文档内容
2014年辽宁省抚顺市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分） 的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．（3分）若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000 021用科学记数法表示为（ ）
A．21×10﹣4 B．2.1×10﹣6 C．2.1×10﹣5 D．2.1×10﹣4
3．（3分）如图所示，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，当∠A＝120°时，∠ECD的度数是（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
4．（3分）如图放置的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．如果|a|＝|b|，那么a＝b
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．半径分别为3和5的两圆相外切，则两圆的圆心距为8
D．三角形的内角和是360°
6．（3分）函数y＝x﹣1的图象是（ ）
A． B．
第1页（共25页）C． D．
7．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣2（a﹣1）＝﹣2a﹣1 B．（﹣2a）2＝﹣2a2
C．（2a+b）2＝4a2+b2 D．3x2﹣2x2＝x2
8．（3分）甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车
平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为
x千米/时，可列方程为（ ）
A． + ＝2 B． ﹣ ＝2
C． + ＝ D． ﹣ ＝
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y＝
（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面
积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先增大后减小
10．（3分）如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板
PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB
相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB＝2，AN＝x，BM＝y，则能反映y与x的函
数关系的图象大致是（ ）
第2页（共25页）A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）一组数据3，5，7，8，4，7的中位数是 ．
13．（3分）把标号分别为a，b，c的三个小球（除标号外，其余均相同）放在一个不透明的口袋
中，充分混合后，随机地摸出一个小球，记下标号后放回，充分混合后，再随机地摸出一个
小球，两次摸出的小球的标号相同的概率是 ．
14．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛
物线解析式为 ．
15．（3分）如图， O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H，点P是 上的一点，
则tan∠EPF的⊙值是 ．
16．（3分）如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b
上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝
30°，则河流的宽度约为 米．
第3页（共25页）17．（3分）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3＝32°，那么
∠1+∠2＝ 度．
18．（3分）如图，已知CO 是△ABC的中线，过点O 作O E ∥AC交BC于点E ，连接AE 交
1 1 1 1 1 1
CO 于点O ；过点O 作O E ∥AC交BC于点E ，连接AE 交CO 于点O ；过点O 作
1 2 2 2 2 2 2 1 3 3
O E ∥AC交BC于点E ，…，如此继续，可以依次得到点O ，O ，…，O 和点E ，E ，…，
3 3 3 4 5 n 4 5
E ．则O E ＝ AC．（用含n的代数式表示）
n n n
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝（ +1）0+（ ）﹣1•tan60°．
20．（12分）居民区内的“广场舞”引起媒体关注，辽宁都市频道为此进行过专访报道．小平
想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看
法分为四个层次：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．并将调查
结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．
第4页（共25页）请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求本次被抽查的居民有多少人？
（2）将图1和图2补充完整；
（3）求图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；
（4）估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大
约有多少人．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形
的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下
列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A B C ；
1 1 1
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D E F ；
1 1 1
（3）△A B C 和△D E F 组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在
1 1 1 1 1 1
直线的解析式．
22．（12分）近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注，某
学校计划在教室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备，已知：购买1台A种设备和
2台B种设备需要3.5万元；购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元．
（1）求每台A种、B种设备各多少万元？
第5页（共25页）（2）根据学校实际，需购进A种和B种设备共30台，总费用不超过30万元，请你通过计算，
求至少购买A种设备多少台？
五、解答题（满分12分）
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的点，且BE＝BA，以点A为圆心、AD长为
半径作 A交AB于点M，过点B作 A的切线BF，切点为F．
（1）请⊙判断直线BE与 A的位置关⊙系，并说明理由；
（2）如果AB＝10，BC⊙＝5，求图中阴影部分的面积．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成
本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天
的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少
时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
七、解答题（满分12分）
25．（12分）已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B＝∠ACB＝90°，∠A′BC′＝∠ABC
＝60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证
明你的结论；
第6页（共25页）（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，
请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转 角（0°≤ ≤120°），当A、C′、A′
三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数． α α
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+ x+c与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，
连接AC，点M是线段OA上的一个动点（不与点O、A重合），过点M作MN∥AC，交OC
于点N，将△OMN沿直线MN折叠，点O的对应点O′落在第一象限内，设OM＝t，
△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 当点O′落在AC上时，请直接写出此时t的值；
求S①与t的函数关系式；
（②3）在点M运动的过程中，请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和
平行四边形时所对应的t值．
第7页（共25页）2014年辽宁省抚顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．【分析】根据倒数的定义求解．
【解答】解：﹣ 的倒数是﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是熟记定义．
2．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000021＝2.1×10﹣5；
故选：C．
【点评】题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由
原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．【分析】根据平行线的性质求出∠DCA，根据角平分线定义求出∠DCE即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝120°，
∴∠DCA＝180°﹣∠A＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝ ∠DCA＝30°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线定义的应用，注意：两直线平行，同旁内角互
补．
4．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意中间看不
到的线用虚线表示．
第8页（共25页）5．【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A、如果|a|＝|b|，那么a＝b或a＝﹣b，故A错误；
B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，此时被平分的弦不是直径，故B错
误；
C、半径分别为3和5的两圆相外切，则两圆的圆心距为8，故C正确；
D、三角形的内角和是180°，故D错误，
故选：C．
【点评】考查了随机事件，解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，
理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生
的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．【分析】根据函数解析式求得该函数图象与坐标轴的交点，然后再作出选择．
【解答】解：∵一次函数解析式为y＝x﹣1，
∴令x＝0，y＝﹣1．
令y＝0，x＝1，
即该直线经过点（0，﹣1）和（1，0）．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象．此题也可以根据一次函数图象与系数的关系进行解答．
7．【分析】A、原式利用去括号法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；
D、原式合并得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、﹣2（a﹣1）＝﹣2a+2，故A错误；
B、（﹣2a）2＝4a2，故B错误；
C、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故C错误；
D、3x2﹣2x2＝x2，故D正确．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
8．【分析】设原来的平均速度为x千米/时，高速公路开通后平均速度为1.5x千米/时，根据走
过相同的距离时间缩短了2小时，列方程即可．
【解答】解：设原来的平均速度为x千米/时，
第9页（共25页）由题意得， ﹣ ＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知
数，找出合适的等量关系，列方程．
9．【分析】由双曲线y＝ （x＞0）设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数
关系式即可判定．
【解答】解：设点P的坐标为（x， ），
∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，
∴四边形OAPB是个直角梯形，
∴四边形OAPB的面积＝ （PB+AO）•BO＝ （x+AO）• ＝ + ＝ + • ，
∵AO是定值，
∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐
渐减小．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是运用点的坐标求出
四边形OAPB的面积的函数关系式．
10．【分析】作PH⊥AB于H，根据等腰直角三角形的性质得∠A＝∠B＝45°，AH＝BH＝ AB
＝1，则可判断△PAH和△PBH都是等腰直角三角形，得到PA＝PB＝ AH＝ ，∠HPB
＝45°，由于∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，而
∠CPD＝45°，所以1≤x≤2，再证明∠2＝∠BPM，这样可判断△ANP∽△BPM，利用相似
比得 ＝ ，则y＝ ，所以得到y与x的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变
量为1≤x≤2．
【解答】解：作PH⊥AB于H，如图，
∵△PAB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，AH＝BH＝ AB＝1，
∴△PAH和△PBH都是等腰直角三角形，
第10页（共25页）∴PA＝PB＝ AH＝ ，∠HPB＝45°，
∵∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，
而∠CPD＝45°，
∴1≤AN≤2，即1≤x≤2，
∵∠2＝∠1+∠B＝∠1+45°，∠BPM＝∠1+∠CPD＝∠1+45°，
∴∠2＝∠BPM，
而∠A＝∠B，
∴△ANP∽△BPM，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴y＝ ，
∴y与x的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为1≤x≤2．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，
然后根据函数关系式画出函数图象，注意自变量的取值范围．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件
是：分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
12．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平
均数）为中位数．
【解答】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：3，4，5，7，7，8．
位于中间的两个数是5，7，
所以这组数据的中位数是（5+7）÷2＝6．
第11页（共25页）故答案为：6．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一
定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间
的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
13．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的小球的标号相同的情况数，即可
求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
a b c
a （a，a） （b，a） （c，a）
b （a，b） （b，b） （c，b）
c （a，c） （b，c） （c，c）
所有等可能的情况有9种，其中两次摸出的小球的标号相同的情况有3种，
则P＝ ＝ ．
故答案为：
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
14．【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新
抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛
物线解析式为y＝（x﹣3+1）2+1+2＝（x﹣2）2+3，
即：y＝（x﹣2）2+3．
故答案为：y＝（x﹣2）2+3．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，
上加下减．
15．【分析】连接HF，EG，FG，根据切线的性质和正方形的性质可知：FH⊥EG，再由圆周角定
理可得：∠EPF＝∠OGF，而∠OGF＝45°，问题得解．
【解答】解：连接HF，EG，FG，
∵ O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H，
∴⊙FH⊥EG，
∵OG＝OF，
第12页（共25页）∴∠OGF＝45°，
∵∠EPF＝∠OGF，
∴tan∠EPF＝tan45°＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了正方形的性质、切线的性质、圆周角定理以及锐角三角函数的定义，题
目的综合性较强，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．
16．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，先求出∠APE及∠BPE、∠ABP的度数，由锐角三角函
数的定义即可得出结论．
【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，
∵∠APC＝75°，∠BPD＝30°，
∴∠APB＝75°，
∵∠BAP＝∠APC＝75°，
∴∠APB＝∠BAP，
∴AB＝PB＝200m，
∵∠ABP＝30°，
∴PE＝ PB＝100m．
故答案为：100．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
17．【分析】分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即
可．
【解答】解：∵∠3＝32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角
第13页（共25页）是108°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣32°＝88°，
∴∠5+∠6＝180°﹣88°＝92°，
∴∠5＝180°﹣∠2﹣108° ，
∠6＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1 ① ，
∴ + 得，180°﹣∠2﹣108°+90②°﹣∠1＝92°，
即①∠1+②∠2＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度
数是解答此题的关键．
18．【分析】由 CO 是△ABC 的中线，O E ∥AC，可证得 ＝ ，
1 1 1
，以此类推得到答案．
【解答】解：∵O E ∥AC，
1 1
∴△BO E ∽△BAC，
1 1
∴ ，
∵CO 是△ABC的中线，
1
∴ ＝ ，
∵O E ∥AC，
1 1
∴△O O E ∽△ACO ，
2 1 1 2
∴ ，
第14页（共25页）由O E ∥AC，
2 2
可得： ，
…
可得：O E ＝ AC．
n n
故答案为： ．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的理解和掌握，
能得出规律是解此题的关键．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分得到最简结果，利用零指数幂、负指数幂法则以及特殊角的三角函数值求出x的值，
代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ • ＝ • ＝x+1，
∵x＝（ +1）0+（ ）﹣1•tan60°＝1+2 ，
∴当x＝1+2 时，
原式＝2 +2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】（1）由A层次的人数除以所占的百分比求出调查的学生总数即可；
（2）由D层次人数除以总人数求出D所占的百分比，再求出B所占的百分比，再乘以总人
数可得B层次人数，用总人数乘以C层次所占的百分比可得C层次的人数不全图形即可；
（3）用360°乘以C层次的人数所占的百分比即可得“C”层次所在扇形的圆心角的度数；
（4）求出样本中A层次与B层次的百分比之和，乘以4000即可得到结果．
【解答】解：（1）90÷30%＝300（人），
第15页（共25页）答：本次被抽查的居民有300人；
（2）D所占的百分比：30÷300＝10%
B所占的百分比：1﹣20%﹣30%﹣10%＝40%，
B对应的人数：300×40%＝120（人），
C对应的人数：300×20%＝60（人），
补全统计图，如图所示：
（3）360°×20%＝72°，
答：“C”层次所在扇形的圆心角的度数为72°；
（4）4000×（30%+40%）＝2800（人），
答：估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大
约有2800人．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的
关键．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A 、B 、C 的位置，然后顺次连
1 1 1
接即可；
（2）根据网格结构找出点D、E、F绕点O按顺时针方向旋转90°后的对应点D 、E 、F 的
1 1 1
位置，然后顺次连接即可；
（3）根据轴对称的性质确定出对称轴的位置，然后写出直线解析式即可．
【解答】解：（1）△A B C 如图所示；
1 1 1
（2）△D E F 如图所示；
1 1 1
第16页（共25页）（3）△A B C 和△D E F 组成的图形是轴对称图形，
1 1 1 1 1 1
对称轴为直线y＝x或y＝﹣x﹣2．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称的性质，熟练掌握网格
结构准确找出对应点的位置．
22．【分析】（1）根据题意结合“购买1台A种设备和2台B种设备需要3.5万元；购买2台A
种设备和1台B种设备需要2.5万元”，得出等量关系求出即可；
（2）利用（1）中所求得出不等关系求出即可．
【解答】解：（1）设每台A种、B种设备各x万元、y万元，根据题意得出：
，
解得： ，
答：每台A种、B种设备各0.5万元、1.5万元；
（2）设购买A种设备z台，根据题意得出：
0.5z+1.5（30﹣z）≤30，
解得：z≥15，
答：至少购买A种设备15台．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是弄懂题意，
找出题目中的关键语句，列出方程和不等式．
五、解答题（满分12分）
23．【分析】（1）直线BE与 A的位置关系是相切，连接AE，过A作AH⊥BE，过E作
EG⊥AB，再证明AH＝AD即⊙可；
（2）连接AF，则图中阴影部分的面积＝直角三角形ABF的面积﹣扇形MAF的面积．
第17页（共25页）【解答】解：（1）直线BE与 A的位置关系是相切，
理由如下：连接AE，过A作A⊙H⊥BE，过E作EG⊥AB，则四边形ADEG是矩形．
∵S△ABE ＝ BE•AH＝ AB•EG，AB＝BE，
∴AH＝EG，
∵四边形ADEG是矩形，
∴AD＝EG，
∴AH＝AD，
∴BE是圆的切线；
（2）连接AF，
∵BF是 A的切线，
∴∠BFA⊙＝90°
∵BC＝5，
∴AF＝5，
∵AB＝10，
∴∠ABF＝30°，
∴∠BAF＝60°，
∴BF＝ AF＝5 ，
∴图中阴影部分的面积＝直角三角形 ABF的面积﹣扇形 MAF的面积＝ ×5×5 ﹣
＝ ．
【点评】本题考查了矩形的性质、切线的判定和性质、三角形和扇形面积公式的运用以及
特殊角的锐角三角函数值，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．
六、解答题（满分12分）
24．【分析】（1）设函数关系式y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价
第18页（共25页）为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；
（2）根据销售利润＝销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质
得最值即可；
（3）先把y＝150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围
即可确定x的值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入得
，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（10≤x≤18）；
（2）W＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600
＝﹣2（x﹣20）2+200，
对称轴x＝20，在对称轴的左侧W随着x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x＝18时，W最大，最大为192．
即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．
（3）由150＝﹣2x2+80x﹣600，
解得x ＝15，x ＝25（不合题意，舍去）
1 2
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，
结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．
七、解答题（满分12分）
25．【分析】（1）易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形，从而可以求出∠AC′D＝∠BAD
＝60°，∠DC′A′＝∠DA′C′＝30°，进而可以证到AD＝DC′＝A′D．
（2）解答中提供了两种方法，分别利用相似与全等，证明所得的结论．
（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，有∠AC′B＝90°，易证Rt△ACB≌Rt△AC′B
（HL），从而可以求出旋转角 的度数．
【解答】答：（1）AD＝A′D．α
第19页（共25页）证明：如图1，
∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，
∴BC＝BC′，BA＝BA′．
∵∠A′BC′＝∠ABC＝60°，
∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形．
∴∠BAA′＝∠BC′C＝60°．
∵∠A′C′B＝90°，
∴∠DC′A′＝30°．
∵∠AC′D＝∠BC′C＝60°，
∴∠ADC′＝60°．
∴∠DA′C′＝30°．
∴∠DAC′＝∠DC′A，∠DC′A′＝∠DA′C′．
∴AD＝DC′，DC′＝DA′．
∴AD＝A′D．
（2）仍然成立：AD＝A′D．
证法一：利用相似．如图2﹣1．
由旋转可得，BA＝BA′，BC＝BC′，∠CBC′＝∠ABA′
∵∠1＝ （180°﹣∠ABA′），∠3＝ （180°﹣∠CBC′）
∴∠1＝∠3．
设AB、CD交于点O，则∠AOD＝∠BOC
∴△BOC∽△DOA．
∴∠2＝∠4， ＝ ．
连接BD，
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA．
∴∠5＝∠6．
∵∠ACB＝90°，
∴∠2+∠5＝90°．
∴∠4+∠6＝90°，即∠ADB＝90°．
第20页（共25页）∵BA＝BA′，∠ADB＝90°，
∴AD＝A′D．
证法二：利用全等．如图2﹣2．
过点A作AE∥A′C′，交CD的延长线于点E，则∠1＝∠2，∠E＝∠3．
由旋转可得，AC＝A′C′，BC＝BC′，
∴∠4＝∠5．
∵∠ACB＝∠A′C′B＝90°，
∴∠5+∠6＝∠3+∠4＝90°，
∴∠3＝∠6．
∴∠E＝∠6，∴AE＝AC＝A′C′．
在△ADE与△A′DC′中，
∴△ADE≌△A′DC′（ASA），
∴AD＝A′D．
（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3，
则有∠AC′B＝180°﹣∠A′C′B＝90°．
在Rt△ACB和Rt△AC′B中，
．
∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL）．
∴∠ABC＝∠ABC′＝60°．
∴当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角 的度数为60°．
α
第21页（共25页）【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角
形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性．
八、解答题（满分14分）
26．【分析】（1）应用待定系数法即可求得解析式．
（2） 根据平行线的性质及轴对称的性质求得∠AO′M＝∠O′AM，从而求得OM＝AM
①
＝ ，进而求得t的值； 根据平行线分线段成比例定理求得ON＝ ＝ t，即可求
②
得三角形的面积S；
（3）根据直线BC的斜率即可求得直线OO′的解析式y＝2x，设O′（m，2m），根据O′N
＝ t先求得m与t的关系式，然后根据O′C＝OB即可求得．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+ x+c与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），
第22页（共25页）∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式：y＝﹣ x2+ x+2；
（2） 如图1，∵MN∥AC，
∴∠O①MN＝∠O′AM，∠O′MN＝AO′M
∵∠OMN＝∠O′MN，
∴∠AO′M＝∠O′AM，
∴O′M＝AM，
∵OM＝O′M，
∴OM＝AM＝t，
∴t＝ ＝ ＝2；
由抛物线的解析式：y＝﹣ x2+ x+2可知C（0，2）
②
∵A（4，0）、C（0，2），
∴OA＝4，OC＝2，
∵MN∥AC，
∴ON：OM＝OC：OA＝2：4＝1：2，
∴ON＝ OM＝ t，
∴当0＜t≤2时，S＝ ＝ ＝ t2．
当2＜t≤4时，S＝ ﹣ [t﹣（4﹣t）][ t﹣（2﹣ t）]＝ t2﹣（t﹣2）2＝﹣
t2+4t﹣4；
∴S＝ ；
第23页（共25页）（3）如图2，∵B（﹣1，0），C（0，2），
∴直线BC的斜率为2，
∵OO′∥BC，
∴直线OO′的解析式为y＝2x，
设O′（m，2m），
∵O′N＝ON＝ t，
∴O′N2＝m2+（2m﹣ t）2＝（ ）2，
∴t＝ m，
∴O′C2＝m2+（2﹣2m）2，
∵OB＝O′C，
∴m2+（2﹣2m）2＝（﹣1）2，
解得m ＝1，m ＝ ，
1 2
∴O′（1，2）或（ ， ），
∵C（0，2），
∴当O′（1，2）时，以O、B、C、O′为顶点的四边形是平行四边形，此时t＝ ，
当O′（ ， ）时，以O、B、C、O′为顶点的四边形是梯形，此时t＝ ．
第24页（共25页）【点评】本题考查了待定系数法求解析式，平行线的性质，勾股定理的应用，关于轴对称的
两个图形的性质，平行四边形的判定，梯形的判定等．
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