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甘肃省兰州市 2014 年中考数学试卷
一、选择题（共15小题，每小题4分，共60分）
1．（4分）（2014•兰州）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（
）
A． B． C D．
．
考点：轴对称图形．
分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这
样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解答：解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选A．
点评：
本题主要考查 轴对称图形的知
识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）（2014•兰州）下列说法中错误的是（ ）
A．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后6点朝上是必然事件
B．了解一批电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式
C．若a为实数，则|a|＜0是不可能事件
D．
甲、乙两人各进行10次射击，两人射击成绩的方差分别为 =2， =4，则甲的射击成
绩更稳定
考点：随机事件；全面调查与抽样调查；方差
分析：利用事件的分类、普查和抽样调查的特点以及方差的性质即可作出判断．
解答：解：A．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后6点朝上是随机事件，故本项错误；
B．了解一批电视机 的使用寿
命，具有破坏性，适合用抽样调查的方式，故本项正确；
C．若a为实数，则|a|≥0，|a|＜0是不可能事件，故本项正确；
D．方差小的稳定，故本项正确．
故选：A．
点评：本题考查了事件的分类、普查和抽样调查的特点以及方差的性质．本题解决的关键是
理解必然事件和随机事件的概念；用到的知识点为：具有破坏性的事要采用抽样调查；
反映数据波动情况的量有极差、方差和标准差等．
3．（4分）（2014•兰州）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≤﹣2
考点：函数自变量的取值范围．
1分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答：解：根据题意得，x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故选B．
点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
4．（4分）（2014•兰州）期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小
明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的
恰好也是86分”，上面两位同学的话能反映处的统计量是（ ）
A．众数和平均数 B．平均数和中位数 C．众数和方差 D．众数和中位数
考点：统计量的选择
分析：根据中位数和众数的定义回答即可．
解答：解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数，
故选D．
点评：本题考查了众数及中位数的定义，属于统计基础知识，难度较小．
5．（4分）（2014•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（
）
A． B． C． D．
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．
分析：首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= ．
∴cosA= ，
故选：D．
点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．
6．（4分）（2014•兰州）抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（ ）
A．y轴 B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3
考点：二次函数的性质．
分析：根据二次函数的顶点式y=（x﹣h）2+k，对称轴为直线x=h，得出即可．
解答：解：抛物线y=（x﹣3）2﹣1的对称轴是直线x=3．
故选：C．
点评：本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易
忽略的地方．
27．（4分）（2014•兰州）下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
考点：命题与定理．
分析：利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
解答：解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选B．
点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不
大，属于基础题．
8．（4分）（2014•兰州）两圆的半径分别为2cm，3cm，圆心距为2cm，则这两个圆的位置关系
是（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
考点：圆与圆的位置关系
分析：由两个圆的半径分别是3cm和2cm，圆心距为2cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两
圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
[来源:学科网ZXXK]
解答：解：∵两个圆的半径分别是3cm和2cm，圆心距为2cm，
又∵3+2=5，3﹣2=1，1＜2＜5，
∴这两个圆的位置关系是相交．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的
数量关系间的联系是解此题的关键．
9．（4分）（2014•兰州）若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（
）
A．0 B．1 C．2 D．以上都不是
考点：反比例函数的性质．
专题：计算题．
分析：
反比例函数 的图象位于第二、四象限，比例系数k﹣1＜0，即k＜1，根据k的
取值范围进行选择．
解答：
解：∵反比例函数 的图象位于第二、四象限，
∴k﹣1＜0，
即k＜1．
故选A．
点评：
本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数 （k≠0），（1）k＞0，反比例函数图
象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
310．（4分）（2014•兰州）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac
满足的条件是（ ）
A．b2﹣4ac=0 B．b2﹣4ac＞0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≥0
考点：根的判别式．
分析：已知一元二次方程的根的情况，就可知根的判别式△=b2﹣4ac值的符号．
解答：解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac＞0．故选B．
点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
⇔
⇔
11．（4分）（2014•兰州）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长
度后，所得函数的表达式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+2 B．y=﹣2（x+1）2﹣2C．y=﹣2（x﹣1）2+2D．y=﹣2（x﹣1）2﹣2
考点：二次函数图象与几何变换
[来源:学科网ZXXK]
分析：根据图象右移减，上移加，可得答案．
解答：解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函
数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，
故选：C．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
12．（4分）（2014•兰州）如图， 在
△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得
△A′B′C′，则点B转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
考点：旋转的性质；弧长的计算．
分析：利用锐角三角函数关系得出BC的长，进而利用旋转的性质得出∠BCB′=60°，再利
用弧长公式求出即可．
解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，
∴cos30°= ，
∴BC=ABcos30°=2× = ，
∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C′，
4∴∠BCB′=60°，
∴点B转过的路径长为： = π．
故选：B．
点评：此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B转过的路径形状是解题关
键．
13．（4分）（2014•兰州）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中
不一定正确的是（ ）
A．AE=BE B． = C．OE=DE D．∠DBC=90°
考点：垂径定理；圆周角定理．
分析：由于CD⊥AB，根据垂径定理有AE=BE，弧AD=弧BD，不能得出OE=
DE，直径所对的圆周角等于
90°．
解答：解：∵CD⊥AB，
∴AE=BE， = ，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
不能得出OE=DE．
故选C．
点评：本题考查了垂径定理．解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．
14．（4分）（2014•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则
下列四个结论错误的是（ ）
A．c＞0 B．2a+b=0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞0
考点：二次函数图象与系数的关系．
专题：压轴题．
分析：本题考查二次函数图象的相关知识与函数系数的联系．需要根据图形，逐一判断．
解答：解：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c＞0，正确；
B、由已知抛物线对称轴是直线x=1=﹣ ，得2a+b=0，正确；
C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2﹣4ac＞0，正确；
5D、直线x=﹣1与抛物线交于x轴的下方，即当x=﹣1时，y＜0，即y=ax2+bx+c=a﹣b+c
＜0，错误．
故选D．
点评：在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的
关系，也要掌握在图象上表示一
元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．
15．（4分）（2014•兰州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平
行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直
线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t
（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
[来源:学科网]
A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象．
分析：根据三角形的面积即可求出S与t的函数关系式，根据函数关系式选择图象．
解答：
解：①当0≤t≤4时，S= ×t×t= t2，即S= t2．
该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．
故B、C错误；
②当4＜t≤8时，S=16﹣ ×（t﹣4）×（t﹣4）= t2，即S=﹣ t2+4t+8．
该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．
故A错误．
6故选：D．
点评：本题考查了动点问题的函数图象．本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的
知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
16．（4分）（2014•兰州）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一
个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅
匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则点P（x，y）落在直线y=﹣
x+5上的概率是 ．
考点：列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征
分析：首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=﹣x+5
的情 况，再利用概率公式求解即
可求得答案．
解答：解：列表得：
1 2 3 4
1 （1，1） （1， （1，3） （1，4）
2）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
∵共有16种等可能的结果，数字x、y满足y=﹣x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，
1），
∴数字x、y满足y﹣x+5的概率为： ．
故答案为： ．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可
以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适
合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
717．（4分）（2014•兰州）如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b
满足（a﹣1）2+ =0，那么菱形的
面积等于 2 ．
考点：菱形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
分析：根据非负数的性质列式求出a、b，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算
即可得解．
解答：解：由题意得，a﹣1=0，b﹣4=0，
解得a=1，b=4，
∵菱形的两条对角线的长为a和b，
∴菱形的面积= ×1×4=2．
故答案为：2．
点评：本题考查了非负数的性质，菱形的性质，主要利用了菱形的面积等于对角线乘积的一
半，需熟记．
[来源:Zxxk.Com]
18．（4分）（2014•兰州）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，
∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于 36 ° ．
考点：圆周角定理．
分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由直径所
对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，继而求得答案．
解答：解：∵∠ABC与∠ADC是 所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=54°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°﹣∠ABC=90°﹣54°=36°．
故答案为：36°．
点评：此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆
中，同弧或等弧所对的圆周角相等与直径所对的圆周角是直角定理的应用．
19．（4分）（2014•兰州）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两
条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为
300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为 （ 2 2 ﹣ x ）（ 1 7 ﹣ x ） =30 0 ．
8考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：几何图形问题．
分析：把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，
根据长方形的面积公式列方程．
解答：解：设道路的宽应为x米，由题意有
（22﹣x）（17﹣x）=300，
故答案为：（22﹣x）（17﹣x）=300．
点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到
矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
20．（4分）（2014•兰州）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则
2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣
1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是 ．
考点：有理数的乘方
[来源:学#科#网]
专题：整体思想．
分析：
根据等式的性质 ，可得和的3
倍，根据两式相减，可得和的2倍，根据等式的性质，可得答案．
解答：解：设M=1+3+32+33+…+32014 ①，
①式两边都乘以3，得
3M=3+32+33+…+32015 ②．
②﹣①得
2M=32015﹣1，
两边都除以2，得
M= ，
故答案为： ．
点评：本题考查了有理数的乘方，等式的性质是解题关键．
三、解答题（共8小题，共70分）
21．（10分）（2014•兰州）（1）计算：（﹣1）2﹣2cos30°+ +（﹣2014）0；
（2）当x为何值时，代数式x2﹣x的值等于1．
考点：实数的运算；零指数幂；解一元二次方程-公式法；特殊角的三角函数值．
分析：（1）分别根据数的乘方法则、0指数幂的运算法则及特殊角的三角函数值计算出各数，
再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
（2）根据题意列出关于x的一元二次方程，求出x的值即可．
解答：
解：（1）原式=1﹣2× + +1
=1﹣ + +1
=2；
（2）由题意得，x2﹣x=1，
整理得，x2﹣x﹣1=0，
9∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，
∴b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5．
∴x = ，x = ．
1 2
点评：本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方法则、0指数幂的运算法则及特殊角的三角
函数值是解答此题的关键．
22．（5分）（2014•兰州）如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以
AC边上的一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把
作图痕迹用黑色签字笔加黑）
考点：作图—复杂作图．
分析：先作出角平分线AD，再作AD的中垂线交AC于点O，O就是⊙O的圆心，作出⊙O，
解答：
解：作出角平分线AD，
作AD的中垂线交AC于点O，
作出⊙O，
∴⊙O为所求作的圆．
点评：本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作
出圆．
1023．（6分）（2014•兰州）兰州市某中学对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规
定每天完成家庭作业的时间不超过1.5小时，该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完
成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘制出频数分布表和频数分布直方图（如图）的一
部分．
时间（小时） 频数（人数） 频率
0≤t＜0.5 4 0.1
0.5≤t＜1 a 0.3
1≤t＜1.5 10 0.25
1.5≤t＜2 8 b
2≤t＜2.5 6 0.15
合计 1
（1）在图1中，a= 1 2 ，b= 0. 2 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校1400名初中学生中，约有多少学生在1.5小时以内完成了家庭作业．
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表
分析：（1）根据每天完成家庭作业的时间在0≤t＜0.5的频数和频率，求出抽查的总人数，再用
总人数乘以每天完成家庭作业的时间在0.5≤t＜1的频率，求出a，再用每天完成家庭作
业的时间在1.5≤t＜2的频率乘以总人数，求出b即可；
（2）根据（1）求出a的值，可直接补全统计图；
（3）用每天完成家庭作业时间在1.5小时以内的人数所占的百分比乘以该校的总人
数，即可得出答案．
解答：
解：（1）抽查的总的人数是： =40（人），
a=40×0.3=12（人），
b= =0.2；
故答案为：12，0.2；
（2）根据（1）可得：每天完成家庭作业的时间在0.5≤t＜1的人数是12，补图如下：
11（3）根据题意得： ×1400=910（名），
答：约有多少910名学生在1.5小时以内完成了家庭作业．
点评：本题考查了频数（率）分布直方图、频数（率）分布表以及用样本估计总体，在读频数分
布直方图时和利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正
确的判断和解决问题．
24．（8分）（2014•兰州）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面
成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知
测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
专题：计算题；压轴题．
分析：由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而
CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
解答：解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH= ，
∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6× （米），
∵DH=1.5，∴CD=2 +1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED= ，
∴CE= =（4+ ）（米），
12答：拉线CE的长为（4+ ）米．
点评：命题立意：此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角
形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
25．（9分）（2014•兰州）如图，直线y=mx与双曲线y= 相交于A、B两点，A点的坐标为（1，
2）
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当mx＞ 时，x的取值范围；
（3）计算线段AB的长．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；
（2）求出直线的解析式，解组成的方程组求出B的坐标，根据A、B的坐标结合图象即
可得出答案；
（3）根据A、B的坐标．利用勾股定理分别求出OA、OB，即可得出答案．
解答：
解：（1）把A（1，2）代入y= 得：k=2，
即反比例函数的表达式是y= ；
（2）把A（1，2）代入y=mx得：m=2，
即直线的解析式是y=2x，
解方程组 得出B点的坐标是（﹣1，﹣2），
∴当mx＞ 时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1；
（3）过A作AC⊥x轴于C，
∵A（1，2），
∴AC=2，OC=1，
13由勾股定理得：AO= = ，
同理求出OB= ，
∴AB=2 ．
点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式的应
用，主要考查学生的理解能力和观察图象的能力，题目比较典型，难度不大．
26．（10分）（2014•兰州）如图，AB是⊙O的直径，点E是 上的一点，∠DBC=∠BED．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．
考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．
分析：（1）AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可
证明BC是⊙O的切线；
（2）可证明△ABC∽△BDC，则 = ，即可得出BC= ．
解答：（1）证明：∵AB是⊙O的切直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，
∴∠BAD=∠DBC，
∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+ABD=90°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴ = ，即BC2=AC•CD=（AD+CD）•CD=10，
∴BC= ．
点评：本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质，是重点知识要熟练掌握．
27．（10分）（2014•兰州）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线
的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
14（2） 如图，将△ABC绕顶点B按顺时
针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
考点：四边形综合题．
分析：（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；
（2）①首先证明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE
为等边三角形；
②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
解答：解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；
证明：（2）①∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形；
②∵△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．
点评：此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合
性很强的题目．
28．（12分）（2014•兰州）如图，抛物线y=﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点
C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直
接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到
什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
15考点：二次函数综合题
分析：（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；
（2）由（1）的 解析式求出顶点坐
标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以
点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰
三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，﹣ a+2），就可以表示出F的坐标，由
四边形CDBF的面积=S△BCD +S△CEF +S△BEF 求出S与a的关系式，由二次函数的性质就
可以求出结论．
解答：
解：（1）∵抛物线y=﹣ x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+2；
（2）∵y=﹣ x2+ x+2，
∴y=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴抛物线的对称轴是x= ．
∴OD= ．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD= ．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP =CP =CP =CD．
1 2 3
作CH⊥x轴于H，
∴HP =HD=2，
1
∴DP =4．
1
∴P （ ，4），P （ ， ），P （ ，﹣ ）；
1 2 3
16（3）当y=0时，0=﹣ x2+ x+2
∴x =﹣1，x =4，
1 2
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y=﹣ x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣ a+2），F（a，﹣ a2+ a+2），
∴EF=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ a+2）=﹣ a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF =S△BCD +S△CEF +S△BEF = BD•OC+ EF•CM+ EF•BN，
= + a（﹣ a2+2a）+ （4﹣a）（﹣ a2+2a），
=﹣a2+4a+ （0≤x≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大= ，
∴E（2，1）．
17点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股
定理的运用，等腰三角形的性质的
运用，四边形的面积的运用，解
答时求出函数的 解析式是关键．
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