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2015年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求）
1．【分析】利用倒数的意义直接选择答案即可．
【解答】解：﹣5的倒数是﹣ ．
故选：C．
【点评】此题考查倒数的意义，掌握倒数的意义是解决问题的关键．
2．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，
这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、是轴对称图形，故选项错误；
B、不是轴对称图形，故选项正确；
C、是轴对称图形，故选项错误；
D、是轴对称图形，故选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合．
3．【分析】根据负数没有平方根及0不能做分母，求出x的范围即可．
【解答】解：要使y＝ 有意义，则有4﹣x＞0，即x＜4，
故选：D．
【点评】此题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的
分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．【分析】根据垂径定理及正方形的性质对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、真命题为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
B、真命题为：对角线相等且互相垂直的四边形是正方形或等腰梯形，故本选项错误；
C、真命题为：平分弦的直径垂直于弦（非直径），并且平分弦所对的弧，故本选项错误；
D、符合三角形的三边关系，是真命题，故本选项正确．
第1页（共22页）故选：D．
【点评】本题考查的是命题与定理，熟知垂径定理及正方形的性质是解答此题的关键．
5．【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的计算公式分别进行解答即可得出答案．
【解答】解：A、阅读5本的学生有4人，人数最多，则众数是5本，故本选项错误；
B、共有10名同学，中位数是 ＝5，故本选项错误；
C、平均数是（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10＝5.3（本），故本选项正确；
D、方差是： [3×（4﹣5.3）2+4×（5﹣5.3）2+2×（6﹣5.3）2+（9﹣5.3）2]＝2.01，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了众数、中位数、平均数以及方差，一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均
1 2 n
数为 ，则方差S2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]；众数是一组数据中出现次数最
1 2 n
多的数；中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数
是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中
间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再
除以数据的个数．
6．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD＝AB＝4，∠A＝∠C＝120°，AD∥BC，得
∠ADE＝∠DEC，∠DCF＝60°又由DE平分∠ADC，可得∠CDE＝∠DEC，根据等角对等
边，可得EC＝CD＝4，根据30°角的直角三角形的性质求得CF＝2，然后根据勾股定理求
得DF，进而得出ED＝4 ，所以求得△CDE的周长为4 +8．
【解答】解：作DF⊥BC，交BC的延长线于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C＝120°，AB＝CD＝4，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴EC＝CD，
∴∠DEC＝∠EDC＝30°，
∴∠DCF＝60°，
第2页（共22页）∴∠CDF＝30°，
∴CF＝ CD＝2，
∴DF＝ ＝2 ，
∴DE＝2DF＝4 ，
∴△CDE的周长为4 +8．
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定定理、勾股定
理以及30°角的直角三角形的性质．注意当有平行线和角平分线出现时，会出现等腰三角
形．
7．【分析】根据图象得出函数对称轴进而分别利用函数图象与坐标轴交点得出对应函数关系
的大小关系．
【解答】解：A、由图象可得：x＝﹣ ＝1，
则2a+b＝0，
∴2a+b＜0错误；
B、由图象可得：抛物线与x轴正半轴交点大于2，故4a+2b+c＜0，故此选项错误；
C、∵x＝1时，二次函数取到最小值，
∴m（am+b）＝am2+bm＞a+b，故此选项正确；
D、由选项A得：b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＞0，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象得出正确信息是解题
关键．
8．【分析】根据题意分三种情况考虑：当∠PAB＝90°；当∠APB＝90°；当∠ABP＝90°，根据
△ABP为直角三角形，分别求出t的值即可．
【解答】解：如图1，
当∠PAB＝90°时，
第3页（共22页）∵∠BOC＝120°，
∴∠AOP＝60°，
∴∠APO＝30°，
∴OP＝2OA＝2，
∵OP＝2t，
∴t＝1；
如图2，当∠APB＝90°，过P作PD⊥AB，
∵∠OPD＝120°﹣90°＝30°，
∴OD＝ OP＝t，PD＝OP•sin∠POD＝ t，
∴AD＝AO﹣OD＝1﹣t，
在Rt△ABP中，根据勾股定理得：AP2+BP2＝AB2，即（2+t）2+（ t）2+（ t）2+（1﹣t）2＝
32，
解得：t＝ （负值舍去）；
当∠ABP＝90°时，此情况不存在；
综上，当t＝1或t＝ 时，△ABP是直角三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理、锐角三角函数以及一元二次方程的解法，本题利用了分类
讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
第4页（共22页）要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：270亿＝27000000000＝2.7×1010．
故答案为：2.7×1010．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．【分析】先提取公因式m，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2．
【解答】解：m3﹣2m2+m＝m（m2﹣2m+1）＝m（m﹣1）2．
故答案为m（m﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行
二次分解，注意分解要彻底．
11．【分析】根据余角是两个角的和为90°，这两个角互为余角，两个角的和为180°，这两个角
互为补角，可得答案．
【解答】解：∵一个角的余角是54°38′
∴这个角为：90°﹣54°38′＝35°22′，
∴这个角的补角为：180°﹣35°22′＝144°38′．
故答案为：144°38′．
【点评】本题考查余角和补角，通过它们的定义来解答即可．
12．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到
的调查结果比较近似，由此分析得出答案即可．
【解答】解：由于食品数量庞大，且抽测具有破坏性，适用抽样调查．
故答案为：抽样调查．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查
的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义
或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普
查．
13．【分析】根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，即可得出表
面积．
【解答】解：∵如图所示可知，圆锥的高为4，底面圆的直径为6，
∴圆锥的母线为：5，
第5页（共22页）∴根据圆锥的侧面积公式： rl＝ ×3×5＝15 ，
底面圆的面积为： r2＝9 ，π π π
∴该几何体的表面π积为24π ．
故答案为：24 ． π
【点评】此题主π要考查了圆锥侧面积公式，根据已知得母线长，再利用圆锥侧面积公式求
出是解决问题的关键．
14．【分析】过B作BH⊥OC于H，过E作EM⊥BH于M，由四边形EGHN是矩形，得到EN＝
HM，根据矩形的性质得到∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，证得△ABO≌△CDO，得到OB＝
OC，推出△BEM≌△BEG，得到 BG＝EM，等量代换得到 BH＝EM+EN，由
△BCH∽△CDO，得到比例式，即可得到结论．
【解答】解：过B作BH⊥OC于H，过E作EG⊥BH于G，
则四边形EGHN是矩形，
∴EN＝HM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
∵O是AD的中点，
∴AO＝DO，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠GEB＝∠OCB，
在△BEM与△BGE中，
，
∴△BEM≌△BEG，
∴BG＝EM，
∴BH＝EM+EN，
第6页（共22页）∵AD∥BC，
∴∠DOC＝∠OCB，
∵∠D＝∠BHC＝90°，
∴△BCH∽△CDO，
∴ ，
∵OC＝ ＝ ，
∴BH＝ ，
∴EM+EN的值为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正
确的作出辅助线是解题的关键．
15．【分析】设正方形的边长为a，A（t，t），则OB＝AB＝t，AC＝CD＝a，于是可表示出C（t，t﹣
a），D（t+a，t﹣a），利用等腰直角三角形的性质得OA＝ t，AD＝ a，则由OA2﹣AD2＝
20可得t2﹣a2＝10，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得k＝（t+a）（t﹣a）＝t2﹣a2
＝10．
【解答】解：设正方形的边长为a，A（t，t），则OB＝AB＝t，AC＝CD＝a，
∴C（t，t﹣a），D（t+a，t﹣a），
∴OA＝ t，AD＝ a，
∵OA2﹣AD2＝20，
∴（ t）2﹣（ a）2＝20，
∴t2﹣a2＝10，
∵点D在反比例函数y＝ 的图象上，
第7页（共22页）∴k＝（t+a）（t﹣a）＝t2﹣a2＝10．
故答案为10．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点
坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，
则两者无交点．也考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征．
16．【分析】根据已知一对直角相等，利用等式的性质得到∠BAD＝∠CAE，再由两对边相等，
利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相
等得到CE＝BD，∠CAE＝∠BAD，由题意确定出三角形ABF为直角三角形，求出∠ABE
度数，进而求出tan∠ABE的值；根据题意确定出一对内错角相等，进而得到AG与CE平
行，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ED＝2AF，再由CE＝DB，根据BE
＝ED+DB，等量代换得到2AF+CE＝BE；利用反证法可得AD不等于CG．
【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD，∠CAE＝∠BAD，选项①正确；
∵AG平分∠DAE，
∴∠GAE＝∠GAD＝45°，
∵∠GAC＝20°，
∴∠CAE＝∠BAD＝20°，
∴∠BAF＝∠DAF+∠DAB＝65°，
∵AD＝AE，F为DE中点，
∴AG⊥DE，
在Rt△ABF中，∠ABF＝25°，故tan∠ABE≠ ，即选项②错误；
∵∠ACE＝∠GAC＝25°，
∴AG∥CE，选项③正确；
∵AF＝ DE，即DE＝2AF，CE＝BD，
第8页（共22页）∴BE＝ED+DB＝2AF+CE，选项④正确；
假设AD＝CG，即AE＝CG，
∵AG∥CE，
∴四边形AECG为梯形，
∴∠GAE＝45°，∠AEC＝135°，
∴∠GCE＝∠CAE+∠GCA＝25°+45°＝70°，
∴∠AGC＝110°，
将CG平移到EG'，可得∠AG′E＝∠AGC＝110°，
在△AG′E中，∠EAG′＝45°，即∠AG′E≠∠EAG′，
∴EG′≠AE，即CG≠AE，
则AD≠CG，选项⑤错误，
故答案为：①③④
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全
等三角形的判定与性质是解本题的关键．
三、解答题（共10小题，满分102分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】利用特殊角的三角函数值，求得 ，进一步按照运算顺序，化简二次根式，计算0
指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函α数值，最后合并即可．
【解答】解：∵cos（ ﹣15°）＝ ，
α
∴ ﹣15°＝30°，
∴α＝45°，
α
则 ﹣6cos +（3﹣ ）0﹣tan ﹣（ ）﹣1
α π α
＝3 ﹣3 +1﹣1﹣2
＝﹣2．
【点评】此题考查实数的运算，特殊角的三角函数，掌握运算顺序与计算方法是解决问题
的关键．
第9页（共22页）18．【分析】（1）根据旅游的人数共16人，占总人数的32%求出总人数即可；
（2）求出运动和美食的人数，补全条形统计图即可；
（3）根据K歌人数求出其圆心角的度数即可；
（4）求出总人数与k歌人数所占百分比的积即可．
【解答】解：（1）∵旅游的人数共16人，占总人数的32%，
∴16÷32%＝50（名）．
答：一共抽查了50名教师；
（2）∵喜欢运动的人数占28%，
∴50×28%＝14（人），
∴美食人数＝50﹣14﹣16﹣7﹣5＝8（人）．
条形统计图如图；
（3）∵“K歌”的人数是7人，
∴ ×360°＝50.4°．
答：“K歌”所对应的圆心角是50.4度；
（4）550× ＝88（人）．
答：该校550名教师采用“美食”减压的人数是88人．
【点评】本题考查的是条形统计图，熟知条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的
多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来是解答此题的关键．
19．【分析】（1）根据题意画出树状图，即可得到所有可能的结果，进一步计算得出两次摸出
第10页（共22页）的数字之积不大于1的概率；
（2）求得与x、y轴交点的坐标分别为（﹣3，0）（0，﹣3），进一步求得第一次摸出的数字为
横坐标，第二次摸出的数字为纵坐标的点在△AOB内部（不包括边界）的概率即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有20种情况，其中两次摸出的数字之积不大于1的有（﹣3，﹣ ）、（﹣2，﹣ ）、（﹣2，
﹣ ）、（﹣1，﹣ ）、（﹣1，﹣ ）、（﹣ ，﹣2）、（﹣ ，﹣1）、（﹣ ，﹣ ）、（﹣ ，﹣
3）、（﹣ ，﹣2）、（﹣ ，﹣1），（﹣ ，﹣ ）共12种情况
P（积不大于1）＝ ＝ ；
（2）第一次摸出的数字为横坐标，第二次摸出的数字为纵坐标的点在△AOB内部（不包括
边界）共有：（﹣2，﹣ ）、（﹣2，﹣ ）、（﹣1，﹣ ）、（﹣1，﹣ ）、（﹣ ，﹣2）、（﹣ ，﹣
1）、（﹣ ，﹣ ）、（﹣ ，﹣2）、（﹣ ，﹣1），（﹣ ，﹣ ）10种情况，
P（在△AOB内部）＝ ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．【分析】（1）利用三角形的中位线求得EF∥BC，EF＝ BC，中点得出AP＝ AD，结合平
第11页（共22页）行四边形的性质得出AP＝EF，AP∥EF，求得∠APG＝∠GEF，∠PAG＝∠GFE，证得结论；
（2）连接AE，求出AB＝AO，得出AE⊥BD，求出EP＝ AD，求出EF＝ BC，根据AD＝
BC求出即可．
【解答】证明：（1）∵E，F分别是OB，OC的中点，
∴EF∥BC，EF＝ BC，
∵P是AD的中点，
∴AP＝ AD，
在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∴AP＝EF，AP∥EF，
∴∠APG＝∠GEF，∠PAG＝∠GFE，
在△APG和△FEG中，
，
∴：△APG≌△FEG．
（2）连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AC＝2OA＝2OC，
∵AC＝2AB，
∴OA＝AB，
∵E为OB中点，
∴AE⊥BD（三线合一定理），
∴∠AED＝90°，
∵P为AD中点，
∴AD＝2EP（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵BC＝AD，
第12页（共22页）∴BC＝2EP，
∵E、F分别是OB、OC中点，
∴BC＝2EF，
∴EP＝EF．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行四边形性质，直角三角形斜边上中线
性质，等腰三角形性质，三角形的中位线性质的应用，题目综合性比较强．
21．【分析】可设该旅游社下调后的赴韩旅游的人均费用是x元，根据等量关系：赴韩旅游的
人数比过去增加2人，列出方程求解即可．
【解答】解：设该旅游社下调后的赴韩旅游的人均费用是x元，依题意有
﹣2＝ ，
解得x ＝1800，x ＝﹣2100，
1 2
经检验：x ＝1800，x ＝﹣2100都是原方程的解．
1 2
x ＝﹣2100＜0，不符合实际舍去．
2
答：该旅游社下调后的赴韩旅游的人均费用是1800元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解
决问题的关键．
22．【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥BC于点B，过点B作BF⊥BC于点
B，过点C作CG⊥BC于点C，在Rt△ABE中，利用边角关系求得答案即可；
（2）过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△ABH和Rt△ABH中，利用边角关系求得答案即可．
【解答】解：如图，
（1）过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥BC于点B，过点B作BF⊥BC于点B，过点
C作CG⊥BC于点C，
∵∠ABF＝45°，∠ACG＝60°，
∴∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝AB•sin45°＝20 × ＝20，
第13页（共22页）∴AC＝2AE＝40（海里）．
答：A地与观测站C的距离是40海里．
（2）过点A作AH⊥BD于点H，
由题意可知：∠DBF＝15°，
∠DBA＝60°，∠DBC＝105°，
在Rt△ABH中，
AH＝AB•sin60°＝20 × ＝10 ，
∵∠DBC＝105°，∠BCD＝30°，
∴∠D＝180°﹣105°﹣30°＝45°，
在Rt△ADH中，
AD＝ ＝10 × ＝20 ，
＝ ≈2.9．
答：巡逻船从A地到达故障船D处需要2.9小时．
【点评】此题考查解直角三角形的应用，构造直角三角函数建立边角关系是解决问题的关
键．
23．【分析】（1）首先利用全等三角形的判定得出△BOD≌△BOA（SSS），进而得出OB∥DE，
再求出∠E＝90°即可得出答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△DEB，进而得出DE，BE的长，即可得出
答案．
【解答】（1）证明：连接OB，OD，
在△BOD和△BOA中
，
∴△BOD≌△BOA（SSS），
∴∠DBO＝∠ABO，
又∵∠CDB＝∠A，∠OBA＝∠A，
∴∠DBO＝∠CDB，
∴OB∥DE，
∴∠E+∠EBO＝180°，
第14页（共22页）∵BE为 O的切线，
∴OB⊥B⊙E，
∴∠EBO＝90°，
∴∠E＝90°，
∴BE⊥CE；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵AC＝2OA＝5，BC＝ ，
∴AB＝ ＝2 ，
∴BD＝BA＝2 ，
∵∠ABC＝∠E＝90°，∠BAC＝∠BDE，
∴△ABC∽△DEB，
∴ ＝ ＝ ，
∴DE＝4，BE＝2，
在Rt△BCE中，
CE＝ ＝1，
∴CD＝DE﹣CE＝3．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，得出
△ABC∽△DEB是解题关键．
24．【分析】（1）设A种钢笔每只x元，B种钢笔每支y元，由题意得方程组即可解得答案；
（2）设购进A种钢笔每只z元，由题意得 ，求得42.4≤z＜45，由
于z是整数，得到z＝43，44于是得到共有两种方案：方案一：购进A种钢笔43支，购进B
第15页（共22页）种钢笔47支，方案二：购进A种钢笔44只，购进B种钢笔46只，
（3）根据二次函数的解析式W＝（30﹣20+a）（68﹣4a）＝﹣4a2+28a+680＝﹣4（a﹣ ）
2+729即可求得结果．
【解答】解：（1）设A种钢笔每只x元，B种钢笔每支y元，
由题意得 ，
解得： ，
答：A种钢笔每只15元，B种钢笔每支20元；
（2）设购进A种钢笔z支，
由题意得： ，
∴42.4≤z＜45，
∵z是整数
z＝43，44，
∴90﹣z＝47，或46；
∴共有两种方案：方案一：购进A种钢笔43支，购进B种钢笔47支，
方案二：购进A种钢笔44只，购进B种钢笔46只；
（3）W＝（30﹣20+a）（68﹣4a）＝﹣4a2+28a+680＝﹣4（a﹣ ）2+729，
∵﹣4＜0，∴W有最大值，∵a为正整数，
∴当a＝3，或a＝4时，W最大，
∴W最大 ＝﹣4×（3﹣ ）2+729＝728，30+a＝33，或34；
答：B种铅笔销售单价定为33元或34元时，每月获利最大，最大利润是728元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关
键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程组和不等式．
25．【分析】（1）延长GP交CD于H，由菱形的性质得出AB＝CD＝AD，BE∥CD，AG＝FG，
FG∥BE，得出FG∥CD，得出内错角相等∠PFG＝∠PCH，由ASA证明△PFG≌△PCH，
得出FG＝CH，PG＝PH，证出AG＝CH，延长DG＝DH，由等腰三角形的三线合一性质得
第16页（共22页）出DP⊥GH，得出∠DPG＝90°；求出∠ADC＝60°，得出∠PDG＝∠PDH＝ ∠ADC＝
30°，由三角函数即可得出 的值；
（2）延长GP交CE于H，连接DH、DG，由菱形的性质得出FG∥EC，得出∠GFP＝
∠HCP，由ASA证明△PFG≌△PCH，得出FG＝CH，PG＝PH，证出AG＝CH，△ACD是
等边三角形，得出AD＝CD，得出∠EAG＝∠ADC＝60°，∠DAC＝∠DCA＝60°，求出
∠GAD＝60°，由SAS证明△ADG≌△CDH，得出DG＝DH，∠ADG＝∠CDH，由等腰三角
形的三线合一性质得出DP⊥GH，因此∠DPG＝90°，求出∠GDP＝30°，由三角函数即可
得出 的值；
（3）延长GP到H，使得PH＝GP，连接CH、DG、DH，延长DC交EA的延长线于点M，同
（2）可证△PFG≌△PCH，得出∠GFC＝∠HCF，FG＝CH，证出∠GAD＝∠DCH，AG＝
CH，由SAS证明△ADG≌△CDH，得出∠ADG＝∠CDH，DG＝DH，因此∠GDH＝∠ADC
＝2 ，得出∠DPG＝90°，∠GDP＝ ∠GDH＝ ，即可得出 ＝tan ．
α α α
【解答】解：（1）延长GP交CD于H，如图1所示：
∵在菱形ABCD和菱形AEFG中，
AB＝CD＝AD，BE∥CD，AG＝FG，FG∥BE，
∴FG∥CD，
∴∠PFG＝∠PCH，
∵P是线段CF的中点，
∴PF＝PC，
在△PFG和△PCH中，
，
∴△PFG≌△PCH（ASA），
∴FG＝CH，PG＝PH，
∴AG＝CH，
∴DG＝DH，
∴DP⊥GH（三线合一），
第17页（共22页）∴∠DPG＝90°；
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠PDG＝∠PDH＝ ∠ADC＝30°，
∴ ＝tan∠PDG＝tan30°＝ ；
（2）（1）中的两个结论不发生改变；理由如下：
延长GP交CE于H，连接DH、DG，如图2所示：
∵四边形AEFG为菱形，
∴FG∥EC，
∴∠GFP＝∠HCP，
∵P是线段CF的中点，
∴PF＝PC，
在△PFG和△PCH中，
，
∴△PFG≌△PCH（ASA），
∴FG＝CH，PG＝PH，
∵FG＝AG，
∴AG＝CH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝CD，
∵∠BAD＝∠AEF＝120°，
∴∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD，
∴∠EAG＝∠ADC＝60°，∠DAC＝∠DCA＝60°，
∴∠GAD＝180°﹣∠EAG﹣∠DAC＝60°，
在△ADG和△CDH中，
第18页（共22页），
∴△ADG≌△CDH（SAS），
∴DG＝DH，∠ADG＝∠CDH，
∴DP⊥GH，
∴∠DPG＝90°，∠GDH＝∠ADC＝60°，
∴∠GDP＝30°，
∴ ＝tan30°＝ ；
（3）延长GP到H，使得PH＝GP，连接CH、DG、DH，延长DC交EA的延长线于点M，如
图3所示：
同（2）可证△PFG≌△PCH，
∴∠GFC＝∠HCF，FG＝CH，
∴FG∥CH，
∵FG∥AE，
∴CH∥EM，
∴∠DCH＝∠M，
∵CD∥AB，
∴∠M＝∠MAB，
∴∠DCH＝∠MAB，
∵∠BAD＝∠AEF＝180°﹣2 ，
∴∠EAG＝∠ADC＝2 ， α
∴∠GAM＝180°﹣2 ，α
∴∠GAD＝∠BAM，α
∴∠GAD＝∠DCH，
∵AG＝FG，
∴AG＝CH，
在△ADG和△CDH中，
，
∴△ADG≌△CDH（SAS），
第19页（共22页）∴∠ADG＝∠CDH，DG＝DH，
∴∠GDH＝∠ADC＝2 ，
α
∴∠DPG＝90°，∠GDP＝ ∠GDH＝ ，
α
∴ ＝tan ．
α
【点评】本题是几何变换综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三
角形的性质、三角函数、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，需要
通过作辅助线，并且需要多次证明三角形全等才能得出结果．
26．【分析】（1）直接把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入抛物线y＝ax2+bx+c求得a、b、
c得出解析式，进一步求得顶点坐标即可；
（2）连接OH，则四边形HPOF是矩形，利用矩形的性质和垂线段最短求得答案即可；
（3）可用t分别表示出BE、BQ、EQ的长，然后分BE＝BQ、BE＝EQ、BQ＝EQ三种情况，
列方程求出t的值．
【解答】解：（1）由题意得
第20页（共22页），
解得 ，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3，
顶点D为（1，4）；
（2）如图，
连接OH，
∵EF⊥y轴，HP⊥x轴，x轴⊥y轴，
∴四边形HPOF是矩形，
∴PF＝OH，
∴当OH最短时，PF最短，
∴OH⊥BC时，PF最短，
可得H的纵坐标为 ，
把y＝ 代入y＝﹣x2+2x+3中，
则 ＝﹣x2+2x+3，
解得x ＝ ，x ＝ （舍去）；
1 2
∴G点的坐标（ ， ）；
（3）如图，
第21页（共22页）DB＝2 ，y ＝﹣2x+6，点E坐标为（ ， ），Q为（3，t），
BD
当BE＝BQ时，2 ﹣t＝t，t＝ ；
当BE＝EQ时，2 ﹣t＝ ，t＝ ，
当BQ＝EQ时，t＝ ，t＝ ．
所以存在3个t值，
t ＝ ，t ＝ ，t ＝ ．
1 2 3
【点评】此题考查二次函数综合题，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，垂线段最短，
平面内两点之间的距离等知识的综合运用，注意分类讨论思想的渗透．
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日期：2022/1/24 21:44:28；用户：微信用户；邮箱：orFmNt6JxbombNK--PZkfnvM8130@weixin.jyeoo.com；学号：42171657
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