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▹讲师：余贞
更多干货关注 粉笔教师教育 粉笔教师四 、 刚 体 的 定 轴 转 动 定 律
（一）内容
在定轴转动中，刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体
的转动惯量成反比。
（二）公式
𝑀
𝛽 = 或 𝑀 = 𝐼𝛽
𝐼
𝑑𝜔
𝑀 = 𝐼𝛽 = 𝐼
𝑧
𝑑𝑡【例1】一转动系统的转动惯量为I，角速度为ω，两制动闸瓦对轮的压力都为𝐹 ，闸瓦与轮缘
𝑁
间的摩擦因数为𝜇，轮半径为𝑟，求从开始制动到静止需用多少时间。【例2】一半径为𝑅，质量为𝑚的匀质圆盘（忽略厚度），平放在粗糙的水平桌面上，设盘
与桌面间的摩擦因数为𝜇，令圆盘最初以角速度𝜔 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它
0
将经过多少时间才停止转动？
𝑅
𝑟 d𝑟（真题2016年下·高中）确定物体绕某个轴的转动惯性，可以由理论计算也可通过实验测定。
（1）用积分计算质量为𝑚、半径为𝑅的内质薄圆盘绕其中心轴转动惯量。
（2）如图所示，该圆盘质量未知，可用如图的实验方法测得该圆盘绕中心轴的转动惯量。左圆盘的边
缘绕有质量不计的细绳，绳的下端挂一质量为𝑚的重物，圆盘与转轴间的摩擦忽略不计。测得重物下落
的加速度为𝑎，求圆盘绕其中心轴的转动惯量。五 、 刚 体 的 角 动 量 定 理 和 角 动 量 守 恒 定 律
（一）刚体的角动量
1.概念：刚体做定轴转动的角动量的大小等于其转动惯量与角速度的乘积，其方向与角速
度方向相同。
2.公式：𝑳 = σ 𝑟 ×△ 𝑚 𝑣 = σ△ 𝑚 𝑟 2 𝝎 = 𝐼𝝎
𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
式中， △ 𝑚 为刚体的第𝑖个质元的质量， 𝑟 为该质元到转轴的距离， 𝜔为刚体绕定轴转
𝑖 𝑖
动的角速度。
（二）刚体的角动量定理
𝑑𝑳
1.微分形式：
𝑴 =
𝑑𝑡
该式表明作用于刚体的合外力矩等于刚体的角动量对时间的变化率。
𝑡 𝑡
2.积分形式：
𝑴𝑑𝑡 = 𝑑𝑳 = 𝑳 − 𝑳 = 𝐼𝝎 − 𝐼𝝎
𝟎 𝟎
𝑡 𝑡
0 0
该式表明作用于刚体的冲量矩等于在作用时间内角动量的增量。（三）角动量守恒定律
若刚体所受合外力矩为零，则刚体的角动量为一常量。
公式： 𝑳 = σ 𝑳 = 常量
𝒊
即： 𝐼 𝝎 = 𝐼 𝝎
1 1 2 2【例1】在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为𝑚的人。圆盘的半径为𝑅，转动惯量
为𝐼，角速度为𝜔。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化。六 、 刚 体 转 动 的 功 与 能
（一）刚体的转动动能
刚体由于转动而具有的动能称为刚体的转动动能
1
𝐸 = 𝐼𝜔2
𝑘
2
（二）力矩的功
𝜃
当刚体在力矩𝑀的作用下，从角𝜃 转到角𝜃 时，力矩M所做的总功为：𝐴 = 𝑑𝐴 = 2 𝑀𝑑𝜃
1 2
𝜃
1
若𝑀与𝑑𝜃同号，则𝐴为正；若异号，𝐴为负。
（三）刚体定轴转动的动能定理
1 1
2 2
𝐴 = 𝐼𝜔 − 𝐼𝜔 = 𝐸 − 𝐸
2 1 𝑘2 𝑘1
2 2【例1】某冲床上飞轮的转动惯量为4.00 × 103𝑘𝑔 ⋅ 𝑚2 ，当它的转速达到30 𝑟Τ𝑚𝑖𝑛时，它的转
动动能是多少？每冲一次，其转速降到10 𝑟Τ𝑚𝑖𝑛，求每冲一次飞轮对外所做的功。【例2】一根质量为𝑚、长为𝑙的均匀棒𝑂𝐴，可绕通过其一端的光滑轴𝑂在竖直平面内转动，今
使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中心点𝐶和端点𝐴的速度。质点的直线运动 刚体的定轴转动
𝑑𝑥 𝑑𝜃
速度𝑣 = 角速度𝜔 =
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑣 𝑑𝜔
加速度𝑎 = 角加速度𝛽 =
𝑑𝑡 𝑑𝑡
匀速直线运动𝑥 = 𝑣𝑡 匀角速转动𝜃 = 𝜔𝑡
力𝐹 力矩𝑀
质量𝑚 转动惯量𝐼
牛二𝐹 = 𝑚𝑎 转动定律𝑀 = 𝐼𝛽
动量𝑚𝑣 角动量𝐼𝜔
冲量𝐹𝑡 冲量矩𝑀𝑡
动量定理𝐹𝑡 = 𝑚𝑣 − 𝑚𝑣 角动量定理𝑀𝑡 = 𝐼𝜔 − 𝐼 𝜔
0 0 0
动量守恒定律σ𝑚𝑣 = 常量 角动量守恒定律σ𝐼𝜔 = 常量
1 1
平动动能
𝑚𝑣2
转动动能
𝐼𝜔2
2 2
常力的功𝐴 = 𝐹𝑠 常力矩的功𝐴 = 𝑀𝜃
1 1 1 1
动能定理𝐹𝑠 = 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣 2 动能定理𝑀𝜃 = 𝐼𝜔2 − 𝐼𝜔 2
0 0
2 2 2 2第 一 节 真 空 中 的 静 电 场
一、真空中的库仑定律
1 𝑞 𝑞
1 2
𝑭 = 𝒓
4𝜋𝜀 𝑟3
0
式中，𝑞 、𝑞 分别为两点电荷所带电量；𝑟为两点电荷之间的距离；𝒓为施力
1 2
电荷指向受力电荷的位置矢量；𝜀 （埃普西隆）称为真空介电常数或真空电
0
容率，𝜀 = 8.85 × 10 −12 F/m。
0二 、 电 场
（一）点电荷的电场
𝑭 1 𝑞
𝑬 = = 𝒓
𝑞 4𝜋𝜀 𝑟3
0 0
式中，𝑬是电量为𝑞的点电荷产生的电场，𝑞 为
0
试验电荷的电量，𝑭为试验电荷受到的电场力。
（二）电荷连续分布的带电体产生的场强
1 𝒓d𝑞
𝑬 = d𝑬 =
𝑄 4𝜋𝜀 𝑄 𝑟3
0
表示对整个带电体求积分。
𝑄【例1】在𝑦𝑂𝑧平面上有一半径为𝑅的圆环，均匀带有电量𝑄（正电荷），求均匀带电圆环轴
线上（𝑥轴）某点𝑃处的场强。
𝑬
//
𝑬
⊥【例2】试计算均匀带电圆盘轴线上与盘心𝑂相距为x的任一给定点𝑃处的电场强度，设盘的半
径为𝑅，电荷面密度为𝜎。【例3】已知半圆环的半径为𝑅、电荷线密度为𝜆，则均匀带电半圆环圆心处的电场强度为三 、 真 空 中 静 电 场 的 高 斯 定 理
（一）电场线的基本性质
1.静电场的电场线总是起始于正电荷（或无穷远），终止于负电荷（或无穷远），
不会在没有电荷的地方中断。这一特点叫做静电场的有源性，即电场线是有头有尾
的，有起点和终点。
2.静电场中的电场线是永不闭合的曲线。这一特点叫做静电场的无旋性。
3.任何两条电场线不会相交。（二）电通量
1.概念
将通过电场中某一个面的电场线的条数称为通过该面的电通量，用Φ 表示。
𝑒
2.公式
（1）任一曲面的电通量为
Φ = ∬ dΦ = ∬ 𝑬 ⋅ d𝑺
𝑒 𝑒
𝑆 𝑆
这是一个面积分，积分号下标𝑆表示此积分的范围遍及整个曲面。
（2）如果S为闭合曲面，则
Φ = ∯ 𝑬 ⋅ d𝑺
𝑒
𝑆
式中，∯ 表示对闭合曲面的积分。
𝑆（三）高斯定理
1.内容
在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的净电荷（电量的代
数和）除以𝜀 。
0
2.公式
1
Φ = ∯ 𝑬 ⋅ d𝑺 = 𝑞
𝑒 𝑆 𝜀 𝑖
0
式中，σ 𝑞 表示闭合曲面S内的电荷的代数和。
𝑖
𝐸
d𝑆 Ԧ d𝑆 Ԧ【例1】：求电荷呈球对称分布时所激发的电场强度。
（1）电荷量𝑞均匀分布在半径为𝑅的球体内；（2）电荷量𝑞均匀分布在半径为𝑅的球面上【例2】：电荷均匀分布于一个无限大平面上，其面密度为𝜎,求其激发的静电场的电场强度。
𝜎
𝑆 𝑆
2 1
𝒆 𝒆
𝑛2 𝑛1【例3】：求电荷呈“无限长”半径为𝑅的圆柱形轴对称均匀分布时所激发的电场强度。【例4】求半径为𝑅、面电荷密度为𝜎的无限长均匀带电圆柱面内、外的场强。（真题2018年上高中）【例】球形电容器由两个同心的球壳导体A、B组成，如图5所示。
导体𝐴、𝐵的半径分别为𝑅 和𝑅 ，且𝑅 < 𝑅 ，导体𝐴、𝐵在真空中分别带有电荷+𝑞和−𝑞，求：
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
(1)导体𝐴、𝐵之间的电场强度；
(2)该电容器的电容。
