：估算二次根式的大小
题型四：代数式求值
题型五：整除问题
题型六：个位数字规律探究
题型七：数或式的规律探究
题型八：图形规律探究
题型一：几个非负数和为0问题
非负数和为0问题的解题关键
若几个具有非负性的数或式子相加和为 0,则每一个加数均为0;常见的非负数有绝对值( )、
二次根式( )、偶次方(c",n为正整数)
【中考母题学方法】
【典例1】（2024•成都）若 ， 为实数，且 ，则 的值为 ．
【分析】利用非负数的性质列出方程，求出方程的解得到 与 的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解： ， 为实数，且 ，
， ，
解得 ， ，
．
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式1-1】难点01结合相反数的定义列出代数式
（2024•龙马潭区校级二模）已知 与 互为相反数， ．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出 、 ，然后代入代数
式进行计算即可得解．
【解答】解： 与 互为相反数，
，
， ，
解得 ， ，
所以，
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质，关键是根据“几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0”列出方程．
【变式1-2】难点02结合二元一次方程组求解
（2022•黔东南州）若 ，则 的值是 ．
【分析】根据非负数的性质可得 ，应用整体思想① ②即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
，
由① ②得，
．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质及解二元一次方程组
的方法进行求解是解决本题的关键．
【变式1-3】新考法01 结合三角形求解
（2023•永州模拟）若 ，则以 ， 为边长的等腰三角形的周长为 ．
【分析】先求 ， ．再求第三边 即可．
【解答】解： ， ， ，
， ，， ，
设三角形的第三边为 ，
当 时，三角形的周长 ，
当 时，三角形的周长 ，
故答案为：11或13．
【点评】本题考查了非负数的性质，求出 ， 后确定腰和底是求解本题的关键．
【变式1-4】新考法02 结合三角函数求解
（2024•武威二模）在 中，若 与 互为相反数，则 ．
【分析】先根据相反数的定义及非负数的性质结合特殊角的三角函数值求出 、 的度数，再根据三角
形内角和定理即可求出 度数．
【解答】解：由题意知， ，
， ，
即 ， ，
， ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）
二次根式（算术平方根）．当它们相加和为 0时，必须满足其中的每一项都等于 0．本题还考查了三角形
内角和为 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024•雨花台区模拟）已知 ， 都是实数，若 ，则 的值是
A． B．0 C．1 D．2024
【分析】根据非负数的性质列出方程，求出 、 的值，再代入所求所占计算即可．
【解答】解：由题意得， ， ，
解得 ， ，
所以 ．
故选： ．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
2．（2024•蓬江区校级一模）若 、 为实数，且满足 ，则 的值为
A．1或 B．1 C． D．无法确定
【分析】根据非负数的性质列式求出 ， 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解： ，
，
即 ， ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查非负数的性质和算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
3.（2023•邹城市一模）已知 与 互为相反数，则 的值是
A．6 B．5 C． D．2
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于 0列方程，再根据非负数的性质列方程求出 、 ，然后代入
代数式进行计算即可得解．
【解答】解： 与 互为相反数，
，
即 ，
所以 ， ，
解得 ， ，
所以 ．故选： ．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
4．（2024•广州模拟）在平面直角坐标系中，已知 ，则点 位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据 ， ，建立二元一次方程组，求解出 ， 的值，再根据各象限点坐标
的特点，即可得出结果．
【解答】解： ， ，
，
解得： ，
位于第二象限，
故选： ．
【点评】本题考查非负数的性质、算术平方根、点的坐标，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
5．（2024•甘州区三模）已知 ， 的平方根是 ．
【分析】首先根据绝对值和被开方数的非负性可以求 、 的值，再根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：根据题意知 ， ，
， ，
，
的平方根为 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了立方根、平方根定义和非负数的性质，其中求一个数的立方根，应先找出所要求
的这个数是哪一个数的立方．注意：（1）一个数的立方根与原数的性质符号相同．（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
6．（2024•金平区一模）已知 ，则 的值为 ．
【分析】根据非负数的性质求出 、 的值再代入解答即可．
【解答】解： ，
， ，
， ．
， ；
．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．
7．（2024•广西模拟）已知 、 、 都是实数，若 ，则 ．
【分析】利用非负数的意义求得 ， ， 值，将 ， ， 值代入运算即可．
【解答】解： ， ， ， ，
， ， ，
， ， ．
．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了非负数的应用，利用非负数的意义求得 ， ， 值是解题的关键．8.（2023•甘州区校级模拟） 的三边长 ， ， 满足 ，则 的周长为
．
【分析】直接利用非负数的性质得出 ， 的值，进而得出答案．
【解答】解： ，
， ，
解得： ， ，
的周长为： ．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出 ， 的值是解题关键．
9.（2024•凉州区一模）已知 、 均为锐角，且满足 ，则 ．
【分析】根据非负数的性质得到 ， ，利用特殊角的三角函数值分别求出 、 ，计算
即可．
【解答】解：由题意得， ， ，
则 ， ，
， ，
， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的
关键．
10．（2024•西城区校级一模）已知 ，若 ，求代数式 的值．【分析】先根据非负数的性质得出 、 的值，代入 变形得 ，再代入
求解即可．
【解答】解： ，
， ，
解得 ， ，
代入 ，得： ，
则 ，
．
【点评】本题主要考查非负数的性质：偶次乘方、绝对值，解题的关键是掌握任意一个数的偶次方都是非
负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
11．（2024•恩施市模拟）已知 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的平方根．
【分析】（1）根据非负数的性质求出 与 ；
（2）再根据平方根的定义进行代入求值即可．
【解答】解：（1） ，
， ，
即 ， ；
（2）由（1）可知 ， ，则 的平方根为 ．
【点评】本题考查非负数的性质和平方根、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
题型二：数轴动点问题
数轴上的三种动点问题
数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情
况多变。动点问题虽然较难，但观察总结过这类题目考型后会发现其实总体来说就分为三类:
一、数轴上点移动后的表示
点的移动问题方法：“三找”：
(1)找起点；（2）找方向；（3）找长度
二、两个点之间的距离
1、距离公式：AB=｜a-b｜=｜b-a｜（或者：右边的数-左边的数）
2、中点公式：点M表示的数为：（a+b)/2；
3、移动公式：当点A向右移动m个单位，则A表示的数为：a+m；
当A向左移动m个单位，则A表示的数为a-m.
三、数轴上动点移动问题
点的移动问题就是将点的移动后表示与用绝对值表示两点之间的距离结合起来。
方法：(1)找起点；（2）找方向；（3）找长度（4）根据距离公式列方程
【中考母题学方法】
【典例2】（2024•新华区校级二模）已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
（1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数 的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的
点重合；
（2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数 的点重合，回答下列问题：
①表示数9的点与表示数 的点重合；
②若这样折叠后，数轴上的 ， 两点也重合，且 ， 两点之间的距离为10（点 在点 的左侧），
求 ， 两点所表示的数分别是多少？③在②的条件下，在数轴上找到一点 ，设点 表示的数为 ．当 时，直接写出 的值．
【分析】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数为原点，由此可得结论；
（2）先根据中点坐标公式得折叠点对应的数为2；
①设9表示的点所对应点表示的数为 ，根据中点坐标公式列方程可得 的值，可得结论；
②根据折叠的性质可得结论；
③根据 列出方程，求解方程可得出 的值．
【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与 重合，折叠点对应的数为 ，
则表示4的点与表示 的点重合；
故答案为： ；
（2）折叠纸面，使表示数6的点与表示数 的点重合，折叠点对应的数为 ，
①设表示9的点与表示 的点重合，于是有 ，解得 ，
即表示9的点与表示 的点重合；
故答案为： ；
②点 表示的数为 ，
点 表示的数为 ，
答： 点表示的数是 ， 点表示的数是7；
③ ，
，
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，
解得 ；
当 时， ，
解得 ，
综上所述， 的值为 或8．
【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，知道数轴上两个数的中点所表示数的计算方法是解决问题的
关键．
【变式2】难点新考法新定义阅读理解 分类讨论位置关系问题（2024秋•宝安区期中）阅读理解： 、 、 为数轴上三点，若点 到 的距离是点 到 的距离的3
倍，我们称点 是【 ， 】的和谐点．若点 到 的距离是点 到 的距离的3倍，我们称点 是【
， 】的和谐点．
（1）如图1，点 表示的数为 ，点 表示的数为3．表示0的点 到点 的距离是1，到点 的距离是
3，那么点 【 ， 】的和谐点，点 【 ， 】的和谐点．（请在横线上填是或不是）
（2）如图2， 、 为数轴上两点，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为3．则【 ， 】的和谐
点有 个，并求出所有【 ， 】的和谐点所表示的数．
（3）如图3， 、 为数轴上两点，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁
从点 出发，以3个单位每秒的速度向右运动，另一只电子蚂蚁 从点 出发，以1个单位每秒的速
度向左运动，当点 到达点 时， 、 两点同时停止运动，设运动的时间为 秒．
①当 时，若点 是【 ， 】的和谐点且在 、 之间，则 所表示的数是否为定值，若为定值，
请求出该值，若不为定值，请说明理由．
②直接写出当 是【 ， 】的和谐点时， 的值为 ．
【分析】（1）由“点 到点 的距离是1，到点 的距离是3”结合和谐点的定义，即可得出结论；
（2）设【 ， 】的和谐点所表示的数为 ，根据和谐点的定义，可列出关于 的含绝对值的一元一次方
程，解之即可得出结论；
（3）利用时间 路程 速度，可求出点 到达点 所需的时间及 ， 两点相遇时的时间，当运动时间
为 秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．
①设点 表示的数为 ，根据点 是【 ， 】的和谐点且在 、 之间，可列出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论；
②根据点 是【 ， 】的和谐点，可列出关于 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1） 点 到点 的距离是1，到点 的距离是3，
点 不是【 ， 】的和谐点，点 是【 ， 】的和谐点．
故答案为：不是，是；
（2）设【 ， 】的和谐点所表示的数为 ，
根据题意得： ，
即 或 ，
解得： 或 ，
【 ， 】的和谐点有2个，【 ， 】的和谐点所表示的数为2或5．
故答案为：2；
（3） （秒 ， （秒 ．
当运动时间为 秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．
①设点 表示的数为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
当 时，若点 是【 ， 】的和谐点且在 、 之间，则 所表示的数为定值，该值为25；
②根据题意得： ，
即 或 ，
解得： 或 ，
的值为 或 ．
故答案为： 或 ．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
1．（2024•献县模拟）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示 的点 ．小明同
学设计了一个电脑程序：点 ， 分别从点 同时出发，每按一次键盘，点 向右平移2个单位长度，
点 向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点 ， 的位置如图2．
（1）第 次按键后，点 正好到达原点；
（2）第6次按键后，点 到达的点表示的数字比点 到达的点表示的数字大多少？
（3）第 次按键后，点 ， 到达的点表示的数互为相反数，求 的值．
【分析】（1）设进行 次按键，由题意得， 点表示的数是 ，因为点 正好到达原点，所以
，解得 的值，即得第几次按键后，点 正好到达原点；
（2）第6次按键后，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，可得点 到达的点表
示的数字比点 到达的点表示的数字大多少；
（3）由题意得， 点表示的数是 ， 点表示的数是 ，因为点 ， 到达的点表示的数互
为相反数，所以 ，可解得 的值．
【解答】解：（1）设进行 次按键，
由题意得， 点表示的数是 ，
点 正好到达原点，
，
解得： ，
第3次按键后，点 正好到达原点，
故答案为：3；
（2）第6次按键后，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
，
第6次按键后，点 到达的点表示的数字比点 到达的点表示的数字大18；
（3）由题意得， 点表示的数是 ， 点表示的数是 ，
点 ， 到达的点表示的数互为相反数，，
解得： ．
【点评】本题考查了数轴，相反数的定义，根据题意列出点 、 表示的数是本题的关键．
2．（2024•恩施市校级模拟）如图，已知数轴上原点为 ，点 表示的数为 ， 在 的右边，且 与
的距离是24，动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点 从点 出
发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒．
（1）写出数轴上点 表示的数 ，与点 的距离为3的点表示的数是 ．
（2）点 表示的数 （用含 的代数式表示）；点 表示的数 ，（用含 的代数式表示）．
（3）假如 先出发2秒，请问点 总运动时间 为何值时， ， 相距5个单位长度？
（4）若点 是数轴上一点，是否存在整数 ，使得 的值最小？如果存在，请写出最小整数
；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用两点间距离公式计算即可求解；
（2）根据题意，列出代数式即可求解；
（3）用 表示出 、 表示的数，利用两点间距离公式可得关于 的一元一次方程，解方程即可求解；
（4）由 ，可得当 的值最小时，即整数 到4和 的距离
之和最小，此时 在4和 之间，即可求出最小整数 ．
【解答】解：（1）点 表示的数为 ， 在 的右边，且 与 的距离是24，
点 表示的数是 ，
， ，
与点 的距离为3的点表示的数是17或23，
故答案为：20，17或23；
（2）由题意得，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，故答案为： ， ；
（3）由题意得，点 表示的数为 ，点 表示的数是 ，
则 ，
整理得， ，
或 ，
解得 或 ，
点 总运动时间 为7或 时， ， 相距5个单位长度；
（4）存在，最小整数 为 ．
理由如下： ，表示数轴上表示 的点与表示数3和 对应点之间的距离
之和，
当 的值最小时，即整数 到4和 的距离之和最小，此时 在4和 之间，
即 时，
最小整数 为 ．
【点评】本题考查了数轴、列代数式、一元一次方程的应用，掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的
关键．
题型三：估算二次根式的大小
解题方法 平方法
在估算二次根式的大小时常使用的是平方法,对于几个正的二次根式,可以通过比较它们平
方后的结果来确定二次根式的大小关系.
【中考母题学方法】
【典例3】（2024•天津）估计 的值在
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【分析】根据二次根式的性质得出 ，即可求出答案．
【解答】解： ，
，
即 在3和4之间．
故选： ．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是确定出 的范围，题目比较典型，难度
不大．
【变式3-1】难点01 结合二次根式的运算估值
（2024•江北区校级模拟）若 为正整数，且满足估算 ，则 的值为
A．18 B．19 C．20 D．21
【分析】先根据二次根式的乘法法则计算 ，然后估算 的大小，再根据不等式的性质估
算计算结果的大小，从而得到答案即可．
【解答】解：
，
，即 ，
，
，
的值为20，
故选： ．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
【变式3-2】难点02 求整数部分和小数部分
（2024•南海区校级模拟）已知 的整数部分是1，则小数部分是 ；若 的小数部分为 ，则．
【分析】先估计 在那两个连续整数之间，即可确定其整数部分，进而得到 ．
【解答】解： ，
的整数部分是3，
的小数部分为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查估算无理数的大小，判断出 在那两个连续整数之间是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
1．（2024•游仙区模拟）设 ，则对于实数 的范围判断正确的是
A． B． C． D．
【分析】估算出 ，再找出选项即可．
【解答】解： ，
，
即实数 的范围是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出 的范围是解此题的关键．
2.（2024•沙坪坝区模拟）估计 的值应在
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
【分析】先利用二次根式的乘法法则计算，进而估算无理数的大小得出答案．
【解答】解：
，，
，
，
的值应在9和10之间．
故选： ．
【点评】本题主要考查的是二次根式乘法运算，估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．
3.（2024•琼山区校级三模）已知 ， ， ， ．若 为整数，且
，则 的值为
A．43 B．44 C．45 D．46
【分析】首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．
【解答】解： ，
，
即 ，
又 ， 为整数，
，
故选： ．
【点评】本题考查的是无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是关键．
4.（2024•历城区模拟）大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可
能以小数形式全部写出来，因为 的整数部分是1，于是可以用 表示 的小数部分．类似的，
的小数部分可以表示为 ．
【分析】先估算 的大小，再求出它的整数部分和小数部分即可．【解答】解： ，即 ，
的整数部分是2，小数部分是 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
5．（2024•市南区校级二模）已知 是 的整数部分， 是它的小数部分，求 的值．
【分析】由于 ，则 ， ，然后代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解： ，
， ，
原式
．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
题型四：代数式求值
1、直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.
2、整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.
②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关
系.
③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．
【中考母题学方法】
【典例4】（2024•徐州）若 ， ，则代数式 的值等于 ．
【分析】将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解： ， ，，
故答案为：2．
【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
【变式4-1】难点 结合方程组求代数式的值
（2024•大庆模拟）已知 ， ，则 ．
【分析】根据平方差公式求出 的值，得到关于 和 的二元一次方程组并求解，将 和 的值代入
计算即可．
【解答】解： ，
，
，
，解得 ，
．
故答案为：2025．
【点评】本题考查代数式求值，掌握平方差公式及二元一次方程的解法是本题的关键．
【变式4-2】新考法 解题方法型阅读理解题
（2024•香坊区二模）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决
数学问题的重要思想方法．例如，代数式 的几何意义是数轴上 所对应的点与2所对应的点之间的
距离：因为 ，所以 的几何意义就是数轴上 所对应的点与 所对应的点之间的距离．
则代数式 的最小值是 ．【分析】代数式 的几何意义就是数轴上 所对应的点与 所对应的点之间的距离，代数式 的
几何意义是数轴上 所对应的点与5所对应的点之间的距离，代数式 的几何意义就是数轴上
所对应的点与 、5所对应的点之间的距离的和，最小值就是 所对应的点与5所对应的点之间的距离，
据此求解即可．
【解答】解：代数式 的最小值是： ．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，解答此题的关键是弄清楚代数式 和 的几何意义．
【中考模拟即学即练】
1．（2024•广安）若 ，则 ．
【分析】由已知条件可得 ，将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解： ，
，
，
故答案为：7．
【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
2．（2024•锦江区模拟）若 ，则 的值为 ．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，约分后即可得到答案．
【解答】解：；
故答案为：10．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
3．（2024•阳谷县一模）已知 ，则代数式 的值是 ．
【分析】由 ，可得 ，有 ，即可得 ．
【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：13．
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是根据已知变形，求出 ，再整体代入．
4．（2024•内江）已知实数 、 满足 的两根，则 ．
【分析】把 代入原式，根据分式的加法法则计算即可．
【解答】解： ，
原式
，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的加法法则是解题的关键．5.（2024•仁怀市模拟）如果实数 ， 满足方程组 ，那么代数式 的值为 ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，求出方程组的解得到 与 的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式 ，
方程组 ，
解得： ，
当 ， 时，原式 ．
故答案为：1
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6.（2024•南岗区校级一模）阅读材料：若 满足 ，求 的值．
解：设 ， ，则 ， ．
所以 ．
带仿照上例解决下面问题：
若 满足 ，则 的值是 ．
【分析】仿照阅读材料，设 ， ，则 ， ，可得
，代入可得答案．
【解答】解：设 ， ，则 ， ，；
故答案为：110．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
7.（2024•枣庄一模）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知 ，求代数式
的值．”可以这样解： ．根据阅读材料，解决问题：若
是关于 的一元一次方程 的解，则代数式 的值是
．
【分析】根据 是关于 的一元一次方程 的解，可得： ，直接代入所求式即可解答．
【解答】解： 是关于 的一元一次方程 的解，
，
，
．
解法二：原式 ，
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解和代数式求值，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出 、
的关系．
8．（2024•邢台三模）已知： ， ．
（1）求 ；
（2）若 的值与 的值无关，求 ， 满足的关系式．
【分析】（1）由题意知， ；（2）由题意知， ，由 的值与 的值无
关，可得 ，然后求解作答即可．
【解答】解：（1）由题意知， ，
；
（2）由题意知，
．
的值与 的值无关，
，
解得 ．
【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．
9．（2024•萧山区一模）化简： ．
方方在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是4，请计算 ．
（2）如果化简的结果是单项式，求被污染的数字．
【分析】（1）根据单项式乘多项式和去括号法则，去掉括号，再合并同类项即可；
（2）分两种情况讨论：①化简结果是不含有 的单项式，②若化简结果是含有 的单项式，进行解答即可．
【解答】解：（1）
；
（2）分两种情况：
①若化简结果是不含有 的单项式，则被污染的数字为3，，
②若化简结果是含有 的单项式，则被污染数字为2，
，
如果化简的结果是单项式，被污染的数字是3或2．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．
题型五：整除问题
解题方法 因式分解法
利用平方差公式对整式或高次幂进行因式分解或降幂,直到式子中出现整数因式,则可以判
断该整式或高次幂可以被整数因式整除
【中考母题学方法】
【典例5】（2023•河北）若 为任意整数，则 的值总能
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
【解答】解：
，
为任意整数，
的值总能被3整除，
故选： ．【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出 是解此题的关键．
【变式5】新考法 新定义阅读理解题
（2023•重庆）对于一个四位自然数 ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称
为“天真数”．如：四位数 7311， ， ， 是“天真数”；四位数 8421，
， 不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数” 的千位数字
为 ，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ，记 ， ，若
能被10整除，则满足条件的 的最大值为 ．
【分析】它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称 为“天真数”．分为两部分：
第一部分千位数和个位数之间的关系，第二部分百位数和十位数之前的关系．
【解答】解：求最小的“天真数”，首先知道最小的自然数的0．
先看它的千位数字比个位数字多6，个位数为最小的自然数0时，千位数为6；百位数字比十位数字多2，
十位数为最小的自然数0时．百位数是2；则最小的“天真数”为6200．
故答案为：6200．
一个“天真数” 的千位数字为 ，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ．
由“天真数”的定义得 ，所以 ， ，所以 ，
又 ；
若能被10整除当 取最大值9时，
即当 时， 满足能被10整除，则 ，“天真数” 为9313．
故答案为：9313．
【点评】新定义题型，各数字的取值范围，最值：最小自然数0．
【中考模拟即学即练】
1．（2024•丰润区一模）若 、 都是任意整数，如果 的值总能被3整除，则 不能取
A． B．1 C．2 D．4【分析】先求出原式 ，根据题意可知， 总能被3整除，再逐一判断各选项即可．
【解答】解：
，
、 都是任意整数， 的值总能被3整除，
总能被3整除，
整数 为 ，1，4均能满足条件，故选项 ， ， 不符合题意，
整数 为2时，不能满足 、 都是任意整数， 的值总能被3整除，
故选： ．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2.（2024•渝北区模拟）一个四位数 ，记作 ，若 ，则称 为“和美数”．例如：
四位数1235， ， 是“和美数”．若一个“和美数”为 ，则这个数为 ；对于
“和美数” ，去掉个位上的数字得到三位数 ，去掉千位上的数字得到三位数 ，当
能被11整除时，满足条件的 的最大值与最小值的差为 ．
【分析】根据“和美数”的定义即可求出 ；根据“和美数”的定义先求得 ，结合
可得 ，再根据被11整除的数的特征求解即可．
【解答】解： ，
，
，
， ，，
能被11整除，
是11的倍数，即 是11的倍数，
当 最小时， 最小，当 最大时， 最大，
最小为1，
，
，
， ，
，
，
满足条件的 的最小值为1796；
又 ，
，
又 ， 是11的倍数，
的最大值为6，此时 ，
，
． ，
满足条件的 的最大值为6178，
．
故答案为：2，4382．
【点评】本题考查了新定义运算，理解新定义，正确的推理计算是解题的关键．
3.（2024•九龙坡区校级模拟）对于一个四位正整数 ，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数 是“优胜数”．则符合条
件的 的最大数与最小数的差为 （A） ， （A） ，若 能被7整除，
则所有满足条件的四位正整数 的和为 ．
【分析】根据题意求出当 ， 时， 的最大数为 ，当 ， 时，
的最小数为 ，即可求出符合条件的 的最大数与最小数的差，根据题意求出
（A） ，则 （A） 或 （A） 或 （A） ，进一步求出所有
满足条件的四位正整数4，即可求出所有满足条件的四位正整数4的和．
【解答】解： 四位正整数 是“优胜数”，
， ，
． ，
， ，
， ，
， ，
可得到 为： ，
当 ， 时， 的最大数为 ，
各位上数字均不为零且互不相等，
当 ． 时， 的最小数为 ，
最大值与最小值的差为 ；
（A） ， （A） ，
， ，
， ，
（A） ， （A） ，
能被7整除，（A） ，则 （A） 或 （A） 或 （A） ，
解得 ， ， ， ，
或 ， ， ， ，
或 ， ， ， ，
或 ， ， ， ，
各位上数字均不为零且互不相等，
所有满足条件的四位正整数4为：1578，3576，
所有满足条件的四位正整数4的和为 ，
故答案为：7653，5154．
【点评】此题考查了数字类规律题，整式加减的应用、不等式的应用等知识，正确理解题意是解决本题的
关键．
4．（2024•秦淮区模拟）证明： 能被 整除．
【分析】先去括号，再进行分组，利用提公因式法和十字相乘法，即可证明．
【解答】解：
．
故能被 整除．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握提公因式法和十字相乘法是解题的关键．
5．（2024•邯山区校级三模）有一电脑 程序如图，能处理整式的相关计算，已知输入整式 ，整
式 后，屏幕上自动将整式 补齐，但由于屏幕大小有限，只显示了整式 的一部分：
．
（1）嘉淇想：把 设为 ，再利用 来解决问题，请利用嘉淇的想法求程序自动补全的整式；
（2）在（1）的条件下，嘉淇发现：若 为任意整数，整式 的值总能被某个大于1的正整数整除，
求这个正整数的值．
【分析】（1）设“ ”代表的代数式为 ，即 ，利用多项式乘以多项式进行展开，再合
并同类项，即可求解；
（2）利用完全平方公式，单项式乘以多项式展开，再因式分解即可．
【解答】解：（1）设“ ”代表的代数式为 ，
即 ，则 ，
，
，
，
解得 ，
即程序自动补全的整式 ；
（2）
，
若 为任意整数，则 为整数，
整式 的值总能被5整除．
【点评】本题考查了整式的乘法，加减法，因式分解，熟练掌握知识点以及运算法则是解题的关键．
6．（2024•古冶区二模）如果一个四位自然数 的各数位上的数字互不相等且均不为 0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．
例如：四位数4129， ， 是“递减数”．
（1）判断四位数5324是不是“递减数”；
（2）若一个“递减数”为 ，求这个“递减数”；
（3）若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的和能被9整除，
直接写出满足条件的递减数的最大值．
【分析】（1）由 得5324不是“递减数”．
（ 2 ） 由 题 意 得 ， 故 这 个 “ 递 减 数 ” 是 4312 ． （ 3 ） 由 题 意 得
．根据前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的和得
，再根据能被9整除得 是整数，最后再代入
的不同值计算即可．
【解答】解：（1） ，
不是“递减数”．
（2）由题意得 ，解得 ，
答：这个“递减数”是4312．
（3）由题意得 ．
，
，
是整数，
当 时，此时 只能取0，不符合题意，舍去；
当 时， ，此时 ， 取9或8或7时，均不符合题意，
只有 时， ，故符合条件的最大值是8165．
答：最大值是8165．
【点评】本题考查了整式的加减，掌握“递减数”的含义是解题关键．
题型六：个位数字规律探究
解题方法 周期判断法
第一步：计算出前几个算式的结果
第二步：观察个位数字的循环规律，重复出现的数为一个周期，如 2"的个位数字以24、
8、6为一个周期循环出现，周期内有4个数;3"的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环
出现，周期内有4个数;4"的个位数字以4、6为一个周期循环出现，周期内有2个数
第三步：用n÷周期中数字的个数得到的余数，代表了所求个位数字处在周期中的第几位
【中考母题学方法】
【典例6】（2024•碑林区校级自主招生）如果 是一个自然数，那么 的“双阶乘”记为 ，其表示从2
到 的所有偶数的积，如果 ，那么 的末尾数字为 ．
【分析】根据“双阶乘”的定义可发现从 开始，后面的 都需要 ，所以末尾数字也都为0，因此
只需要计算 之前即可得解．
【解答】解： ，
当计算 时，
，
从 开始，后面的 都需要 ，所以末尾数字也都为0，
因此只需要计算 之前，
，
只需要末尾数字所以算式的末尾数字为 ，
所以末尾数字为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了尾数特征，熟练掌握数的四则运算的计算和应用是解题关键．
【变式6-1】难点01 不确定n的值求个位数字
的末尾数是 ．【分析】先求出一个2，2个2相乘，3个2相乘，4个2相乘，5个2相乘的积，根据积的末尾数，找出规
律，按照此规律进行解答即可．
【解答】解： ， ， ， ， ，
个2的末尾数是2，两个2相乘的末尾数是4，三个2相乘的末尾数是8，四个2相乘的末尾数是6，五
个2相乘的末尾数是 ，
末尾数是2的数相乘积的末尾数的规律是：2，4，8，6，每4个一循环，
从2到1222共有 （个 数，
，
积的末尾数是8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是从若干个2相乘的算式中，找出末尾数是2的数相乘
得的积的末尾数的规律．
【变式6-2】难点02 结合因式分解求个位数字
（2024 秋•南安市校级月考）发现： ， ， ， ， ， ，
， ，依据上述规律，通过计算判断 的结果的个位
数字是
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规
律解答．
【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ，
观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结
果的个位数字是6；．
由规律可得 的个位数字是6，
的结果的个位数字是6．
故选： ．
【点评】本题考查了平方差公式和尾数特征．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．
【中考模拟即学即练】
1．（2024•头屯河区二模）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营
养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型 来表示．即：
， ， ， ， ， ，请你推算 的个位数字是
A．6 B．4 C．2 D．8
【分析】根据尾数的循环性得出结论即可．
【解答】解：由题意知， 个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现，
，
的个位数字与 相同，为6，
故选： ．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据尾数的循环得出结论是解题的关键．
2．（2024•赤峰一模）观察下列等式： ， ， ， ， ， ， ，
根据其中的规律可得 的结果的个位数字是
A．0 B．1 C．7 D．8
【分析】由题意知，当 为非负整数时， 的末位数字依次为 1、7、9、3且每4个为1个循环，由
， ，求解作答即可．
【解答】解：由题意知，当 为非负整数时， 的末位数字依次为1、7、9、3且每4个为1个循环，， ，
的结果的个位数字为1．
故选： ．
【点评】本题考查了数字的规律探究，掌握题意寻找规律是解题的关键．
3．（2024•兴宁市校级模拟） 的计算结果的个位数字是
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】分别探索 和 的个位数字，转化为探索 和 即可．
【解答】解： 的个位数字只需看2023的个位数字3的2024次方的结果即可，
， ， ， ， ，
个位数字是每4个一循环，
，
的个位数字为1，
的个位数字为1，
的个位数字只需看2024的个位数字4的2023次方的结果即可，
， ， ， ，
个位数字是每2个一循环，
，
的个位数字为4，
的个位数字为4，
的个位数字为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了数的规律探索，熟练掌握乘方类型数的个位数字的规律是解题的关键．
4．（2024•青山湖区校级三模）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型 来表示．即：
， ， ， ， ， ，请你推算 的个位数字是 ．
【分析】通过观察可知2的乘方的尾数每4个循环一次，则 与 的尾数相同，即可求解．
【解答】解： ， ， ， ， ， ，
的乘方的尾数每4个循环一次，
，
与 的尾数相同为6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，能够根据所给式子，探索出尾数的规律是解题的关键．
5.设 ，则 的个位数字是 ．
【分析】将算式转化为运用平方差公式进行计算的形式，再对 的个位数字出现规律进行推导、利用．
【解答】解：由题意得，
，
，即其个位数字是2；
，即其个位数字是4；
，即其个位数字是8；
，即其个位数字是6；，即其个位数字是2；
的个位数字按2，4，6，8的顺序循环出现，
，
的个位数字是： ，
【点评】此题考查了平方差公式的运用和算式规律归纳问题的解决能力，关键是能准确变式，并归纳运用．
6．（2024春•项城市校级期中）已知： ；
；
；
；
（1）当 时， ；
（2）试求 的值；
（3） 的值的个位数是 ．
【分析】（1）把 直接代入进行计算即可；
（2）根据前几个变化规律，将 时的等式恒等变形即可得出答案；
（3）找到变化规律，再恒等变形，依次分析2的 次方的个位数字变化规律即可求解．
【解答】解：（1）当 时， ，
故答案为：255；
（2）根据题意， ，
当 时， ，
；（3）由题意知，
原式 ，
， ， ， ， ， ， ，
且 ，
的个位数与 的个位数相同，即为2，
的个位数为1，
即 的值的个位数是1，
故答案为：1．
【点评】本题考查规律型：数字的变化类、尾数特征，多项式乘多项式，根据已知等式，正确归纳出一般
变化规律是解答的关键．
题型七：数或式的规律探究
解题方法
1.数字规律的解题步骤
第一步：按顺序给数标序数
第二步：对比序数(1，2，3，…，n)和数值间的关系，并用含序数的式子表示
第三步：根据规律表示出第n个式子，并检验
第四步：代入n的值，求第n个数
2.求第n个单项式的解题关键
找单项式的系数或者指数与序号的对应关系,可将问题转化成找数与序号之间的规律
3.猜想第n个等式的解题关键
找到等式里边每一个变化的数字与序号之间的对应关系,常见的数字规律同问题1;证明第,
个等式的正确性,即通过整式或分式运算,将等号一边变形为另一边的结果,
【中考母题学方法】
【典例7】（2024•绵阳）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有
1个数为2，第二行有2个数为4，6， 第 行有 个数 ．探究其中规律，你认为第 行从左至右第3
个数不可能是A．36 B．96 C．226 D．426
【分析】根据所给排列方式，发现每行最后一个数可表示为两个连续整数的积，据此发现第三行开始的每
行左起第3个数的规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
， ， ， ， ， ，
所以第 行的最后一个数可表示为 ，
则从第三行起，第 行的左起的第3个数可表示为： 为大于等于2的整数）．
因为 ，
故 选项不符合题意．
因为 ，
故 选项不符合题意．
因为 ， ，且 ，
故 选项符合题意．
因为 ，
故 选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给排列方式，发现从第三行起，第 行的左起的第3
个数可表示为： 为大于等于2的整数）是解题的关键．
【变式7-1】难点01两组数求第n个数的和
（2023•牡丹江）观察下面两行数：
1，5，11，19，29， ；
1，3，6，10，15， ．
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是
A．92 B．87 C．83 D．78【分析】观察第2行数可知第 个数为 ，第一行数的第 个数为第2行第 个数的2倍减
1，即可求出每行数的第7个数，从而得到答案．
【解答】解：观察第2行数可知，第7个数为： ，
第1行的第7个数为 ，
，
取每行数的第7个数，这两个数的和是83；
故选： ．
【点评】本题考查数字的变化类问题，解题的关键是观察得到两行数字的变化规律．
【变式7-2】难点02根据第一个数字与层数的关系判断数字所在位置
（2023•恩施州）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
，4， ，16， ，64， ①
0，7， ，21， ，71， ②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和
为 ．
【分析】观察可得，第①行数的第 个数为 ，第②行数的第 个数为 ，即可得到答案．
【解答】解：观察数列可得，第①行数的第10个数为 ，
第①行数的第2023个数为 ，第②行数的第2023个数为 ，
，
取每行数的第2023个数，这两个数的和为 ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查数字变化规律，解题的关键是观察数列，得到两个数列中数字的规律．
【变式7-3】难点03单项式的系数变成正负交替的分数
（2024•盘龙区校级模拟）按一定规律排列的式子： ， ， ， ， ，第 个式子是
A． B．C． D．
【分析】观察单项式的系数和次数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，
且各项系数的绝对值的分子都是1，分母为从1开始的连续奇数，
所以第 个式子的系数为： ；
观察单项式列中各单项式的次数可知，
，
，
，
，
所以第 个式子的次数为： ，
所以第 个式子可表示为： ．
故选： ．
【点评】本题考查代数式变化的规律，能根据所给单项式列发现其系数和次数的变化规律是解题的关键．
【变式7-4】猜想第n个等式
（2024•宁夏）观察下列等式：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
第4个： ．
按照以上规律，第 个等式为 ．【分析】分析所给的等式的形式，总结出规律，再对等式的左边进行整理即可．
【解答】解：第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
第4个： ．
按照以上规律，第 个等式为 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是对由所给的等式总结出存在的规律．
【中考模拟即学即练】
1．（2024•巧家县二模）按一定规律排列的多项式： ， ， ， ， ，
．第 个多项式是
A． B． C． D．
【分析】根据题意可得第 个多项式是 ，即可得出结果．
【解答】解：根据题意可知，按一定规律排列的多项式： ， ， ， ，
， ，
第 个多项式是 ，
故选： ．
【点评】本题考查的是多项式和数字的变化规律，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
2．（2024•湖北模拟）一串数字如下：1， ，5， ，9， 如此下去，则第2023个数字与第2024个数字的和等于
A．4047 B． C．2 D．
【分析】根据各个数的符号和绝对值两个方面找到规律，再求解．
【解答】解： ， ，5， ，9， ，
第2023个数字与第2024个数字分别为： ， ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了数字的变化类，张变化规律是解题的关键．
3．（2024•西山区校级模拟）按一定规律排列的一列单项式如下： ， ， ， ， ，则第
9个单项式是
A． B． C． D．
【分析】根据题干中的单项式总结规律即可求得答案．
【解答】解：第1个单项式： ；
第2个单项式： ；
第3个单项式： ；
，
第9个单项式是 ，
故选： ．
【点评】本题考查单项式及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
4．（2024•娄底模拟）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261
年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了 为非负整数）展开式的项数及各项系数有关规
律，如下：则 展开式中所有项的系数和是
A．2048 B．1024 C．0 D．
【分析】根据已知算式得出规律，再求出即可．
【解答】解：当 ， 时， ，
故选： ．
【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
5.（2023秋•邛崃市校级月考）观察下列等式：
第1层：
第2层：
第3层：
第4层：
在上述数字宝塔中，从上往下数，2023在第 层．
【分析】观察等式的规律，结合式子的特征确定每一层的数比前一层的数多2个，结合第一层是3个数，可以得到一组连续的奇数；根据连续奇数和的规律，连续 个奇数的和是 ，
由此确定2023所在的层数．
【解答】解： ，共有3个数； ，共有5个数； ，共有7
个数；
第四个等式左边应该为5个连续的数，右边应该为4个连续的数；
即第四个等式为： ，共有9个数；
由此可知，每一层都有奇数个数，从第一层开始，到第 层结束共有 个数，
又因为 ，
所以2023在第44层；
故答案为：44．
【点评】本题主要考查学生的探求规律的能力，解题的关键是明确式子规律，结合式子的特征确定每一层
有几个数进行解答．
6．（2024•永安市二模）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第 个等式（用含 的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式，不难得出第 个等式为： ，通过对等式的左边的运算即可证
明．【解答】解：（1）由题给出的等式可得第5个等式为： ，
故答案为： ；
（2）猜想：第 个等式为： ，
证明：等式左边 右边，
故猜想成立．
第 个等式为： ．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
题型八：图形规律探究
解题方法
解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形
与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而
推出一般性的结论．
【中考母题学方法】
【典例8】（2024•哈尔滨）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图
形需要棋子
A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚
【分析】根据题意得第1，2，3个图形中棋子的个数，据此得到其余图形中棋子的总数与边数的关系即可．
【解答】解：第1个图棋子个数为4；第2个图棋子个数为 ；第3个图棋子个数为 ；
因此：第四个图的棋子个数为 ；
第五个图棋子个数为 ．
故选： ．
【点评】本题考查图形的变化规律；找到棋子总数与正方形的边数4及每边上的棋子的个数的关系是解决
本题的关键．
【变式8-1】难点01两种基础图形变化
（2024•湖北模拟）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第 1个图
形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚 若按照这样的规律拼出的第
个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第 个图形所用两种卡片的总数为
A．57枚 B．52枚 C．50枚 D．47枚
【分析】由题意可知：第1个图形中有正方形和等边三角形卡片 枚，所用正方形卡片比等边三
角形卡片多1枚，第2个图形中有正方形和等边三角形卡片 枚，所用正方形卡片比等边三角形
卡片多2枚，第3个图形中有正方形和等边三角形卡片 枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片
多3枚，依次可推出第 个图形中有正方形和等边三角形卡片 个，所用正方形卡片比等边三角形卡
片多 枚，即可求得答案．
【解答】解： 第1个图形中有正方形和等边三角形卡片 枚，所用正方形卡片比等边三角形卡
片多1枚，
第2个图形中有正方形和等边三角形卡片 枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多2枚，
第3个图形中有正方形和等边三角形卡片 枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多3枚，
第4个图形中有正方形和等边三角形卡片 枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多4枚，
第 个图形中有正方形和等边三角形卡片 个，所用正方形卡片比等边三角形卡片多 枚，
第 个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，
，
当 时， ，第 个图形所用两种卡片的总数为52．
故选： ．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的变化规律，利用规律解决问题．
【变式8-2】难点02图形不易识别个数固定累加
（2024•成都模拟）将小圆圈按如图所示的规律摆放下去，如果用 表示六边形一边上的小圆圈数， 表示
这个六边形中小圆圈的总数，请写出 和 满足的关系式是 ．
【分析】根据所给图形，发现六边形中小圆圈的总数变化规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
当六边形一边上的小圆圈的个数为1时，即 时， ，即 ；
当六边形一边上的小圆圈的个数为2时，即 时， ，即 ；
当六边形一边上的小圆圈的个数为3时，即 时， ，即 ；
当六边形一边上的小圆圈的个数为4时，即 时， ，即 ；
，
所以当六边形一边上的小圆圈的个数为 时，
，
则 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小圆圈总数与每条边上小圆圈个数之间的
关系是解题的关键．
【变式8-3】难点03图形个数不固定累加
（2024•济宁一模）如图都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第 1个图形
中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，第9个图形中小正方形的个数是
A．100 B．99 C．98 D．80
【分析】根据图形间变化可得第 个图中小正方形的个数是 ，再代入 进行计算即可．
【解答】解： 第1个图中小正方形的个数是 ，
第2个图中小正方形的个数是 ，
第3个图中小正方形的个数是 ，
第4个图中小正方形的个数是 ，
第 个图中小正方形的个数是 ，
第9个图中小正方形的个数是 ．
故选： ．
【点评】此题考查了图形变化类规律问题的解决能力，关键是能根据图案变化观察、猜想、验证而得到此
题蕴含的规律．
【变式8-5】新考法 跨化学学科
（2024•重庆）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模
型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第 1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，
第3种如图③有8个氢原子， 按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是A．20 B．22 C．24 D．26
【分析】根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为： ；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为： ；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为： ；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为： ；
，
所以第 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为 个，
当 时，
（个 ，
即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个．
故选： ．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子的个数依次增加2是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
1．（2024•重庆模拟）观察下列一组图案，每个图案都是若干个“ ”组成，其中图①中共有7个“ ”，
图②中共有13个“ ”，图③中共有21个“ ”，图④中共有31个“ ” ，按此规律，图形⑩中的“
”个数是A．113 B．117 C．125 D．133
【分析】找到图形的变化规律，利用规律求解即可．
【解答】解：图①中共有 个“ ”，
图②中共有 个“ ”，
图③中共有 个“ ”，
图④中共有 个“ ”
，
图形⑩中的“ ”个数是 ，
故选： ．
【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形个数的变化特点．
2．（2024•丹东二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等
原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷 癸烷（当碳原子数目
超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷 等，甲烷的化学式为 ，乙烷的化学式为
，丙烷的化学式为 ，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十三烷的氢原子的个数为
A．24 B．26 C．28 D．30
【分析】观察规律即可．
【解答】解： 时，化学式为 ，
时，化学式为 ，
时，化学式为 ，
，
时，化学式为 ．当 时，
即十三烷的氢原子的个数为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，找到规律是解题关键．
3．（2024•益阳三模）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第
①个图形中“●”的个数为3，第②个图形中“●”的个数为8，第③个图形中“●”的个数为15，
以此类推，则第⑧幅图形中“●”的个数为
A．63 B．80 C．100 D．120
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而解答即可．
【解答】解： ，
，
，
， ，
；
所以第8幅图形中“ ”的个数为 ，
故选： ．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．
4．（2024•西山区校级模拟）如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3
个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第8个图案中有白色六边形地面砖 块．A．33 B．34 C．35 D．36
【分析】找出白色六边形的规律，根据规律即可求得结果．
【解答】解：白色六边形的规律是：第一个6个白色六边形，以后依次增加4个白色六边形，
即第1个图案白色六边形个数为：6；
第2个图案白色六边形个数为： ，
第3个图案白色六边形地面砖的块数为： ；
，
则第 个图案白色六边形地面砖的块数为： ，
则第8个图案中白色六边形地面砖的块数为： ；
故选： ．
【点评】本题考查了图形规律的探索，找到规律是关键．
5．（2024•东昌府区校级模拟）由同样大小的棋子按照一定规律组成如图所示的图形，其中图 1有3颗棋
子，图2有9颗棋子，图3有18颗棋子， ，则图 有 颗棋子．
【分析】由题意可知：最里面的三角形的棋子数是 6，由内到外依次比前面一个多3个棋子，由此规律计
算得出棋子的数即可．
【解答】解：第①个图形有3颗棋子，
第②个图形一共有 颗棋子，
第③个图形一共有 颗棋子，
第④个图形有 颗棋子，
，第 个图形一共有 颗棋子，
故答案为： ．
【点评】本题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，
然后推广到一般情况．
6．（2024•香坊区校级三模）观察图给出的四个点阵， 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的
个数变化规律，猜想第 个点阵中的点的个数 为 ．
【分析】根据所给的数据，不难发现：第一个数是 1，后边是依次加4，则第 个点阵中的点的个数是
．
【解答】解： 第1个点阵中的点的个数 ，
第2个点阵中的点的个数 ，
第3个点阵中的点的个数 ，
第4个点阵中的点的个数 ，
第 个点阵中的点的个数是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化
的因素，然后推广到一般情况．
